Teorema 5.3.1.
O valor de uma série uniforme de \(n\) pagamentos iguais a \(P\text{,}\) um tempo antes do primeiro pagamento, é, sendo \(i\) a taxa de juros, igual a
\begin{equation*}
A = P\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
\end{equation*}
Seção 5.3 Renda Perpétua (Séries Uniformes)
Um conjunto de quantias (chamadas usualmente de pagamentos ou termos), referidas a épocas diversas, é chamada de série, ou de anuidade (apesar do nome, nada a ver com ano) ou, ainda, renda. Se esses pagamentos forem iguais e igualmente espaçados no tempo, a série é dita uniforme.
Demonstração.
O valor da série na época \(0\) é
\begin{equation*}
A = \frac{P}{(1+i)}+\frac{P}{(1+i)^2}+\cdots+\frac{P}{(1+i)^n},
\end{equation*}
que é a soma de \(n\) termos de uma progressão geométrica. Logo,
\begin{equation*}
A = \frac{P}{(1+i)}\cdot\frac{1-\left( \frac{1}{(1+i)}\right)^n}{1-\frac{1}{(1+i)}}=P\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
\end{equation*}
O Corolário seguinte trata do valor de uma renda perpétua. Rendas perpétuas aparecem em locações. Com efeito, quando se aluga um bem, cede-se a posso do mesmo em troca de um aluguel, digamos, mensal. Então, o conjunto dos aluguéis constitui uma renda perpétua ou perpetuidade.
Corolário 5.3.3.
O valor de uma perpetuidade de termos iguais a \(P\text{,}\) um tempo antes do primeiro pagamento, é, sendo \(i\) a taxa de juros, igual a
\begin{equation*}
\frac{P}{i}.
\end{equation*}
Demonstração.
Basta fazer \(n\) tender para infinito no Teorema 5.3.1.
Exemplo 5.3.4.
Um bem, cujo preço é R$ 120,00, é vendido em 8 prestações mensais iguais, a primeira sendo paga um mês após a compra. Se os juros são de 8% ao mês, determine o valor das prestações.
Solução.Um pequeno comentário: essas prestações são ditas postecipadas, pois a primeira prestação só é paga um tempo depois da compra.
Igualando os valores na época \(0\) (essa é a escolha natural da data de comparação: um tempo antes do primeiro termo da série), obtemos:
\begin{align*}
120 = \amp ~P\frac{1-(1+0,08)^{-8}}{0,08}\\
P = \amp ~ 120\frac{0,08}{1-1,08^{-8}}\approx 20,88.
\end{align*}
As prestações são de R$ 20,88.
Exemplo 5.3.6.
Um bem, cujo preço à vista é R$ 120,00, é vendido em 6 prestações mensais iguais, antecipadas (isto é, a primeira é paga no ato da compra). Se os juros são de 10% ao mês, determine o valor das prestações.
Solução.Igualando os valores na época \(-1\) (essa escolha, que pode parecer exótica, é muito conveniente pois dispomos de uma fórmula que calcula diretamente o valor da série nessa época), obtemos:
\begin{align*}
\frac{120}{1+0,1} = \amp ~P\frac{1-(1+0,1)^{-6}}{0,1}\\
P \approx \amp ~ 25,05.
\end{align*}
Exemplo 5.3.7.
Se um imóvel vale 400 mil reais
- Se o dinheiro vale 1% ao mês, por quanto deve ser alugado o imóvel?
- Se o dinheiro vale 0,5% ao mês, por quanto deve ser alugado o imóvel?
Quando você aluga um imóvel, você cede a posso do imóvel em troca de uma renda perpétua cujos termos são iguais ao valor do aluguel. Então o valor do imóvel deve ser igual ao valor do conjunto dos aluguéis. De acordo com o Corolário 5.3.3.
item a)
\begin{equation*}
400 = \frac{P}{i}=\frac{P}{0,01}
\end{equation*}
Portanto,
\begin{equation*}
P = 400\times 0,01 = 4 \text{ mil reais}.
\end{equation*}
item b)
\begin{equation*}
400 = \frac{P}{i}=\frac{P}{0,005}
\end{equation*}
Portanto,
\begin{equation*}
P = 400\times 0,005 = 2 \text{ mil reais}.
\end{equation*}
Exemplo 5.3.8.
Helena tem duas alternativas para obter uma copiadora:
- Alugá-la por 35 reais ao ano. Nesse caso, o locador se responsabiliza pelas despesas de manutenção.
- Comprá-la por 150 reais. Nesse caso, já que a vida econômica da copiadora é de 5 anos, Helena venderá a copiadora após 5 anos. O valor residual da copiadora após 5 anos é de 20 reais. As despesas de manutenção são de responsabilidade de Helena e são de 5 reais por ano, nos dois primeiros anos e de 8 reais por ano, nos anos seguintes.
Se o dinheiro vale 7% ao ano, qual a melhor opção?
Vamos tomar receitas como positivas e despesas como negativas. O fluxo de caixa de Helena na segunda alternativa é representado na Figura 5.3.9.
Vamos determinar o fluxo de caixa equivalente, representado na Figura 5.3.10.
Igualando os valores na época \(0\text{,}\) obtemos
\begin{equation*}
-150-\frac{5}{1,07}-\frac{5}{1,07^2}-\frac{8}{1,07^3}-\frac{8}{1,07^4}+\frac{12}{1,07^5}=P\frac{1-1,07^{-5}}{0,07}.
\end{equation*}
Daí, \(P=-39,78\text{.}\) Comprar a copiadora é equivalente a ter um custo anual de 39,78 reais. Como o aluguel corresponde a um custo anual de 35 reais, a melhor alternativa para Helena é alugar.
