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Matemática Discreta: notas de aula

Ricardo Machado

Seção 5.1 Juros Compostos

Quotidianamente, estamos frente a problemas práticos, tais como se devemos ou não parcelar uma compra e, se for o caso, em quantas parcelas? Se devemos ou não antecipar o pagamento de uma dívida, usando o décimo terceiro salário? Esses são desafios que, se resolvidos corretamente, nos auxiliam a tomar decisões que podem proporcionar uma boa economia.
A ferramenta matemática básica que é utilizada nesse tipo de questões são as progressões geométricas, bastando, para resolvê-las modelar corretamente cada problema.

Definição 5.1.1.

Alguém que dispõe de um capital \(C\) (chamado de principal), empresta-o a outrem por um certo período de tempo, e após esse período, recebe o seu capital \(C\) de volta, acrescido de uma remuneração \(J\) pelo empréstimo. Essa remuneração é chamada de juro. A soma \(C+J\) é chamada de montante e será representada por \(M\text{.}\) A razão \(i=\frac{J}{C}\) que é a taxa de crescimento do capital, será sempre referida ao período da operação e chamada de taxa de juros.

Exemplo 5.1.2.

Lúcia tomou um empréstimo de R$ 100,00. Dois meses após, pagou R$ 140,00. Quais foram os juros pagos, a taxa de juros e o montante pago por Lúcia?
Solução.
Os juros pagos por Lúcia são de R$ 40,00 e a taxa de juros é de \(\frac{40}{100}=0,40=40\%\) ao bimestre. O montante, que é a dívida na época do pagamento, é de R$ 140,00.
Basta observar que os valores do capital crescem a uma taxa constante \(i\) e, portanto, formam uma progressão geométrica de razão \(1+i\text{.}\)

Exemplo 5.1.4.

Pedro investe 150 reais a juros de \(1\%\) ao mês. Qual será o montante de Pedro três meses depois? E qual o montante de Pedro 10 anos depois?
Solução.
  1. \(C_3=C_0(1+i)^3 = 150(1+0,01)^3=154,55\) reais
  2. \(C_{10\times12}=C_0(1+i)^{120} = 150(1+0,01)^{120}\) reais. Isso pode ser calculado no Sage da seguinte maneira:
É importante perceber que o valor de uma quantia depende da época à qual ela está referida. Se eu consigo fazer com que meu dinheiro renda 10% ao mês, me é indiferente pagar agora R$ 100,00 ou pagar R$ 110,00 daqui a um mês. É mais vantajoso pagar R$ 105,00 daqui a um mês do que pagar R$ 100,00 agora. é mais vantajoso pagar R$ 100,00 agora do que pagar R$ 120,00 daqui a um mês.

Nota 5.1.5.

No fundo, só há um único problema de Matemática Financeira: deslocar quantias no tempo.
Outro modo de ler o Teorema 5.1.3, é que uma quantia, hoje igual a \(C_0\text{,}\) transforma-se-á, depois de \(n\) períodos de tempo, em uma quantia igual a \(C_0(1+i)^n\text{.}\) Isto é, uma quantia, cujo valor atual é \(A\text{,}\) equivalerá no futuro, depois de \(n\) períodos de tempo, a \(F=A(1+i)^n\text{.}\)
Essa é a fórmula fundamental da equivalência de capitais, para obter o valor futuro, basta multiplicar o atual por \((1+i)^n\text{,}\) e para obter o valor atual, sabendo o valor futuro, basta dividir o valor futuro por \((1+i)^n\text{,}\) ou seja:
  1. \(F = A(1+i)^n\text{,}\)
  2. \(\displaystyle A = \frac{F}{(1+i)^n}.\)

Exemplo 5.1.6.

Pedro tomou um emprétimo de \(300\) reais, a juros de \(15\%\) ao mês. Dois meses após, Pedro pagou \(150\) reais e, um mês após esse pagamento, Pedro liquidou seu débito. Qual o valor desse último pagamento?
Solução.
Os esquemas de pagamento abaixo são equivalentes. Logo, 300 reais, na data 0, têm o mesmo valor de 150 reais dois meses após, mais um pagamento igual a \(P\text{,}\) na data 3.
Figura 5.1.7. Esquemas de pagamento.
Portanto, trazendo todos os valores para o valor atual, ficamos com
\begin{equation*} 300 = \frac{150}{(1+0,15)^2}+\frac{P}{(1+0,15)^3}. \end{equation*}
E resolvendo a equação, obtemos \(P=283,76\text{.}\)

Exemplo 5.1.8.

