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Seção 3.3 Polinômio de Leibniz

Temos

\begin{equation*} (x_1+x_2+\cdots + x_p)^n = (x_1+x_2++\cdots + x_p)\cdots(x_1+x_2++\cdots + x_p) \end{equation*}

Um termo genérico do produto é obtido escolhendo um \(x_i\) em cada parênteses e multiplicando os escolhidos. Se em \(\alpha_1\) dos parênteses escolhermos \(x_1\text{,}\) em \(\alpha_2\) dos parênteses escolhermos \(x_2\text{,}\) \(\ldots\text{,}\) obteremos

\begin{equation*} x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}\cdots x_p^{\alpha_p}, \text{ satisfazendo } \alpha_1 + \alpha_2 +\cdots + \alpha_p = n. \end{equation*}

Agora falta responder quantas vezes o termo \(x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}\cdots x_p^{\alpha_p}\) aparece no desenvolvimento.

O termo \(x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}\cdots x_p^{\alpha_p}\) aparece tantas vezes, quantas são as formas de escolher, nos \(n\) parênteses, \(\alpha_1\) deles para escolher o \(x_1\text{,}\) \(\alpha_2\) deles para escolher o \(x_2\text{,}\) \(\ldots\text{.}\) Isto pode ser feito de

\begin{equation*} C_n^{\alpha_1}\cdot C_{n-\alpha_1}^{\alpha_2}\cdots C_{n-\alpha_1-\alpha_2-\cdots -\alpha_{p-1}}^{\alpha_p} = \frac{n!}{\alpha_1!\alpha_2!\cdots\alpha_p!} \end{equation*}

maneiras, o que mostra o resultado.

Exemplo 3.3.2.

Considere o polinômio:

\begin{equation*} (x^3-x+5)^8 \end{equation*}

Determine os coeficientes de

  1. \(x^2\) no desenvolvimento;
  2. \(x^4\) no desenvolvimento.
Solução
\begin{equation*} (x^3-x+5)^8 = \sum_{\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 = 8} \frac{8!}{\alpha_1!\alpha_2!\alpha_3!}(x^3)^{\alpha_1}(-x)^{\alpha_2}5^{\alpha_3}\\ \end{equation*}

item a) Para que o expoente de \(x\) seja 2, devemos ter \(x^{3\alpha_1}x^{\alpha_2} = x^2\text{,}\) juntando com a condição \(\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3 = 8\text{,}\) temos

\begin{equation*} \begin{cases} \alpha_1 + \alpha_2 +\alpha_3 = 8 \\ ~~~~ ~~~~ 3\alpha_1 + \alpha_2 = 2 \end{cases} \end{equation*}

Assim, \(\alpha_1 = 0, \alpha_2 = 2\) e \(\alpha_3 = 6.\) E a soma dos termos que possuem \(x^2\) é:

\begin{equation*} \frac{8!}{0!\times 2! \times 6!} 5^6x^2 = 437500x^2. \end{equation*}

item b) Para que o expoente de \(x\) seja 4, devemos ter \(x^{3\alpha_1}x^{\alpha_2} = x^4\text{,}\) juntando com a condição \(\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3 = 8\text{,}\) temos

\begin{equation*} \begin{cases} \alpha_1 + \alpha_2 +\alpha_3 = 8 \\ ~~~~ ~~~~ 3\alpha_1 + \alpha_2 = 4 \end{cases} \end{equation*}

Temos duas soluções:

\begin{equation*} \begin{cases} \alpha_1 = 0, \alpha_2 = 4 \text{ e }\alpha_3 = 4 \\ \alpha_1 = 1, \alpha_2 = 1 \text{ e } \alpha_3 = 6 \end{cases} \end{equation*}

E a soma dos termos que possuem \(x^4\) é:

\begin{equation*} \frac{8!}{0!\times 4! \times 4!} 5^4x^4 - \frac{8!}{1!\times 1! \times 6!} 5^6x^4 = -831250x^4. \end{equation*}
Tecnologia 3.3.3.

No Sage, podemos obter a expanção do polinômio da seguinte forma:

Os coeficientes do polinômio, podem ser obtidos da seguinte forma:

Exercícios 3.3.1 Exercícios

1.

Determine o coeficiente de \(x^{12}\) no desenvolvimento de

\begin{equation*} \left( 1+x^4+x^8 \right)^{12}. \end{equation*}
Resposta

352

Solução

Pelo Teorema 3.3.1, temos

\begin{equation} (1+x^4+x^8)^{12} = \sum_{\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3=12} \frac{12!}{\alpha_1!\alpha_2!\alpha_3!} 1^{\alpha_1}\cdot(x^4)^{\alpha_2}\cdot(x^8)^{\alpha_3}.\label{eq-leibniz-exer}\tag{3.3.1} \end{equation}

Queremos \(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\text{,}\) tais que

\begin{equation*} {4\alpha_2}+ {8\alpha_3} = {12} \quad \text{ e } \quad \alpha_1+\alpha_2+\alpha_3=12. \end{equation*}

Ou seja,

\begin{equation*} \begin{cases} \alpha_2+2\alpha_3=3 \\ \alpha_1+\alpha_2+\alpha_3=12. \end{cases} \end{equation*}

O sistema admite duas soluções:

\begin{equation*} \begin{cases} \alpha_2 = 1, \alpha_3 = 1 \text{ e }\alpha_1 = 10 \\ \alpha_2 = 3, \alpha_3 = 0 \text{ e } \alpha_1 = 9. \end{cases} \end{equation*}

Do somatório (3.3.1), a soma dos termos relacionados à \(x^{12}\) é

\begin{equation*} \frac{12!}{1!1!10!}\cdot x^{12} + \frac{12!}{9!3!0!}\cdot x^{12}. \end{equation*}

Logo, o coeficiente de \(x^{12}\) é

\begin{align*} \frac{12!}{1!1!10!} + \frac{12!}{9!3!0!} = \amp~12\cdot 11 + \frac{12\cdot 11\cdot 10}{6}\\ =\amp~ 12\cdot 11 + 2\cdot 11\cdot 10 \\ =\amp~352. \end{align*}