Provaremos primeiramente a desigualdade no caso \(n=2\text{.}\) Sendo \(A(x_1,x_2)\) a média aritmética dos números positivos \(x_1\) e \(x_2\) e sendo \(G(x_1,x_2)\) sua média geométrica, temos
\begin{align*}
A(x_1, x_2) - G(x_1, x_2) = \amp~ \frac{x_1+x_2}{2}-\sqrt{x_1x_2}\\
= \amp~ \frac{x_1+x_2-2\sqrt{x_1x_2}}{2}\\
= \amp~ \frac{(\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2})^2}{2}\geq 0.
\end{align*}
e \(A(x_1,x_2)-G(x_1,x_2)\) só é igual a \(0\) quando \(x_1=x_2\text{,}\) o que prova a desigualdade no caso \(n=2\text{.}\)
Para prová-lo no caso \(n=4\text{,}\) aplicamos o resultado anterior aos números
\begin{equation*}
\frac{x_1+x_2}{2}\quad \text{e}\quad \frac{x_3+x_4}{2},
\end{equation*}
obtendo
\begin{equation*}
\frac{\dfrac{x_1+x_2}{2}+\dfrac{x_3+x_4}{2}}{2}\geq \sqrt{\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)\left(\frac{x_3+x_4}{2}\right)},
\end{equation*}
ou seja,
\begin{equation*}
\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}\geq \sqrt{\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)\left(\frac{x_3+x_4}{2}\right)},
\end{equation*}
a igualdade só sendo obtida quando
\begin{equation*}
\frac{x_1+x_2}{2} \quad \text{e}\quad \frac{x_3+x_4}{2}
\end{equation*}
forem iguas. Aplicando agora duas vezes a desigualdade no caso \(n=2\text{,}\) primeiramente para \(x_1\) e \(x_2\text{,}\) e posteriormente para \(x_3\) e \(x_4\text{,}\) obtemos
\begin{equation*}
\sqrt{\frac{x_1+x_2}{2}\frac{x_3+x_4}{2}}\geq \sqrt{\sqrt{x_1x_2}\sqrt{x_3x_4}}=\sqrt[4]{x_1x_2x_3x_4},
\end{equation*}
a igualdade sendo obtida apenas quando \(x_1=x_2\) e \(x_3=x_4\text{.}\)
Portanto,
\begin{equation*}
\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}\geq \sqrt[4]{x_1x_2x_3x_4},
\end{equation*}
a igualdade só sendo obtida quando \(x_1=x_2\) e \(x_3=x_4\) e
\begin{equation*}
\frac{x_1+x_2}{2} = \frac{x_3+x_4}{2},
\end{equation*}
isto é, quando \(x_1=x_2=x_3=x_4.\)
É claro que, repetindo esse argumento, provaríamos a desigualdade das médias para \(8, 16, 32, \ldots \) números positivos.
Esse argumento permite provar, por indução, a desigualdade para \(n=2^k\) números positivos.
Provaremos agora a desigualdade para três números positivos.
Sejam \(x_1,x_2\) e \(x_3\) números positivos e sejam \(A\) a sua média aritmética e \(G\) a sua média geométrica. É claro que
\begin{equation*}
\frac{x_1+x_2+x_3+A}{4}=\frac{3A+A}{4}=A.
\end{equation*}
Aplicando a desigualdade das médias no caso \(n=4\) aos números \(x_1,x_2,x_3\) e \(A\text{,}\) obtemos
\begin{equation*}
A=\frac{x_1+x_2+x_3+A}{4}\geq \sqrt[4]{x_1x_2x_3A}.
\end{equation*}
\(A^4\geq x_1x_2x_3A, A^3\geq x_1x_2x_3, A\geq \sqrt[3]{x_1x_2x_3}=G\) a igualdade só se verifica quando \(x_1=x_2=x_3=A\text{,}\) isto é, quando \(x_1=x_2=x_3\text{.}\) Se desejássemos provar a desigualdade para cinco números positivos \(x_1,x_2,x_3,x_4\) e \(x_5\text{,}\) aplicaríamos a desigualdade para 8 números \(x_1,x_2,x_3,x_4\) e \(x_5\text{,}\) \(A\text{,}\) \(A\) e \(A\text{,}\) onde \(A\) é a média aritmética dos números \(x_1,x_2,x_3,x_4\) e \(x_5\text{.}\)
O mesmo raciocínio pode mostrar que, se a desigualdade é verdadeira para \(n=k\text{,}\) então ela é também verdadeira para todo \(n\lt k\text{.}\)
