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Matemática Discreta: notas de aula

Ricardo Machado

Seção 3.1 Progressões Aritméticas

Subseção 3.1.1 Sequências Numéricas

  1. Progressões Aritméticas são casos particulares de sequências numéricas.
  2. Uma sequência numérica é uma função \(x:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{R}\text{.}\)
  3. É comum denotar \(x(n)\) por \(x_n\) e usar \((x_n)\) para representar a sequência.

Subseção 3.1.2 Progressões Aritméticas

Definição 3.1.1.

  1. Uma progressão aritmética é uma sequência na qual a diferença entre cada termo e o termo anterior é constante. Essa diferença constante é chamada de razão da progressão e representada pela letra r.
  2. Mais formalmente: \((a_n)\) é uma progressão aritmética quando existe um número real \(r\) tal que \(a_{n+1} = a_n + r\text{,}\) para todo \(n\in\mathbb{N}\text{.}\)
Em uma progressão aritmética \((a_n)\)
  • para avançar um termo, basta somar a razão;
  • para avançar dois termos, basta somar duas vezes a razão;
  • e assim por diante;
De modo geral,
\begin{equation*} a_n = a_1+(n-1)r, \end{equation*}
pois, ao passar de \(a_1\) para \(a_n\) , avançamos \(n-1\) termos.

Exemplo 3.1.2.

Em uma progressão aritmética, o quinto termo vale 30 e o vigésimo termo vale 50. Quanto vale o oitavo termo dessa progressão?
Solução.
Observe que \(a_{20}=a_5+15r\text{.}\) Logo, \(50=30+15r\text{,}\) daí \(r=\frac{4}{3}\text{.}\) Assim,
\begin{equation*} a_8 = a_5+3r =30+3\times \frac{4}{3} = 34. \end{equation*}

Exemplo 3.1.3.

Qual é a razão da progressão aritmética que se obtem inserindo 10 termos entre os números 3 e 25?
Solução.
Temos \(a_1=3\) e \(a_{12}=25\text{.}\) Como \(a_{12}=a_1+11r\text{,}\) temos \(25 = 3+11r\text{,}\) logo \(r=2\text{.}\)

Exemplo 3.1.4.

O cometa Halley visita a Terra a cada 76 anos. Sua última passagem por aqui foi em 1986. Quantas vezes ele visitou a Terra desde o nascimento de Cristo? Em que ano foi sua primeira passagem na era cristã?
Solução.
Os anos de passagem do cometa foram 1986, 1910, 1834,... e formam uma progressão aritmética de razão −76.
O termo de ordem n dessa progressão é
\begin{equation*} a_n = a_1+(n-1)r=1986-76(n-1)=2062-76n. \end{equation*}
Temos \(a_n>0\) quando \(n\lt\frac{2062}{76}=27,13...\) Portanto, os termos positivos dessa progressão são os 27 primeiros.
Logo, ele nos visitou 27 vezes na era cristã e sua primeira passagem na era cristã foi no ano \(a_{27} = 2062 - 76 \times 27 = 10\text{.}\)
Nota 3.1.5.
Na verdade, a primeira passagem do cometa Halley na era cristã ocorreu no ano 12.

Exemplo 3.1.6.

O preço de um carro novo é de R$ 15 000,00 e diminui de R$1 000,00 a cada ano de uso. Qual será o preço com 4 anos de uso?
Solução.
Chamando o preço com \(n\) anos de uso de \(a_n\text{,}\) temos \(a_0 = 15000\) e queremos calcular \(a_4\text{.}\)
Como a desvalorização anual é constante, \((a_n)\) é uma progressão aritmética.
Logo, \(a_4 = a_0 + 4r = 15000 + 4 \times (−1000) = 11000\text{,}\) ou seja, o preço será de R$11 000,00.

Exemplo 3.1.7.

