Objetivos
- Enunciar e demonstrar o Teorema do Polinômio de Leibniz
- Exemplificar.
- Resolver um exemplo no Sage.
Seção 7.3 Polinômio de Leibniz
Teorema 7.3.1.
\begin{equation*}
(x_1+x_2+\cdots + x_p)^n = \sum_{\alpha_1 + \alpha_2 +\cdots + \alpha_p = n} \frac{n!}{\alpha_1!\alpha_2!\cdots\alpha_p!}x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}\cdots x_p^{\alpha_p}\\
\end{equation*}
Na qual, para cada \(i\in\{1, 2, \ldots, p\}\text{,}\) \(\alpha_i\in \{j ~|~ j\in \mathbb{Z}\geq 0\}\text{,}\) ou seja \(\alpha_i\) é um inteiro não negativo.
Demonstração.
Temos
\begin{equation*}
(x_1+x_2+\cdots + x_p)^n = (x_1+x_2++\cdots + x_p)\cdots(x_1+x_2++\cdots + x_p)
\end{equation*}
Um termo genérico do produto é obtido escolhendo um \(x_i\) em cada parênteses e multiplicando os escolhidos. Se em \(\alpha_1\) dos parênteses escolhermos \(x_1\text{,}\) em \(\alpha_2\) dos parênteses escolhermos \(x_2\text{,}\) \(\ldots\text{,}\) obteremos
\begin{equation*}
x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}\cdots x_p^{\alpha_p}, \text{ satisfazendo } \alpha_1 + \alpha_2 +\cdots + \alpha_p = n.
\end{equation*}
Agora falta responder quantas vezes o termo \(x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}\cdots x_p^{\alpha_p}\) aparece no desenvolvimento.
O termo \(x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}\cdots x_p^{\alpha_p}\) aparece tantas vezes, quantas são as formas de escolher, nos \(n\) parênteses, \(\alpha_1\) deles para escolher o \(x_1\text{,}\) \(\alpha_2\) deles para escolher o \(x_2\text{,}\) \(\ldots\text{.}\) Isto pode ser feito de
\begin{equation*}
C_n^{\alpha_1}\cdot C_{n-\alpha_1}^{\alpha_2}\cdots C_{n-\alpha_1-\alpha_2-\cdots -\alpha_{p-1}}^{\alpha_p} = \frac{n!}{\alpha_1!\alpha_2!\cdots\alpha_p!}
\end{equation*}
maneiras, o que mostra o resultado.
Exemplo 7.3.2.
Considere o polinômio:
\begin{equation*}
(x^3-x+5)^8
\end{equation*}
Determine os coeficientes de
- \(x^2\) no desenvolvimento;
- \(x^4\) no desenvolvimento.
\begin{equation*}
(x^3-x+5)^8 = \sum_{\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 = 8} \frac{8!}{\alpha_1!\alpha_2!\alpha_3!}(x^3)^{\alpha_1}(-x)^{\alpha_2}5^{\alpha_3}\\
\end{equation*}
item a) Para que o expoente de \(x\) seja 2, devemos ter \(x^{3\alpha_1}x^{\alpha_2} = x^2\text{,}\) juntando com a condição \(\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3 = 8\text{,}\) temos
\begin{equation*}
\begin{cases}
\alpha_1 + \alpha_2 +\alpha_3 = 8 \\
~~~~ ~~~~ 3\alpha_1 + \alpha_2 = 2 \end{cases}
\end{equation*}
Assim, \(\alpha_1 = 0, \alpha_2 = 2\) e \(\alpha_3 = 6.\) E a soma dos termos que possuem \(x^2\) é:
\begin{equation*}
\frac{8!}{0!\times 2! \times 6!} 5^6x^2 = 437500x^2.
\end{equation*}
item b) Para que o expoente de \(x\) seja 4, devemos ter \(x^{3\alpha_1}x^{\alpha_2} = x^4\text{,}\) juntando com a condição \(\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3 = 8\text{,}\) temos
\begin{equation*}
\begin{cases}
\alpha_1 + \alpha_2 +\alpha_3 = 8 \\
~~~~ ~~~~ 3\alpha_1 + \alpha_2 = 4 \end{cases}
\end{equation*}
Temos duas soluções:
\begin{equation*}
\begin{cases}
\alpha_1 = 0, \alpha_2 = 4 \text{ e }\alpha_3 = 4 \\
\alpha_1 = 1, \alpha_2 = 1 \text{ e } \alpha_3 = 6 \end{cases}
\end{equation*}
E a soma dos termos que possuem \(x^4\) é:
\begin{equation*}
\frac{8!}{0!\times 4! \times 4!} 5^4x^2 - \frac{8!}{1!\times 1! \times 6!} 5^6x^2 = -831250x^2.
\end{equation*}
Tecnologia 7.3.3.
No Sage, podemos obter a expanção do polinômio da seguinte forma:
Os coeficientes do polinômio, podem ser obtidos da seguinte forma:
Exercícios Exercícios
1.
Determine o coeficiente de \(x^{12}\) no desenvolvimento de
\begin{equation*}
\left( 1+x^4+x^8 \right)^{12}.
\end{equation*}
Resposta.
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