UFRPE-DM Progressões Geométricas

Seção 3.2 Progressões Geométricas

Exemplo 3.2.1.

A população de um paı́s é hoje igual a 100.000 habitantes e cresce 2% ao ano. Qual será a população desse paı́s daqui a 10 anos?

Solução.

Em 10 perı́odos, a população é multiplicada 10 vezes por 1,02. $a_{10} = a_0\cdot q^{10} = 100000\cdot 1,02^{10}=121.899 $ habitantes.

Exemplo 3.2.2.

Uma pessoa, começando com R$ 64,00, faz seis apostas consecutivas, em cada uma das quais arrisca perder ou ganhar a metade do que possui na ocasião. Se ela ganha três e perde três dessas apostas, pode-se afirmar que ela:

Ganha dinheiro.
Não ganha dinheiro nem perde dinheiro.
Perde R$ 27,00.
Perde R$ 37,00.
Ganha ou perde dinheiro, dependendo da ordem em que ocorreram suas vitórias e derrotas.

Solução.

A cada vitória, a quantia é multiplicada por $\frac{3}{2}\text{;}$ a cada derrota, é multiplicada por $\frac{1}{2}\text{.}$

Após três vitórias e três derrotas, os R$ 64,00 são multiplicados três vezes por $\frac{3}{2}$ e três vezes por $\frac{1}{2}\text{.}$

Logo, ao final, independentemente da ordem das vitórias e derrotas, a pessoa terá $64\left(\frac{3}{2}\right)^3\left(\frac{1}{2}\right)^3=27$ reais, ou seja, ela perde $37$ reais (alternativa d.)

Exemplo 3.2.3.

A sequência $(1,2,4,8,16,32,\ldots)$ é um exemplo de uma progressão geométrica. Aqui a taxa de crescimento de cada termo para o seguinte é de 100%, o que faz com que cada termo seja igual a 200% do termo anterior.

Exemplo 3.2.4.

A sequência $(1000, 800, 640, 512,\ldots)$ é um exemplo de uma progressão geométrica. Aqui, cada termo é 80% do termo anterior. A taxa de crescimento de cada termo para o seguinte é de -20%.

Nota 3.2.5.

É claro então que numa progressão geométrica cada termo é igual ao anterior multiplicado por $1+i\text{,}$ na qual, $i$ é a taxa de crescimento dos termos. Chamamos $1+i$ de razão da progressão e representamos por $q\text{.}$

Definição 3.2.6.

Uma progressão geométrica é uma sequência na qual o quociente entre cada termo e o termo anterior é constante. Esse quociente constante é chamado de razão da progressão e representado pela letra q. A razão $q$ de uma progressão geométrica é simplemente o valor de $1+i\text{,}$ na qual, $i$ é a taxa de crescimento constante de cada termo para o seguinte.

Exemplo 3.2.7.

As sequências $(2,6,18,54,\ldots)$ e $(128,32,8,2,\ldots)$ são progressões geométricas cujas razões valem, respectivamente, $q_1=3$ e $q_2=\frac{1}{4}\text{.}$ Suas taxas de crescimento são respectivamente $i_1=2=200\%$ e $i_2=-\frac{3}{4}=-75\%\text{,}$ pois $q=1+i\text{.}$

Subseção 3.2.1 Termo geral de uma Progressão Geométrica

Nota 3.2.8.

Em uma progressão geométrica $(a_n)$

para avançar um termo, basta multiplicar pela razão;
para avançar dois termos, basta multiplicar duas vezes pela razão;
De modo geral, $a_n = a_1 q^{n-1}\text{,}$ pois ao passar de $a_1$ para $a_n\text{,}$ avançamos $n-1$ termos.

Exemplo 3.2.9.

Em uma progressão geométrica, o quinto termo vale 5 e o oitavo vale 135. Quanto vale o sétimo termo dessa progressão?

Solução.

Temos $a_8=a_5q^3\text{.}$ Logo, $135 = 5q^3$ e $q=3\text{.}$ Assim, $a_7 = a_5q^2 = 5\cdot 3^2=45\text{.}$

Nota 3.2.10.

Como em uma progressão geométrica $a_n=a_0q^n\text{,}$ a função que associa a cada natural $n$ o valor de $a_n$ é simplemente a restrição aos naturais da função exponencial $a(x)=a(0)q^x\text{.}$

Exemplo 3.2.11.