Determine 4 números em progressão aritmética crescente, conhecendo sua soma 8 e a soma de seus quadrados 36.
Solução.
Um bom truque, para representar progressões aritméticas com um número par de termos, é chamar os dois termos centrais de \(x-y\) e \(x+y\text{.}\) Isso faz com que a razão seja \((x+y)-(x-y)=2y\text{.}\) A progressão é então
\begin{equation*} x-3y, x-y, x+y, x+3y. \end{equation*}
Temos
\begin{equation*} \begin{cases} \displaystyle(x-3y)+(x-y)+(x+y)+(x+3y)=8\\ (x-3y)^2+(x-y)^2+(x+y)^2+(x+3y)^2=36 \end{cases} \end{equation*}
Somando cada linha , obtemos
\begin{equation*} \begin{cases} \displaystyle 4x=8\\ 4x^2+20y^2=36 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \displaystyle x=2\\ y=\pm 1 \end{cases} \end{equation*}
Como a progressão é crescente, \(y>0\text{.}\) Logo, \(x=2\) e \(y=1\text{.}\) Os números são \(-1, 1, 3, 5\text{.}\)

Subseção 3.1.3 Progressões Aritméticas e Funções Afins

Nota 3.1.8.

Em uma progressão aritmética de razão não nula, o termo geral é dado por um polinômio do primeiro grau em \(n\text{:}\)
\begin{equation*} a_n=a_1+(n-1)r = r\cdot n+(a_1-r). \end{equation*}
Reciprocamente, se em uma sequência o termo de ordem \(n\) for dado por um polinômio do primeiro grau em \(n\) ela será uma progressão aritmética de razão não nula. Com efeito, se \(x_n = an + b, (x_n)\) é uma progressão aritmética na qual \(r = a\) e \(a_1 = a + b\text{.}\)
Portanto, uma progressão aritmética pode ser vista como uma função afim, restrita ao domı́nio dos números naturais.
Em consequência, o gráfico de uma progressão aritmética é um conjunto de pontos igualmente espaçados sobre uma reta.

Subseção 3.1.4 Soma dos Termos de uma Progressão Aritmética

Baseado na ideia de Gauss, usada para calcular a soma \(1+2+3+\cdots+100\text{,}\) podemos calcular a soma dos \(n\) primeiros termos de uma progressão aritmética qualquer.
\begin{equation*} S_n = a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}+a_n \end{equation*}
\begin{equation*} S_n = a_n+a_{n-1}+\cdots+a_2+a_1 \end{equation*}
Somando as duas igualdades, ficamos com
\begin{equation*} 2S_n=(a_1+a_n)+(a_2+a_{n-1})+\cdots+(a_{n-1}+a_2)+(a_1+a_n) \end{equation*}
Como \(a_j+a_{n-(j-1)} = a_1+a_n\text{,}\) para \(j=1,2,\ldots, n\text{,}\) obtemos
\begin{equation*} S_n = \frac{(a_1+a_n)n}{2}. \end{equation*}

Exemplo 3.1.10.

Qual é o valor da soma dos 20 primeiros termos da progressão aritmética \(2,6,10,\ldots\text{?}\)
Solução.
Primeiro, vamos calcular \(a_{20}\text{,}\) depois, usamos a fórmula da soma.
\begin{equation*} a_{20}=a_1+19r=2+19\times 4=78. \end{equation*}
\begin{equation*} S_{20}=\frac{(2+78)20}{2}=800. \end{equation*}

Exemplo 3.1.11.

Qual é a soma dos \(n\) primeiros números inteiros positivos?
Solução.
\begin{equation*} \sum_{k=1}^n k = 1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}. \end{equation*}
Observe que \(S_n\) no exemplo anterior, é um polinômio do segundo grau em \(n\text{,}\) sem termo independente.

Exemplo 3.1.12.

Qual é a soma dos \(n\) primeiros números ímpares?
Solução.
\begin{equation*} 1+3+5+\cdots+(2n-1)=\frac{(1+2n-1)n}{2}=n^2. \end{equation*}

Nota 3.1.13.

Observe que \(S_n\text{,}\) no exemplo anterior, é também um polinômio do segundo grau em \(n\text{,}\) sem termo indepentente. Isto se generaliza como segue.
A soma dos \(n\) primeiros termos de um progressão aritmética é
\begin{equation*} S_n = \frac{(a_1+a_n)n}{2}=\frac{(a_1+a_1+(n-1)r)n}{2} = \frac{r}{2}n^2+\left( a_1-\frac{r}{2} \right)n. \end{equation*}
Observe que, se \(r\neq 0\text{,}\) então \(S_n\) é um polinômio do segundo grau em \(n\text{,}\) desprovido de termo independente. Se \(r=0, S_n\) é um polinômio de grau menor que 2, sem termo independente.
Reciprocamente, todo polinômio do segundo grau em \(n\text{,}\) desprovido de termo independente, é o valor da soma dos \(n\) primeiros termos de alguma progressão aritmética. Com efeito
\begin{equation*} P(n)=an^2+bn \end{equation*}
é a soma dos \(n\) primeiros termos da progressão aritmética na qual
\begin{equation*} \frac{r}{2}=a \text{ e } a_1-\frac{r}{2}=b, \text{ ou seja, } r=2a \text{ e } a_1=a+b. \end{equation*}

Subseção 3.1.5 Progressões Aritméticas de Ordem Superior

Definição 3.1.14.

