Definição 9.1.1.
A média aritmética (simples) da lista de \(n\) números \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) é definida por
\begin{equation*}
\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}.
\end{equation*}
Seção 9.1 Médias
Uma ideia bastante importante é a ideia de média. Uma média de uma lista de números é um valor que pode substituir todos os elementos da lista sem alterar uma certa característica da lista. Se essa característica é a soma dos elementos da lista, obtemos a mais simples de todas as médias, a média aritmética. A média aritmética (simples) da lista de \(n\) números \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) é um valor \(\bar{x}\) tal que
\begin{equation*}
x_1+x_2+\cdots+x_n=\bar{x}+\bar{x}+\cdots+\bar{x}=n\bar{x}.
\end{equation*}
Portanto, temos a seguinte definição:
Exemplo 9.1.2.
A média aritmética dos números 3, 36, 54 é
\begin{equation*}
\frac{3+36+54}{3}=31.
\end{equation*}
Se a característica a ser considerada for o produto dos elementos da lista, obtemos a média geométrica. A média geométrica (simples) dos \(n\) números positivos \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) é um valor positivo \(g\) tal que
\begin{equation*}
x_1\cdot x_2\cdots x_n=g\cdot g\cdots g=g^n.
\end{equation*}
Portanto, temos a seguinite definição:
Definição 9.1.3.
A média geométrica (simples) dos \(n\) números positivos \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) é definida por
\begin{equation*}
g=G(x_1, x_2, \ldots, x_n)=\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}.
\end{equation*}
Observe que só definimos a média geométrica para números positivos. Assim, evitamos a possibilidade da média não existir.
Exemplo 9.1.4.
A média geométrica dos números 3, 36, 54 é
\begin{equation*}
\sqrt[3]{3\cdot 36\cdot 54}=18.
\end{equation*}
Se a característica for a soma dos inversos dos elementos da lista, obteremos a média harmônica. A média harmônica (simples) dos \(n\) números positivos \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) é um valor \(h\) tal que
\begin{equation*}
\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}=\frac{1}{h}+\frac{1}{h}+\cdots+\frac{1}{h}=\frac{n}{h}.
\end{equation*}
Portanto, temos a seguinte definição:
Definição 9.1.5.
A média harmônica (simples) dos \(n\) números positivos \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) é definida por
\begin{equation*}
h=\frac{n}{\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+\cdots+\dfrac{1}{x_n}}.
\end{equation*}
Exemplo 9.1.6.
A média harmônica é, pois, o inverso da média aritmética dos inversos dos números. A média harmônica dos números 3, 36, 54 é
\begin{equation*}
\frac{3}{\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{36}+\dfrac{1}{54}}=\dfrac{3}{\dfrac{36+3+2}{108}}=\dfrac{3\cdot 108}{41}=\dfrac{324}{41}\approx 7,9.
\end{equation*}
Exemplo 9.1.7.
Uma empresa produziu, durante o primeiro trimestre do ano passado, 500, 200 e 200 unidades, em janeiro, fevereiro e março, respectivamente. Qual foi a produção média mensal nesse trimestre?
Solução.Que média é essa que queremos? Queremos uma média \(M\) tal que, se a produção mensal fosse sempre igual a \(M\text{,}\) a produção trimestral seria a mesma. A produção trimestral foi de \(500+200+200\text{.}\) Se em todos os meses a produção fosse igual a \(M\text{,}\) a produção trimestral seria igual a \(3M\text{.}\) Logo, \(3M=500+200+200\) e
\begin{equation*}
M=\frac{500+200+200}{3}=300.
\end{equation*}
A média desejada era a média aritmética. Resposta: \(300\text{.}\)
Exemplo 9.1.8.
Uma empresa aumentou sua produção durante o primeiro bimestre do ano passado. Em janeiro e em fevereiro, as taxas de aumento foram de 21% e 8%, respectivamente. Qual foi a taxa média de aumento mensal nesse bimetre?
Solução.