Qual é a razão da progressão geométrica que se obtem inserindo 3 termos entre os números 30 e 480?

Solução.

Temos $a_1=30$ e $a_5=480\text{.}$ Como $a_5=a_1q^4, 480 = 30q^4, q^4=16$ e $q=\pm2\text{.}$

Subseção 3.2.2 A Fórmula das Taxas Equivalentes

Lema 3.2.12.

Se $I$ é a taxa de crescimento de uma grandeza relativamente ao período de tempo $T$ e $i$ é a taxa de crescimento relativamente ao período $t\text{,}$ e se $T=nt\text{,}$ então

\begin{equation*} 1+I=(1+i)^n. \end{equation*}

Demonstração.

Seja $G_0$ o valor inicial da grandeza. Após um período de tempo $T\text{,}$ o valor da grandeza será $G_0(1+I)^1\text{.}$ Como um período de tempo $T$ equivale a $n$ períodos de tempo $t\text{,}$ o valor da grandeza será também igual a $G_0(1+i)^n\text{.}$ Logo, $G_0(1+I)^1=G_0(1+i)^n$ e $1+I=(1+i)^n\text{.}$

Exemplo 3.2.13.

Se a população de um país cresce 2% ao ano, quanto crescerá em 25 anos?

Solução.

Temos $i=2\%=0,02$ e $n=25\text{.}$ Daí, $1+I=(1+i)^n=(1+0,02)^{25}\approx 1,6406$ e $I\approx 0,6406=64,06\%\text{.}$

Exemplo 3.2.14.

Uma bomba de vácuo retira, em cada sucção, 2% do gás existente em certo recipiente. Depois de 50 sucções, quanto restará do gás inicialmente existente?

Solução.

Temos $i=-2\%=-0,02$ e $n=50\text{.}$ Daí, $1+I=(1+i)^n=(1-0,02)^{50}\approx0,3642$ e $I\approx -0,6358=-63,58\%\text{.}$ A quantidade de gás diminuirá de aproximadamente 63,58%. Restarão aproximadamente 36,42% do gás inicialmente existente.

Subseção 3.2.3 A Soma dos Termos de uma Progressão Geométrica

Lema 3.2.15.

A soma dos $n$ primeiros termos de uma progressão geométrica $(a_n)$ de razão $q\neq 1\text{,}$ é

\begin{equation*} S_n = a_1\frac{1-q^n}{1-q}. \end{equation*}

Demonstração.

$S_n=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{n-1}+a_n\text{.}$ Multiplicando por $q\text{,}$ obtemos $qS_n=a_2+a_3+\cdots+a_{n}+a_{n+1}\text{.}$ Subtraindo, temos $S_n-qS_n = a_1-a_{n+1}\text{,}$ isto é, $S_n(1-q)=a_1-a_1q^n$ e finalmente,

\begin{equation*} S_n = a_1\frac{1-q^n}{1-q}. \end{equation*}

Exemplo 3.2.16.

Diz a lenda que o inventor do xadrez pediu como recompensa 1 grão de trigo pela primeira casa, 2 grão pela segunda casa, 4 pela terceira casa e assim por diante, sempre dobrando a quantidade a cada casa nova. Como o tabuleiro de xadrez tem 64 casas, o número de grãos pedidos pelo inventor do jogo é a soma dos 64 primeiros termos da progressão geométrica $1,2,4,\ldots$ O valor dessa soma é

\begin{equation*} S_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q}=1\frac{1-2^{64}}{1-2}=2^{64}-1. \end{equation*}

Calculando, obtemos o valor:

Nota 3.2.17.

Nas progressões geométricas em que $|q|\lt 1\text{,}$ a soma dos $n$ primeiros termos tem um limite finito quando $n\rightarrow \infty\text{.}$ Como nesse caso $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}q^n=0\text{,}$ temos

\begin{equation*} \lim_{n\rightarrow \infty} a_1\frac{1-0}{1-q} = \frac{a_1}{1-q}. \end{equation*}

Exemplo 3.2.18.

Calcule o limite da soma da progressão geométrica

\begin{equation*} \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots \end{equation*}

Solução.

Temos $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty} S_n = \frac{a_1}{1-q} = \frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=1.$

Nota 3.2.19.