Define-se para sequências o operador \(\Delta\text{,}\) chamado de operador diferença, por \(\Delta a_n = a_{n+1}-a_n\text{.}\)
Portanto, da definição segue imediatamente que uma sequência \((a_n)\) é uma progressão aritmética se e somente se \((\Delta a_n) = (a_{n+1} - a_n)\) é constante.

Exemplo 3.1.15.

Mostre que
\begin{equation*} \sum_{k=1}^n \Delta a_k = a_{n+1}-a_1. \end{equation*}
Este resultado é conhecido como o Teorema Fundamental da Somação.
Solução.
\begin{equation*} \sum_{k=1}^n \Delta a_k = \Delta a_1+\Delta a_2+\cdots+\Delta a_{n-1}+\Delta a_n= \end{equation*}
\begin{equation*} (a_2-a_1)+(a_3-a_2)+\cdots+(a_n-a_{n-1})+(a_{n+1}-a_n)= \end{equation*}
\begin{equation*} a_{n+1}-a_1. \end{equation*}

Definição 3.1.16.

Uma progressão aritmética de segunda ordem é uma sequência \((a_n)\) na qual as diferenças \(\Delta a_n = a_{n+1} - a_n\text{,}\) entre cada termo e o termo anterior, formam uma progressão aritmética não-estacionária.

Exemplo 3.1.17.

A sequência \((a_n)=(1,3,6,10,15,21,\ldots)\) é uma progressão aritmética de segunda ordem, pois a sequência das diferenças entre cada termo e o anterior,
\begin{equation*} (b_n)=(\Delta a_n)=(a_{n+1}-a_n)=(2,3,4,5,6,\ldots) \end{equation*}
é uma progressão aritmética não-estacionária.
Calculando o somatório,
\begin{equation*} a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} \Delta a_k = a_1+(a_2-a_1)+(a_3-a_2)+\cdots+(a_n-a_{n-1}), \end{equation*}
obtemos \(a_n\text{.}\) A última igualdade segue diretamente do Teorema 3.1.9

Exemplo 3.1.19.

Determine o termo \(a_{20}\text{,}\) da progressão aritmética de segunda ordem \((a_n)=(1,3,6,10,15,21,\ldots)\text{.}\)
Solução.
Já conhecemos \(a_1\) e \(\Delta a_1\text{.}\) Para usar o Teorema 3.1.18, precisamos calcular \(\Delta a_{19}\text{.}\)
\begin{equation*} \Delta a_{19} = \Delta a_1 + 18\cdot 1 = 2+18 = 20. \end{equation*}
Substituindo os valores na última igualdade do Teorema 3.1.18, obtemos
\begin{equation*} a_{20} = a_1+\frac{(\Delta a_{19}+\Delta a_1)19}{2} = 1+\frac{(20+2)19}{2}=210. \end{equation*}

Definição 3.1.20.

De modo geral, uma progressão aritmética de ordem \(k\) \((k > 2)\) é uma sequência na qual as diferenças entre cada termo e o termo anterior formam uma progressão aritmética de ordem \(k - 1\text{.}\)

Exemplo 3.1.21.