Pedro tem duas opções de pagamento na compra de um televisor:
  1. três prestações mensais de R$ 160,00 cada;
  2. sete prestações mensais de R$ 70,00 cada.
Em ambos os casos, a primeira prestação é paga no ato da compra. Se o dinheiro vale 2% ao mês para Pedro, qual a melhor opção que Pedro possui?
Solução.
Para comparar, determinaremos o valor dos dois conjuntos de pagamentos na mesma época, por exemplo na época 2. Os esquemas de pagamentos são:
Figura 5.1.9. Esquemas de pagamento.
Para comparar, determinaremos o valor dos dois conjuntos de pagamentos na mesma época. Por exemplo, na época 0, temos,
\begin{align*} a = \amp~ 160+\frac{160}{(1,02)}+\frac{160}{(1,02)^2}=470,65\\ b = \amp~ 70+\frac{70}{(1,02)}+\frac{70}{(1,02)^2}+\frac{70}{(1,02)^3}+\frac{70}{(1,02)^4}+\frac{70}{(1,02)^5}\\ \amp~\quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad \quad+\frac{70}{(1,02)^6}=462,10 \end{align*}
Pedro deve preferir o pagamento em sete prestações.
É um absurdo que muitas pessoas razoavelmente instruídas achem que o primeiro esquema é melhor pois o total pago é de R$ 480,00 ao passo que no segundo esquema o total pago é de R$ 490,00.
O cálculo dos valores de \(a\) e \(b\) podem ser conferidos no Sage da seguinte maneira:

Exemplo 5.1.10.

Pedro tem três opções de pagamento na compra de vestuário.
  1. à vista, com 30% de desconto;
  2. em duas prestações mensais iguais, sem desconto, vencendo a primeira um mês após a compra;
  3. em três prestações mensais iguais, sem desconto, vencendo a primeira no ato da compra.
Qual a melhor opção para Pedro, se o dinheiro vale, para ele, 25% ao mês?
Solução.
Fixando o preço do bem em 30, temos os três esquemas abaixo
Figura 5.1.11. Esquemas de pagamento.
Comparando os valores, por exemplo, na época 0, obtemos:
\begin{align*} a = \amp~ 21\\ b = \amp~ \frac{15}{(1,25)}+\frac{15}{(1,25)^2} = 21,60\\ c = \amp~ 10+\frac{10}{(1,25)}+\frac{10}{(1,25)^2}=24,40. \end{align*}
A melhor alternativa é a primeira e a pior é a terceira.
O cálculo dos valores de \(a\) e \(b\) podem ser conferidos no Sage da seguinte maneira:

Exemplo 5.1.12.

Uma loja oferece duas opções de pagamento:
  1. à vista, com 30% de desconto;
  2. em duas prestações mensais iguais, sem desconto, a primeira prestação sendo paga no ato da compra.
Qual a taxa mensal dos juros embutidos nas vendas a prazo?
Solução.
Fixando o valor do bem em 100, temos os esquemas de pagamentos abaixo:
Figura 5.1.13. Esquemas de pagamento.
Igualando os valores, por exemplo, na época 0 (a data usada nessas comparações é chamada de data focal), obtemos
\begin{equation*} 70 = 50+\frac{50}{1+i}. \end{equation*}
Daí, \(i = 1,5 = 150\%\text{.}\) A loja cobra 150% ao mês nas vendas a prazo.
O cálculo dos valores de \(a\) e \(b\) podem ser conferidos no Sage da seguinte maneira:

Exemplo 5.1.14.

Investindo seu capital a juros mensais de 8%, em quanto tempo você dobrará o seu capital inicial?
Solução.
Temos \(C_0(1+0,08)^n = 2C_0\text{.}\) Daí
\begin{equation*} (1,08)^n = 2\quad \text{ e }\quad n = \frac{\log(2)}{\log(1,08)}\approx 9. \end{equation*}
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