Comentário. A resposta não é \((21\%+8\%)/2=14,5\%\text{.}\)
Que média queremos? Queremos uma taxa média \(i\) tal que, se em todos os meses a taxa de aumento fosse igual a \(i\text{,}\) o aumento bimetral seria o mesmo. O aumento bimestral foi de 30,68%, conforme mostra o esquema
\begin{equation*}
100\mapsto 100\cdot 1,21 \mapsto 100\cdot 1,21\cdot 1,08=130,68.
\end{equation*}
Se em todos os meses tivéssemos um aumento de taxa \(i\text{,}\) teríamos
\begin{equation*}
100\mapsto 100(1+i) \mapsto 100(1+i)^2.
\end{equation*}
Então,
\begin{align*}
100(1+i)^2 =\amp~ 100\cdot 1,21\cdot 1,08\\
(1+i)^2 =\amp~ 1,21\cdot 1,08\\
1+i =\amp~ \sqrt{1,21\cdot 1,08}\approx 1,1432\\
i \approx\amp~ 0,1432=14,32\%.
\end{align*}
A média procurada era uma média geométrica. Mais precisamente: a taxa média, aumentada de uma unidade, é a média geométrica das taxas mensais aumentadas de uma unidade.
Exemplo 9.1.9.
Um concurso anual distribui igualmente entre os vencedores um prêmio total de R$ 1800,00. Nos últimos três anos houve 2, 1 e 3 premiados, respectivamente. Qual foi o prêmio médio desses ganhadores?
Solução.
Comentário. Embora o número médio de ganhadores tenha sido igual a 2, o prêmio médio não foi de R$ \(\dfrac{1800,00}{2}=\) R$ \(900,00\text{.}\)
Queremos uma média tal que, se todos os prêmios fossem iguais a essa média, o total distribuído seria o mesmo. Essa é precisamente a média aritmética. Os prêmios foram de
\begin{equation*}
\frac{1800}{2}=900, \frac{1800}{1}=1800 ~\text{ e }~ \frac{1800}{3}=600\text{.}
\end{equation*}
O prêmio médio foi de \(\dfrac{900+1800+600}{3}=1100\) reais.
Observe que a média aritmética dos rateios é igual a
\begin{align*}
\frac{\dfrac{1800}{2}+\dfrac{1800}{1}+\dfrac{1800}{3}}{3} = \amp~ 1800\times \frac{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{3}}{3}\\
=\amp ~ 1800 \div \frac{3}{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{3}}.
\end{align*}
e que
\begin{equation*}
\frac{3}{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{3}}
\end{equation*}
é a média harmônica dos números de ganhadores.
O rateio médio é o rateio que corresponderia a uma quantidade de ganhadores igual à média harmônica dos números de ganhadores.
Outra média importante é a média quadrática.
Definição 9.1.10.
A média quadrática dos números \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) é definida por
\begin{equation*}
q=\sqrt{\frac{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}{n}},
\end{equation*}
isto é, a média quadrática é a raiz quadrada da média aritmética dos quadrados dos números.
Exemplo 9.1.11.
A média quadrática dos números 1 e 7 é
\begin{equation*}
\sqrt{\frac{1^2+7^2}{2}}=5.
\end{equation*}
Exemplo 9.1.12.
A qualidade de uma aproximação é medida pelo seu erro, que é a diferença entre o valor da aproximação e o valor real da grandeza. Por exemplo, 4 é uma aproximação de 3,8 com erro 0,2 (também se diz uma aproximação de 3,8 por excesso, com erro 0,2) e 5,5 é uma aproximação de 5,7 com erro -0,2 (ou uma aproximação de 5,7 por falta, com erro de 0,2). Evidentemente, quanto mais próximo de zero estiver o erro, tanto melhor será a aproximação. Assim, por exemplo, 39 é uma aproximação de 40 (erro igual a -1) que é melhor do que a aproximação 42 (erro igual a 2).