Moste que \((a_n) = (n^3 - n)\) é uma progressão aritmética de terceira ordem.
Solução.
A tabela abaixo mostra as sequências \(a_n, (\Delta a_n), (\Delta^2 a_n), (\Delta^3 a_n)\text{.}\)
Tabela 3.1.22.
\(n\) \(a_n\) \(\Delta a_n\) \(\Delta^2 a_n\) \(\Delta^3 a_n\)
0 0 0 6 6
1 0 6 12 6
2 6 18 18 6
3 24 36 24 6
4 60 60 30 \(\square\)
5 120 90 \(\square\)
6 210 \(\square\)
7 \(\square\)
Se \((\Delta^3 a_n)\text{,}\) como parece, for constante, \((\Delta^2 a_n)\) será uma progressão aritmética, \((\Delta a_n)\) será uma progressão aritmética de segunda ordem e \((a_n)\) será uma progressão aritmética de terceira ordem. Isso é verdade, pois
\begin{align*} a_n = \amp ~n^3-n \\ \Delta a_n = \amp ~ a_{n+1}-a_n = (n+1)^3-(n+1) - (n^3-n)=3n^2+3n\\ \Delta^2 a_n = \amp ~ 3(n+1)^2+3(n+1)-(3n^2+3n) = 6n+6 \\ \Delta^3 a_n = \amp ~ 6(n+1)+6 - (6n+6) = 6. \end{align*}
e \(\Delta^3 a_n\) realmente é constante.
Observe que, nesse quadro, a soma de dois elementos lado a lado é igual ao elemento que está embaixo do primeiro desses elementos. Isso nos permite calcular os elementos que estão assinalados por \(\square\) na tabela acima. Da direita para a esquerda, eles são iguais a 6 , 30 + 6 = 36 , 90 + 36 = 126 e 210 + 126 = 336. Portanto, \(a_7 = 336\) e este foi o processo mais exótico que você já viu para calcular \(a_7 = 7^3 - 7\text{.}\)

Nota 3.1.23.

A sequência cujo termo de ordem \(n\) é a soma \(S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n\) dos \(n\) primeiros termos de uma progressão aritmética de ordem \(p\) é uma progressão aritmética de ordem \(p+1\text{.}\) Basta observar que o operador diferença, aplicado a \((S_n)\text{,}\) fornece \(\Delta S_n=S_{n+1}-S_n=a_{n+1}\) e define, portanto, uma progressão aritmética de ordem \(p\text{.}\)
Com efeito, se \(a_n=an^2+bn+c\text{,}\) com \(a\neq 0\text{,}\) temos
\begin{align*} \Delta a_n = \amp ~a_{n+1}-a_n \\ = \amp ~ a(n+1)^2+b(n+1)+c - (an^2+bn+c)\\ = \amp ~ 2an+(a+b), \end{align*}
que é do primeiro grau em n. Pela Nota 3.1.8, \((\Delta a_n)\) é uma progressão aritmética não-estacionária.
Por outro lado, se \((a_n)\) é uma progressão aritmética de segunda ordem, \(b_n = \Delta a_n = a_{n+1} - a_n\) é uma progressão aritmética com razão diferente de zero e
\begin{align*} S_n= \amp~b_1+b_2+b_3+\cdots+b_{n-1}+b_{n}\\ = \amp~(a_2-a_1)+(a_3-a_2)+(a_4-a_3)+\cdots+(a_n-a_{a-1})+(a_{n+1}-a_n)\\ = \amp~a_{n+1}-a_1. \end{align*}
Pela Nota 3.1.13, como \(b_n\) é uma progressão aritmética, \(S_n=a_{n+1}-a_1\) é um polinômio do segundo grau em \(n\text{.}\) Em consequência, \(a_n\) também é um polinômio do segundo grau em \(n\text{.}\)
A demonstração está no final da seção e encontra-se no Teorema 3.1.30.

Exemplo 3.1.26.

Calcule
\begin{equation*} S_n = \sum_{k=1}^n k(k+2). \end{equation*}
Solução.
Pelo Teorema 3.1.25, a sequência definida por \(a_n=n(n+2)\) é uma progressão aritmética de ordem \(2\text{,}\) já que seu termo geral é um polinômio de grau 2. Logo, a soma \(S_n\) de seus \(n\) primeiros termos define uma progressão aritmética de ordem \(2+1=3\text{.}\) Portanto, usando agora a volta do Teorema 3.1.25, o termo geral de \(S_n\) é dado por um polinômios de grau 3 em \(n\text{.}\) Isto é, podemos escrever \(S_n=an^3+bn^2+cn+d\text{.}\) Atribuindo valores 1, 2, 3 e 4, obtemos as equações
\begin{equation*} \begin{cases} a+b+c+d=3\\ 8a+4b+2c+d=11\\ 27a+9b+3c+d=26\\ 64a+16b+4c+d=50. \end{cases} \end{equation*}
Resolvendo, encontramos
\begin{equation*} a=\frac{1}{3}, b=\frac{3}{2}, c=\frac{7}{6}, d=0. \end{equation*}
Então,
\begin{equation*} S_n = \frac{1}{3}n^3+\frac{3}{2}n^2+\frac{7}{6}n=\frac{2n^3+9n^2+7n}{6}=\frac{n(n+1)(2n+7)}{6}. \end{equation*}
Abaixo, usamos o SageMath para obter a solução do sistema.