O teorema da somação, $\sum_{k=1}^n \Delta a_k = a_{n+1}-a_1\text{,}$ também nos permitiria determinar o valor da soma dos $n$ primeiros termos de uma progressão geométrica. Supondo $q\neq 1$ e observando que

\begin{equation*} \Delta q^{k-1}=q^k-q^{k-1}=q^{k-1}(q-1), \end{equation*}

temos

\begin{align*} a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n = \amp~\sum_{k=1}^n a_k \\ = \amp~\sum_{k=1}^n a_1q^{k-1} \\ = \amp~ \frac{a_1}{q-1}\sum_{k=1}^n \Delta q^{k-1} \\ = \amp~\frac{a_1}{q-1}(q^{n+1-1}-q^0) \\ = \amp~a_1\frac{1-q^n}{1-q}. \end{align*}

Teorema 3.2.20.

(Somação por Partes) Sejam $(a_n)$ e $(b_n)$ sequências numéricas. Então,

\begin{equation*} \sum_{k=1}^n a_{k+1}\Delta b_k = a_{n+1}b_{n+1} - a_1b_1-\sum_{k=1}^nb_k\Delta a_k. \end{equation*}

Demonstração.

Temos

\begin{align*} \Delta(a_kb_k) = \amp ~ a_{k+1}b_{k+1}-a_kb_k\\ = \amp ~ a_{k+1}b_{k+1} +(-a_{k+1}b_k + b_ka_{k+1})-a_kb_k\\ = \amp ~ a_{k+1}(b_{k+1} -b_k) +b_k(a_{k+1}-a_k)\\ = \amp ~ a_{k+1}\Delta b_k +b_k\Delta a_k. \end{align*}

Daí,

\begin{equation*} a_{k+1}\Delta b_k = \Delta(a_kb_k) - b_k\Delta a_k. \end{equation*}

Somando, obtemos a fórmula.

Exemplo 3.2.21.

Calcule

\begin{equation*} \sum_{k=1}^{n}k3^k. \end{equation*}

Solução.

Temos

\begin{equation*} \Delta 3^k = 3^{k+1}-3^k = 3^k(3-1) = 2\times 3^k. \end{equation*}

Logo, $3^k = \frac{1}{2}\Delta 3^k$ e

\begin{equation*} \sum_{k=1}^{n}k3^k = \frac{1}{2}\sum_{k=1}^n k\Delta 3^k. \end{equation*}

Aplicando a fórmula da somação por partes, com $a_{k+1}=k$ e $b_k=3^k\text{,}$ temos

\begin{equation*} \sum_{k=1}^{n}k3^k = \frac{1}{2}\sum_{k=1}^n k\Delta 3^k = \frac{1}{2}\left( n\cdot3^{n+1}-0-\sum_{k=1}^n3^k\cdot 1 \right). \end{equation*}

Mas

\begin{equation*} \sum_{k=1}^n3^k = 3\frac{1-3^n}{1-3}=\frac{3^{n+1}}{2}-\frac{3}{2}. \end{equation*}

Daí, resulta

\begin{equation*} \sum_{k=1}^{n}k3^k = \frac{n}{2}3^{n+1}-\frac{3^{n+1}}{4}+\frac{3}{4}=\frac{2n-1}{4}3^{n+1}+\frac{3}{4}. \end{equation*}

No Sage, podemos fazer este cálculo da seguinte maneira:

Matemática Discreta: notas de aula

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Seção 3.2 Progressões Geométricas

Exemplo 3.2.1.

Exemplo 3.2.2.

Exemplo 3.2.3.

Exemplo 3.2.4.

Nota 3.2.5.

Definição 3.2.6.

Exemplo 3.2.7.

Subseção 3.2.1 Termo geral de uma Progressão Geométrica

Nota 3.2.8.

Exemplo 3.2.9.

Nota 3.2.10.

Exemplo 3.2.11.

Subseção 3.2.2 A Fórmula das Taxas Equivalentes

Lema 3.2.12.

Demonstração.

Exemplo 3.2.13.

Exemplo 3.2.14.

Subseção 3.2.3 A Soma dos Termos de uma Progressão Geométrica

Lema 3.2.15.

Demonstração.

Exemplo 3.2.16.

Nota 3.2.17.

Exemplo 3.2.18.

Nota 3.2.19.

Teorema 3.2.20.

Demonstração.

Exemplo 3.2.21.