Mede-se a qualidade de uma lista de aproximações pela média quadrática dos seus erros. Também se usa o erro médio quadrático, que é o quadrado dessa média quadrática, ou seja, é a média aritmética dos quadrados dos erros. Abaixo temos duas listas de aproximações do número 4.
\begin{equation*}
S_1 = [3;4,5;3,6]\quad \text{e}\quad S_2=[3,2;4,8].
\end{equation*}
Os erros médios quadráticos são respectivamente iguais a
\begin{equation*}
\frac{1^2+0,5^2+0,4^2}{3}=0,47 \quad \text{e}\quad \frac{0,8^2+0,8^2}{2}=0,64.
\end{equation*}
\(S_1\) é uma lista de aproximações de \(4\) melhor do que \(S_2\text{.}\)
Teorema 9.1.13.
Se a média aritmética dos números \(x_1,x_2,\ldots,x_n\) é igual a \(\bar{x}\text{,}\) pelo menos um dos números \(x_1,x_2,\ldots,x_n\) é maior que ou igual a \(\bar{x}\text{.}\)
Demonstração.
Com efeito, se fosse \(x_1\lt \bar{x}\text{,}\) \(x_2\lt \bar{x}, \ldots, x_n\lt \bar{x}\text{,}\) teríamos
\begin{equation*}
x_1+x_2+\cdots+x_n\lt n \bar{x}
\end{equation*}
Logo,
\begin{equation*}
\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\lt \bar{x}.
\end{equation*}
E portanto,
\begin{equation*}
\bar{x}\lt \bar{x},
\end{equation*}
o que é um absurdo.
Exemplo 9.1.14.
Mostre que em um grupo de 50 pessoas, há sempre pelo menos 5 que nasceram no mesmo mês.
Solução.O número médio de pessoas por mês é \(\frac{50}{12}\approx 4,1\text{.}\) Logo, em algum mês o número de nascidos nesse mês é maior que ou igual a \(4,1\text{,}\) ou seja, é maior que ou igual a 5.
Uma consequência imediata do Teorema 9.1.13 é o Princípio das Casas dos Pombos (ou Princípio das Gavetas de Dirichlet).
Teorema 9.1.15.
Se \(n+1\) ou mais objetos são colocados em \(n\) ou menos gavetas, então pelo menos uma gaveta recebe mais de um objeto.
Demonstração.
O número médio de objetos por gaveta é maior que ou igual a \(\frac{n+1}{n}\text{,}\) que é maior que 1. Logo, em alguma gaveta haverá um número de objetos maior que 1.
Exemplo 9.1.16.
Mostre que todo inteiro positivo \(n\) tem um múltiplo que se escreve apenas com os algarismos 0 e 1.
Solução.Considere os \(n+1\) primeiros números da sequência \(1,11,111,\ldots\text{.}\) Divida-os por \(n\) e considere os restos dessas divisões. Esses restos só podem ser iguais a \(0,1,2,\ldots, n-1\text{.}\)
Pensando nos números como objetos e nos restos como gavetas, temos mais objetos do que gavetas. O Princípio das Gavetas assegura que alguma gaveta receberá mais de um objeto, isto é, há dois números na sequência que dão o mesmo resto quando divididos por \(n\text{,}\) digamos \(111\ldots1\) (\(p\) algarismos) e \(111\ldots1\) (\(q\) algarismos), \(p\lt q\text{.}\) A diferença desses números é um múltiplo de \(n\) e se escreve \(111\ldots10\ldots0\text{,}\) com \(p\) algarismos \(0\) e \(q\) algarismos \(1\text{.}\)
Exemplo 9.1.17.
Cinco pontos são tomados sobre a superfície de um quadrado de lado 2. Mostre que há dois desses pontos tais que a distância entre eles é menor que ou igual a \(\sqrt{2}\text{.}\)
Solução.Divida o quadrado de lado 2 em quatro quadrados de lado 1, ligando os pontos médios dos lados opostos. Pensando nos pontos como objetos e nos quadrados como gavetas, temos mais objetos que gavetas. O Princípio das Gavetas assegura que alguma gaveta receberá mais de um objeto, isto é, haverá dois pontos no mesmo quadrado de lado 1. A distância entre esses pontos é no máximo igual ao comprimento da diagonal do quadrado, que é \(\sqrt{2}\text{.}\)
Exemplo 9.1.18.