Subseção 3.1.6 Somas Polinomiais

A pergunta que nos colocamos é como calcular somas do tipo
\begin{equation*} \sum_{k=1}^n P(k), \end{equation*}
onde \(P(k)\) é um polinômio em \(k\text{.}\)
Se o polinômio é \(P(k) = a_0 + a_1k + a_2k^2 +\cdots+ a_mk^m\text{,}\) temos
\begin{align*} \sum_{k=1}^n P(k) = \amp ~\sum_{k=1}^n a_0 +\sum_{k=1}^n a_1k+\cdots +\sum_{k=1}^n a_mk^m \\ = \amp ~ a_0\sum_{k=1}^n 1 +a_1\sum_{k=1}^n k+\cdots +a_m\sum_{k=1}^n k^m, \end{align*}
que pode ser calculado desde que saibamos calcular, para \(p \in \mathbb{N}\text{,}\) somas do tipo:
\begin{equation*} \sum_{k=1}^n k^p = 1^p+2^p+\cdots+n^p. \end{equation*}

Exemplo 3.1.27.

Determine o valor de
\begin{equation*} \sum_{k=1}^n k^2 = 1^2+2^2+\cdots+n^2. \end{equation*}
Solução.
Observe que
\begin{equation*} \sum_{k=1}^n (k+1)^3 = \sum_{k=1}^n k^3+3\sum_{k=1}^n k^2+3\sum_{k=1}^n k +\sum_{k=1}^n 1. \end{equation*}
Os dois primeiros somatórios têm várias parcelas em comum, pois
\begin{equation*} \sum_{k=1}^n(k+1)^3 = 2^3+3^3+\cdots+n^3+(n+1)^3 \end{equation*}
e
\begin{equation*} \sum_{k=1}^n k^3 = 1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3 \end{equation*}
Simplificando as parcelas em comum, obtemos
\begin{equation*} (n+1)^3 = 1^3+ 3\sum_{k=1}^nk^2+3\underbrace{\sum_{k=1}^n k}_{=\frac{n(n+1)}{2}}+\underbrace{\sum_{k=1}^n 1}_{=n}. \end{equation*}
Daí,
\begin{align*} 3\sum_{k=1}^n k^2 = \amp ~(n+1)^3-1^3-\frac{3n(n+1)}{2}-n \\ \sum_{k=1}^n k^2 = \amp ~ \frac{2n^3+3n^2+n}{6}\\ \sum_{k=1}^n k^2 = \amp ~ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}. \end{align*}
Observe que \(\sum_{k=1}^n k^2\) é um polinômio do terceiro grau.
Vamos proceder por indução sobre \(p\text{.}\) Para \(p=1\text{,}\) o teorema já foi provado no Exemplo 3.1.11.
Suponhamos agora que \(\sum_{k=1}^n k^p\) seja um polinômio de grau \(p+1\) em \(n\text{,}\) para todo \(p\in \{1, 2, \ldots, s\}\text{,}\) Mostraremos que essa afirmação é verdadeira para \(p=s+1\text{,}\) isto é, mostraremos que \(\sum_{k=1}^n k^{s+1}\) é um polinômio de grau \(s+2\) em \(n\text{.}\) Observe que
\begin{equation*} (k+1)^{s+2}=k^{s+2}+(s+2)k^{s+1}+\cdots, \end{equation*}
onde os termos que não foram escritos explicitamente formam um polinômio de grau \(s\) em \(k\text{.}\) Temos então,
\begin{equation*} \sum_{k=1}^n (k+1)^{s+2} = \sum_{k=1}^n k^{s+2}+(s+2)\sum_{k=1}^n k^{s+1}+F(n), \end{equation*}
na qual, \(F(n)\) é um polinômio de grau \(s+1\) em \(n\text{,}\) pela hipótese de indução. Simplificando os termos comuns aos dois primeiros somatórios, obtemos
\begin{equation*} (n+1)^{s+2} = 1+(s+2)\sum_{k=1}^n k^{s+1}+F(n). \end{equation*}
Daí,
\begin{equation*} \sum_{k=1}^n k^{s+1}=\frac{(n+1)^{s+2}-1-F(n)}{s+2} \end{equation*}
que é um polinômio de grau \(s+2\) em \(n\text{.}\)
Vamos proceder por indução sobre \(p\text{.}\)
Para \(p=1\text{,}\) o teorema decorre da expressão do termo geral de uma progressão aritmética não estacionária (Nota 3.1.8).
Suponhamos que o teorema seja verdadeiro para todo \(p\in \{1, 2, \ldots, s\}\text{.}\) Mostraremos que essa afirmação é verdadeira para \(p=s+1\text{.}\)
Se \((a_n)\) é uma progressão aritmética de ordem \(s+1\text{,}\) \(b_n=\Delta a_n=a_{n+1}-a_n\) é uma progressão aritmética de ordem \(s\) e, pela hipótese de indução, \(b_n\) é um polinômio de grau \(s\) em \(n\text{.}\) Então \(\sum_{k=1}^n b_k = a_{n+1}-a_1\) é, pelo Corolário 3.1.29, um polinômio de grau \(s+1\) em \(n\text{.}\)
Reciprocamente, se \(a_n\) é um polinômio de grau \(s+1\) em \(n\text{,}\) \(\Delta a_n\) é um polinômio de grau \(s\) em \(n\text{,}\) pois \(c_{s+1}(n+1)^{s+1} - c_{s+1}(n)^{s+1}\) é um polinômio de grau \(s\text{.}\) Assim, pela hipótese de indução, \((\Delta a_n)\) é uma progressão aritmética de ordem \(s\text{,}\) ou seja, \((a_n)\) é uma progressão aritmética de ordem \(s+1\text{.}\)

