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Análise Combinatória e Probabilidade: Com Aplicações no SageMath

Ricardo Machado, Gabriel Guedes

Seção 3.4 Polinômio de Leibniz

Temos
\begin{equation*} (x_1+x_2+\cdots + x_p)^n = \overbrace{(x_1+x_2+\cdots + x_p)\cdots(x_1+x_2+\cdots + x_p)}^{n \text{ fatores}} \end{equation*}
Um termo genérico do produto é obtido escolhendo um \(x_i\) em cada parênteses e multiplicando os escolhidos. Se em \(\alpha_1\) dos parênteses escolhermos \(x_1\text{,}\) em \(\alpha_2\) dos parênteses escolhermos \(x_2\text{,}\) \(\ldots\text{,}\) obteremos
\begin{equation*} x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}\cdots x_p^{\alpha_p}, \text{ satisfazendo } \alpha_1 + \alpha_2 +\cdots + \alpha_p = n. \end{equation*}
Agora falta responder quantas vezes o termo \(x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}\cdots x_p^{\alpha_p}\) aparece no desenvolvimento.
O termo \(x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}\cdots x_p^{\alpha_p}\) aparece tantas vezes, quantas são as formas de escolher, nos \(n\) parênteses, \(\alpha_1\) deles para escolher o \(x_1\text{,}\) \(\alpha_2\) deles para escolher o \(x_2\text{,}\) \(\ldots\text{.}\) Isto pode ser feito de
\begin{equation*} C_n^{\alpha_1}\cdot C_{n-\alpha_1}^{\alpha_2}\cdots C_{n-\alpha_1-\alpha_2-\cdots -\alpha_{p-1}}^{\alpha_p} = \frac{n!}{\alpha_1!\alpha_2!\cdots\alpha_p!} \end{equation*}
maneiras, o que mostra o resultado.

Exemplo 3.4.2.

Considere o polinômio:
\begin{equation*} (x^3-x+5)^8 \end{equation*}
Determine os coeficientes de
  1. \(x^2\) no desenvolvimento;
  2. \(x^4\) no desenvolvimento.
Solução.
\begin{equation*} (x^3-x+5)^8 = \sum_{\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 = 8} \frac{8!}{\alpha_1!\alpha_2!\alpha_3!}(x^3)^{\alpha_1}(-x)^{\alpha_2}5^{\alpha_3}\\ \end{equation*}
item a) Para que o expoente de \(x\) seja 2, devemos ter \(x^{3\alpha_1}x^{\alpha_2} = x^2\text{,}\) juntando com a condição \(\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3 = 8\text{,}\) temos
\begin{equation*} \begin{cases} \alpha_1 + \alpha_2 +\alpha_3 = 8 \\ ~~~~ ~~~~ 3\alpha_1 + \alpha_2 = 2 \end{cases} \end{equation*}
Assim, \(\alpha_1 = 0, \alpha_2 = 2\) e \(\alpha_3 = 6.\) E a soma dos termos que possuem \(x^2\) é:
\begin{equation*} \frac{8!}{0!\times 2! \times 6!} 5^6x^2 = 437500x^2. \end{equation*}
item b) Para que o expoente de \(x\) seja 4, devemos ter \(x^{3\alpha_1}x^{\alpha_2} = x^4\text{,}\) juntando com a condição \(\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3 = 8\text{,}\) temos
\begin{equation*} \begin{cases} \alpha_1 + \alpha_2 +\alpha_3 = 8 \\ ~~~~ ~~~~ 3\alpha_1 + \alpha_2 = 4 \end{cases} \end{equation*}
Temos duas soluções:
\begin{equation*} \begin{cases} \alpha_1 = 0, \alpha_2 = 4 \text{ e }\alpha_3 = 4 \\ \alpha_1 = 1, \alpha_2 = 1 \text{ e } \alpha_3 = 6 \end{cases} \end{equation*}
E a soma dos termos que possuem \(x^4\) é:
\begin{equation*} \frac{8!}{0!\times 4! \times 4!} 5^4x^4 - \frac{8!}{1!\times 1! \times 6!} 5^6x^4 = -831250x^4. \end{equation*}

Tecnologia 3.4.3.

No Sage, podemos obter a expansão do polinômio da seguinte forma:
Os coeficientes do polinômio, podem ser obtidos da seguinte forma:

Exercícios Exercícios

1.