Um enxadrista, durante 11 semanas, joga pelo menos uma partida por dia mas não joga mais de 12 partidas por semana. Mostre que é possível achar um conjunto de dias consecutivos durante os quais ele jogou exatamente 20 partidas.
Solução.Em 11 semanas temos 77 dias. Chamaremos de \(S_k, k=1,2,\ldots, 77\text{,}\) o número de partidas jogadas desde o primeiro até o \(k\)-ésimo dia, inclusive. Como ele joga pelo menos uma partida por dia, temos \(1\leq S_1\lt S_2\lt \cdots \lt S_{77}\text{.}\) Além disso, \(S_{77}\leq 132\) pois ele não joga mais de 12 partidas por semana.
Definindo \(S_0=0\text{,}\) a quantidade de partidas jogadas do dia \(p\) ao dia \(q\text{,}\) inclusive, é igual a \(S_q-S_{p-1}\text{.}\) Queremos mostrar que é possível determinar \(p\) e \(q\) de modo que \(S_q-S_{p-1}=20\text{.}\)
Considere os 154 números
\begin{equation*}
S_1, S_2, \ldots, S_{77}, S_1+20, S_2+20, \ldots, S_{77}+20.
\end{equation*}
Eles pertencem a \(\{1,2,\ldots, 152\}\text{.}\) O Princípio das Gavetas assegura que dois desses números são iguais. Como \(S_1\lt S_2\lt \cdots \lt S_{77}\text{,}\) os números iguais devem estar em metades diferentes dessa lista de 154 números. Então, existem \(m\) e \(n\) tais que \(S_m=S_n+20\text{.}\) O enxadrista joga 20 partidas entre os dias \(n+1\) e \(m\text{,}\) inclusive.
Finalmente, definimos médias ponderadas.
Definição 9.1.19.
A média aritmética ponderada dos números \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) com pesos respectivamente iguais a \(p_1, p_2, \ldots, p_n\) é definida por
\begin{equation*}
\frac{p_1x_1+p_2x_2+\cdots+p_nx_n}{p_1+p_2+\cdots+p_n}.
\end{equation*}
Nota 9.1.20.
Embora a ideia primitiva seja que a média aritmética ponderada é uma média aritmética simples de uma lista de números dos quais \(p_1\) são iguais a \(x_1\text{,}\) \(p_2\) são iguais a \(x_2\text{,}\) ..., \(p_n\) são iguais a \(x_n\) não há problema em considerar pesos não inteiros.
Aliás, é bastante útil trabalhar com pesos relativos e considerar a média aritmética ponderada dos números \(x_1, x_2, \ldots, x_n\text{,}\) com pesos iguais a \(p_1, p_2, \ldots, p_n\text{,}\) respectivamente, como sendo
\begin{equation*}
\frac{p_1}{p_1+p_2+\cdots+p_n}x_1+\cdots+\frac{p_n}{p_1+p_2+\cdots+p_n}x_n.
\end{equation*}
Assim, uma média aritmética ponderada dos números \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) é uma expressão da forma
\begin{equation*}
\lambda_1 x_1+\lambda_2 x_1+\cdots +\lambda_n x_n, \quad \text{na qual}\quad \lambda_1+\lambda_2+\cdots +\lambda_n=1.
\end{equation*}
Exemplo 9.1.21.
Em um grupo de pessoas, 70% das pessoas são adultos e 30% são crianças. O peso médio dos adultos é 70kg e o peso médio das crianças é de 40kg. Qual o peso médio do grupo?
Solução.É a média aritmética ponderada dos dois subgrupos, com pesos relativos de 0,7 e 0,3. A resposta é \(0,7\times 70+0,3\times 40=61kg.\)