Subseção 3.1.7 Exemplos

Exemplos do Artigo [10.10]

Exemplo 3.1.31. (PIC-OBMEP/2021).

Podem os números \(\sqrt{2}, \sqrt{3}\) e \(\sqrt{5}\) compor três termos consecutivos de uma progressão aritmética?
Solução.
Suponha, por absurdo, que \((\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5})\) seja uma progressão aritmética. Dessa forma, existe uma razão \(r\) tal que
\begin{equation*} \sqrt{5}-\sqrt{3} = r = \sqrt{3}-\sqrt{2}\quad \Leftrightarrow \quad \sqrt{5}+\sqrt{2} = 2\sqrt{3}. \end{equation*}
Elevando ambos os lados da última igualdade ao quadrado, obtemos
\begin{equation*} 5 + 2\sqrt{5}\sqrt{2} + 2 = 4\cdot 3 \quad \Longleftrightarrow \quad 2\sqrt{10} = 12 - 7 \quad \Leftrightarrow \quad \sqrt{10} = \dfrac{5}{2}, \end{equation*}
o que é um absurdo, uma vez que \(\sqrt{10}\) é um número irracional.

Exemplo 3.1.32. (Banco de Questões OBMEP, \(1^\circ\) Ano do Ensino Médio, Módulo de Progressão Aritmética: Definição e Lei de Formação, Problema \(5\text{,}\) - Adaptado).

A sequência dos números pentagonais está ilustrada na figura abaixo:
Figura 3.1.33. Sequência pentagonal - Fonte: [10.10].
Sendo \(a_{1}\) o número de pontos na borda externa do pentágono I, \(a_{2}\) o número de pontos na borda externa do pentágono II e assim sucessivamente, determine quantos pontos possuem na borda externa do pentágono XX, isto é, determine \(a_{20}\text{.}\)
Solução.
Contando os pontos da borda externa dos pentágonos presentes na figura, vemos que \(a_{1} = 5, a_{2} = 10\) e \(a_{3} = 15\text{.}\) Essa construção tem um certo padrão; perceba que cada pentágono é construído através do seu antecessor, adicionando um ponto a cada borda externa, assim podemos notar que o número de pontos, em cada etapa, formam uma PA cuja razão é \(5\text{.}\) Daí, sendo \(a_{1} = 5\) e \(r = 5\text{,}\) podemos encontrar facilmente o termo do pentágono XX que corresponde a vigésima posição, assim:
\begin{equation*} a_{20} = 5 + (20-1)5 = 100. \end{equation*}

Exemplo 3.1.34. (OME, 1994, Fase Nacional, Problema 1).

