Quando um banco empresta dinheiro (crédito pessoal ou desconto de duplicatas), o tomador do empréstimo emite uma nota promissória, que é um papel no qual o tomador se compromete a pagar ao banco, em uma data fixada, uma certa quantia, que é chamada de valor de face da promissória.
O banco então desconta a promissória para o cliente, isto é, recebe a promissória de valor de face \(F\) e entrega ao cliente uma quantia \(A\) (menor que \(F\text{,}\) naturalmente). A diferença \(F-A\) é chamada de desconto.
Os bancos efetuam o desconto de acordo com a fórmula \(A=F(1-d\cdot t)\text{,}\) onde \(d\) é uma taxa fixada pelo banco e chamada de taxa de desconto bancário (ou taxa de desconto simples por fora) e \(t\) é o prazo da operação, medido na unidade de tempo a que se refere a taxa.
Exemplo5.4.1.
Pedro desconta uma promissória de valor 100, com vencimento em 60 dias, em um banco cuja taxa de desconto é de 12% ao mês.
Quanto Pedro receberá?
Qual a taxa mensal de juros que Pedro está pagando?
item a) Ora, \(A=F(1-dt)=100(1-0,12\cdot 2)=76.\) Logo, Pedro receberá agora 76, para pagar 100 em 60 dias.
item b) Se \(i\) é a taxa mensal de juros à qual cresce a dívida de Pedro, temos \(100=76(1+i)^2\text{.}\) Daí, \(i=0,1471=14,71\%\text{.}\)
Observe que anunciar a taxa de desconto e não a taxa de juros é um modo sutil de fazer crer aos mais ingênuos estarem eles pagando juros menores que os que realmente lhes estão sendo cobrados.
Quando se paga parceladamente um débito, cada pagamento efetuado tem dupla finalidade. Uma parte do pagamento quita os juros e outra parte amortiza (abate) a dívida.
Exemplo5.4.2.
Pedro tomou um empréstimo de 100, a juros mensais de taxa 10%. Quitou-o em três meses, pagando a cada mês os juros devidos e amortizando 30% da dívida no primeiro mês e 30% e 40% nos dois meses seguintes.
Na planilha abaixo, \(A_k, J_k, P_k\) e \(D_k\) são, respectivamente, a parcela de amortização, a parcela de juros, a prestação e o estado da dívida (isto é, o valor da dívida após o pagamento da prestação) na época \(k\text{.}\)
Tabela5.4.3.
\(k\)
\(P_k\)
\(A_k\)
\(J_k\)
\(D_k\)
0
-
-
-
100
1
40
30
10
70
2
37
30
7
40
3
44
40
4
-
Para facilitar a compreensão, olhe cada linha na ordem \(A_k, D_k, J_k\) e \(P_k\text{.}\)
Os sistemas usuais de amortização são o sistema de amortização constante (SAC) e o sistema francês de amortização, também chamado de Tabela Price (Richard Price foi um economista inglês). O sistema francês é caracterizado por prestações constantes.
Exemplo5.4.4.
Uma dívida de 100 é paga, com juros de 15% ao mês, em 5 meses, pelo SAC. Faça a planilha de amortização.
A primeira fórmula é simplesmente o Teorema 5.3.1 e as duas últimas fórmulas são óbvias. Quanto à segunda fórmula, observe que \(D_k\) é a dívida que será liquidada, postecipadamente, por \(n-k\) pagamentos sucessivos a \(P_k\text{.}\) Portanto, novamente pelo Teorema 5.3.1, temos
Substituindo o valor de \(P_k\text{,}\) obtemos a segunda fórmula.
Exemplo5.4.12.
Em um mês cuja inflação foi de 25%, Paulo Jorge investiu seu capital a juros de 30% ao mês. Evidentemente, isso não significa que Paulo Jorge tenha aumentado seu poder de compra em 30%, pois, embora a quantidade de reais de Paulo Jorge tenha crescido 30%, o valor do real sofreu uma redução. Dizemos nesse caso que 30% ao mês é a taxa nominal de juros mensais de Paulo Jorge.
Suponhamos que, no início do referido mês, o capital \(C\) de Paulo Jorge pudesse comprar \(x\) artigos de preço unitário igual a \(p\text{.}\) No fim do mês, o capital 1,3\(C\) e o preço unitário passou a ser 1,25\(p\text{.}\) Logo, Paulo Jorge poderá agora comprar
O poder de compra de Paulo Jorge aumentou de 4% nesse mês.
Essa taxa de 4% ao mês, à qual cresceu o poder de compra de Paulo Jorge, é chamada de taxa real de juros.
Exemplo5.4.13.
Em algumas situações (prazos pequenos, juros de mora) são usados juros simples e não juros compostos. No regime de juros simples, os juros em cada época são calculados sobre o principal e não sobre o montante da época anterior. Por exemplo, um principal igual a 100, a juros simples de 10% ao mês evolui de acordo com a tabela abaixo:
Tabela5.4.14.
\(n\)
\(0\)
\(1\)
\(2\)
\(3\)
\(4\)
\(\ldots\)
\(C_n\)
\(100\)
\(110\)
\(120\)
\(130\)
\(140\)
\(\ldots\)
Não há dificuldade em calcular juros simples pois a taxa incide sempre sobre o capital inicial. No nosso exemplo, os juros são sempre de 10% de 100, ou seja, 10.
É claro então que, \(C_n=C_0+niC_0\text{,}\) o que faz com que os valores de \(C_n\) formem uma progressão aritmética.
Figura5.4.15.Comparando Juros.
Olhando para os gráficos de evolução de um mesmo principal \(C_0\) a juros de taxa \(i\text{,}\) a juros simples e a juros compostos, observamos que o montante a juros compostos é superior ao montante a juros simples, exceto se o prazo for menor que 1. É por isso que juros simples só são utilizados em cobranças de juros em prazos inferiores ao prazo ao qual se refere a taxa de juros combinada.