Determine o coeficiente de \(x^{12}\) no desenvolvimento de
\begin{equation*} \left( 1+x^4+x^8 \right)^{12}. \end{equation*}
Resposta.
352
Solução.
Pelo Teorema 3.4.1, temos
\begin{equation} (1+x^4+x^8)^{12} = \sum_{\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3=12} \frac{12!}{\alpha_1!\alpha_2!\alpha_3!} 1^{\alpha_1}\cdot(x^4)^{\alpha_2}\cdot(x^8)^{\alpha_3}.\tag{3.4.1} \end{equation}
Queremos \(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\text{,}\) tais que
\begin{equation*} {4\alpha_2}+ {8\alpha_3} = {12} \quad \text{ e } \quad \alpha_1+\alpha_2+\alpha_3=12. \end{equation*}
Ou seja,
\begin{equation*} \begin{cases} \alpha_2+2\alpha_3=3 \\ \alpha_1+\alpha_2+\alpha_3=12. \end{cases} \end{equation*}
O sistema admite duas soluções:
\begin{equation*} \begin{cases} \alpha_2 = 1, \alpha_3 = 1 \text{ e }\alpha_1 = 10 \\ \alpha_2 = 3, \alpha_3 = 0 \text{ e } \alpha_1 = 9. \end{cases} \end{equation*}
Do somatório (3.4.1), a soma dos termos relacionados à \(x^{12}\) é
\begin{equation*} \frac{12!}{1!1!10!}\cdot x^{12} + \frac{12!}{9!3!0!}\cdot x^{12}. \end{equation*}
Logo, o coeficiente de \(x^{12}\) é
\begin{align*} \frac{12!}{1!1!10!} + \frac{12!}{9!3!0!} = \amp~12\cdot 11 + \frac{12\cdot 11\cdot 10}{6}\\ =\amp~ 12\cdot 11 + 2\cdot 11\cdot 10 \\ =\amp~352. \end{align*}

2.

Determine diretamente o coeficiente de \(x^2 y^3 z\) no desenvolvimento do multinômio \((x+y+z)^6\text{.}\)
Resposta.
60
Solução.
Pela fórmula do Polinômio de Leibniz, o coeficiente do termo \(x^{\alpha_1} y^{\alpha_2} z^{\alpha_3}\) é dado por \(\frac{n!}{\alpha_1! \alpha_2! \alpha_3!}\text{.}\)
Para o termo desejado, temos \(n=6\text{,}\) \(\alpha_1=2\text{,}\) \(\alpha_2=3\) e \(\alpha_3=1\text{.}\) Note que a soma dos expoentes é de fato \(2+3+1=6\text{.}\)
Calculando o coeficiente:
\begin{equation*} \frac{6!}{2! 3! 1!} = \frac{720}{2 \times 6 \times 1} = \frac{720}{12} = 60. \end{equation*}

3.

Qual é a soma de todos os coeficientes do desenvolvimento de \((2x - y + 3z)^4\text{?}\)
Resposta.
256
Solução.
De forma análoga ao que fazemos no Binômio de Newton, a soma de todos os coeficientes de um polinômio de múltiplas variáveis é obtida substituindo-se todas as variáveis por 1.
Seja \(P(x,y,z) = (2x - y + 3z)^4\text{.}\) A soma dos coeficientes é \(P(1,1,1)\text{:}\)
\begin{equation*} P(1,1,1) = (2(1) - (1) + 3(1))^4 = (2 - 1 + 3)^4 = 4^4 = 256. \end{equation*}

4.

Calcule o coeficiente de \(x^3\) no desenvolvimento de \((1 - 2x + x^2)^4\text{.}\)
Resposta.
-56
Solução.
Solução 1 (Usando Leibniz):
O termo geral é \(\frac{4!}{\alpha_1!\alpha_2!\alpha_3!} (1)^{\alpha_1} (-2x)^{\alpha_2} (x^2)^{\alpha_3}\text{.}\)
Para que o expoente de \(x\) seja 3, precisamos que \(\alpha_2 + 2\alpha_3 = 3\text{,}\) com a restrição \(\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 = 4\text{.}\)
Testando os valores possíveis para \(\alpha_3\) (que deve ser não negativo):
  • Se \(\alpha_3 = 0\text{:}\) \(\alpha_2 = 3\) e \(\alpha_1 = 1\text{.}\) O coeficiente é \(\frac{4!}{1!3!0!} (-2)^3 = 4 \times (-8) = -32\text{.}\)
  • Se \(\alpha_3 = 1\text{:}\) \(\alpha_2 = 1\) e \(\alpha_1 = 2\text{.}\) O coeficiente é \(\frac{4!}{2!1!1!} (-2)^1 = 12 \times (-2) = -24\text{.}\)
  • Se \(\alpha_3 = 2\text{:}\) \(\alpha_2 = -1\) (Impossível, pois devem ser não negativos).
Somando os casos, o coeficiente final é \(-32 + (-24) = -56\text{.}\)
Solução 2 (Atalho Algébrico):
Podemos observar que a base do polinômio é um trinômio quadrado perfeito: \(1 - 2x + x^2 = (1-x)^2\text{.}\)
Substituindo isso na expressão original, temos:
\begin{equation*} (1 - 2x + x^2)^4 = \left((1-x)^2\right)^4 = (1-x)^8. \end{equation*}
Agora o problema se reduz ao Binômio de Newton. O termo com \(x^3\) em \((1-x)^8\) é:
\begin{equation*} T_3 = C_8^3 \cdot 1^5 \cdot (-x)^3 = - \frac{8 \times 7 \times 6}{3!} x^3 = -56x^3. \end{equation*}
Logo, o coeficiente é \(-56\text{.}\) Muito mais rápido!
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