Demonstre que se entre os infinitos termos de uma progressão aritmética de inteiros positivos existe um quadrado perfeito, então existem infinitos quadrados perfeitos na mesma progressão.
Solução.
Por hipótese a PA é composta por termos positivos, assim podemos considerar \(a_{1} > 0\) o primeiro termo da PA e \(r > 0\) sua razão. Como a PA contém um quadrado perfeito, considere \(x > 0\) tal que \(x^{2}\) é um termo da PA, dessa forma existe \(k \in \mathbb{N}\) tal que \(x^{2} = a_{1} + kr\text{.}\) Note agora que
\begin{equation*} (x+r)^2 = x^2+2xr+r^2 = a_{1}+kr+2xr+r^2 = a_{1}+(k+2x+r)r. \end{equation*}
Logo, encontramos um novo quadrado perfeito maior que \(x^2\) que também pertence a mesma PA. Perceba que poderíamos afirmar que \((x+2r)^2\) também pertence a PA, pois
\begin{equation*} (x+2r)^{2} = x^{2} + 4xr + 4r^{2} = a_{1} + kr + 4xr + 4r^{2} = a_{1} + (k + 4x + 4r)r. \end{equation*}
Analogamente, repetindo o mesmo argumento, podemos afirmar que a PA contém todos os termos do conjunto infinito \(\{(x+nr)^2; n\in \mathbb{N}\},\) o que mostra que a PA contém uma infinidade de quadrados perfeitos.

Exemplo 3.1.35. (POTI, 2012, Álgebra, Nível 2, Aula 4, Problema 15).

Em uma PA, temos \(a_{p}=q\) e \(a_{q}=p\text{,}\) com \(p \neq q\text{.}\) Determine \(a_{1}\) e \(a_{p+q}\text{.}\)
Solução.
Usando diretamente a Fórmula do Termo Generalizado
\begin{equation*} a_{p} = a_{q} + (p-q)r. \end{equation*}
Como \(a_{p} = q\) e \(a_{q} = p\text{,}\) segue que
\begin{align*} q = p + (p-q)r \Rightarrow \amp~ q-p = (p-q)r\\ \Rightarrow\amp~ p-q = -(p-q)r \\ \Rightarrow\amp~ r = -\dfrac{p-q}{p-q} \\ \Rightarrow \amp~ r = -1. \end{align*}
Sendo \(r=-1\) a razão, usando \(a_p\) obtemos
\begin{equation*} a_{p+q} = a_p + [(p+q)-p]r = q + q(-1) = 0. \end{equation*}
Por fim, utilizando \(a_q\)
\begin{align*} a_{1} = a_{q} + (1-q)r \Rightarrow\amp~ a_1 = p + (1-q)(-1)\\ \Rightarrow \amp~ a_{1} = p + q - 1. \end{align*}

Exemplo 3.1.36. (OBM, 2007, \(1^\circ\) fase, Nível 3, Problema 8).

Qual dos inteiros positivos abaixo satisfaz a seguinte equação:
\begin{equation*} \dfrac{4}{n^{4}} + \dfrac{5}{n^{4}} + \dfrac{6}{n^{4}} + \ldots + \dfrac{n^{4}-6}{n^{4}} + \dfrac{n^{4}-5}{n^{4}}+\dfrac{n^{4}-4}{n^{4}} = 309? \end{equation*}
\begin{equation*} a) 2007 \quad\quad b) 309\quad\quad c) 155 \quad\quad d) 25 \quad\quad e) 5 \end{equation*}
Solução.
Colocando \(\dfrac{1}{n^{4}}\) em evidência na equação do enunciado, ficamos com:
\begin{equation} \dfrac{1}{n^{4}}(4+5+6+ \ldots +n^4 -6 + n^{4}-5 + n^{4}-4) = 309.\tag{3.1.1} \end{equation}
Percebemos que as parcelas da soma dentro dos parênteses formam uma PA \((4, 5, 6 , \ldots , n^{4}-6, n^{4}-5, n^{4}-4)\) de razão \(r=1\) com \(a_1=4\text{.}\) Considere \(q\) a quantidade de termos dessa PA, logo \(a_q=n^{4}-4\text{.}\) Então, temos
\begin{align*} a_{q} = a_{1} + (q-1)r \Rightarrow \amp~ n^{4}-4 = 4+(q-1) \\ \Rightarrow\amp~ n^{4}-7=q. \end{align*}
Além disso, da equação (3.1.1), utilizando a fórmula da soma para os \(q\) termos dessa PA e o valor de \(q\) em função de \(n\text{,}\) obtemos
\begin{align*} 309 =\amp~\dfrac{1}{n^{4}}S_{q}\\ =\amp~\dfrac{1}{n^{4}}\dfrac{q(a_{1}+a_{q})}{2}\\ =\amp~\dfrac{1}{n^{4}}\dfrac{(n^{4}-7)(4+n^{4}-4)}{2}\\ =\amp~\dfrac{1}{n^{4}}\dfrac{(n^{4}-7)n^{4}}{2}\\ =\amp~\frac{(n^4-7)}{2}. \end{align*}
Portanto,
\begin{align*} (n^4-7)=\amp~618\\ n^4=\amp~618+7\\ n=\amp~\sqrt[4]{625}\\ n=\amp~5. \end{align*}
A resposta correta é o item e).

Exemplo 3.1.37. (Portal da OBMEP, 2022, \(1^\circ\) Ano do Ensino Médio, Módulo de Progressão Aritmética: Soma dos Termos de Uma PA, Problema \(12\)).

Qual deve ser o numero mínimo de termos consecutivos que devemos somar, a partir do primeiro, da sequência
\begin{equation*} (-133, -126, -119, -112, \ldots) \end{equation*}
para que a soma seja positiva.
Solução.
Note que \(a_{1} = -133\) e \(r = 7\text{.}\) Dessa forma, temos
\begin{align*} S_{n} =\amp~ \dfrac{n(a_{1} + a_{n})}{2}\\ =\amp~ \dfrac{n(-133 + (-133 + (n-1)7))}{2}\\ =\amp~ \dfrac{n(7n-273)}{2}. \end{align*}
Daí para \(S_{n} > 0\text{,}\) devemos ter \(7n^{2} - 273n > 0\text{,}\) que é equivalente a \(7n > 273\text{,}\) e isso nos mostra que \(n > 39\text{.}\) Portanto, o menor inteiro positivo que satisfaz o que é pedido é \(n=40\text{.}\)

Nota 3.1.38.

Uma curiosidade interessante que podemos extrair da fórmula da soma dos \(n\) primeiros termos de uma PA \((a_{n})\) de razão \(r\) é a relação entre média aritmética e mediana dos seus termos. (Valor central de uma sequência numérica ordenada. Se a sequência tiver uma quantidade ímpar de termos, a mediana é o termo central. Se tiver uma quantidade par, a mediana é a média aritmética dos dois termos centrais.)
Isso pode ser feito da seguinte forma: se \(n\) é ímpar, podemos escrevê-lo como \(n=2k+1\) para algum \(k \in \mathbb{Z}\) logo \(\dfrac{S_{2k+1}}{2k+1} = a_{k+1}\text{,}\) onde \(a_{k+1}\) é a mediana e a fração a média aritmética desses termos. De fato,
\begin{align*} \dfrac{S_{2k+1}}{2k+1} =\amp~ \dfrac{(2k+1)(a_{1} + a_{2k+1})}{2(2k+1)}\\ =\amp~\dfrac{(a_{1} + a_{2k+1})}{2} \\ =\amp~\dfrac{a_{1} + a_{1} + (2k+1-1)r}{2} \\ =\amp~\dfrac{2a_{1} + 2kr}{2}\\ =\amp~a_{1} + kr\\ =\amp~a_{k+1}. \end{align*}

Exemplo 3.1.39. (AMC, 2005, 10A, Problema 17).

Na estrela abaixo, as letras A, B, C, D e E serão trocadas pelos números \(3, 5, 6, 7\) e \(9\text{,}\) não necessariamente nessa ordem. As somas dos números nos extremos dos segmentos AB, BC, CD, DE e EA formam uma PA, outra vez, não necessariamente nessa ordem. Qual o termo médio dessa PA?
Solução.
Chame de \(a_{m}\) o termo médio (mediana) da sequência. Por hipótese, os termos
\begin{equation*} A+B, A+E, B+C, C+D, D+E \end{equation*}
estão em PA, não necessariamente nesta ordem. Perceba que tentar resolver de forma direta seria impraticável, uma vez que não sabemos a ordem em que os números estão. Contudo, pela Nota 3.1.38, \(a_{m}\) pode ser encontrado por
\begin{align*} a_{m} =\amp~ \dfrac{A+B+A+E+B+C+C+D+D+E}{5}\\ =\amp~\dfrac{2A+2B+2C+2D+2E}{5}\\ =\amp~\dfrac{2(3+5+6+7+9)}{5} \\ =\amp~\dfrac{60}{5}\\ =\amp~12. \end{align*}
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