Teorema 3.2.1.
Se \(x\) e \(a\) são número reais e \(n\) é um inteiro positivo,
\begin{equation*}
(x+a)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k x^ka^{n-k}.
\end{equation*}
Seção 3.2 Binômio de Newton
No final do século XVII, Isaac Newton revolucionou a matemática ao generalizar a expansão de binômios para expoentes além dos inteiros positivos. Embora o caso para expoentes naturais já fosse conhecido por matemáticos como Al-Karaji (século X) e Yang Hui (século XIII), foi Newton quem percebeu que padrões semelhantes poderiam ser estendidos a expoentes fracionários e negativos - uma descoberta que mais tarde seria rigorosamente fundamentada por Euler.
Nesta seção, focaremos na versão clássica do Teorema do Binômio para expoentes naturais, onde \((x+a)^n\) pode ser expresso como uma soma envolvendo coeficientes binomiais.
Este resultado não é apenas uma ferramenta algébrica, mas a base para desenvolvimentos posteriores como séries infinitas e o próprio cálculo diferencial, que Newton ajudaria a criar.
Demonstração.
Observe que
\begin{equation*}
(x+a)^n = \overbrace{(x+a)(x+a)\cdots(x+a)}^{n \text{ fatores}}.
\end{equation*}
Cada termo, do desenvolvimento, é obtido escolhendo-se em cada parênteses um, \(x\) ou um \(a\) e multiplicando-se os escolhidos.
Para cada valor de \(k, 0\leq k \leq n\text{,}\) se escolhermos \(x\) em \(k\) dos parênteses, \(a\) será escolhido em \(n-k\) dos parênteses e o produto será igual a \(x^ka^{n-k}\text{.}\) Isto pode ser feito de \(C_n^k\) modos. Então \((x+a)^n\) é uma soma na qual, para cada \(k\in\{0, 1, \ldots, n\}\text{,}\) existem \(C_n^k\) parcelas iguais a \(x^ka^{n-k}\text{.}\) Portanto
\begin{equation*}
(x+a)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k x^ka^{n-k}.
\end{equation*}
Nota 3.2.2.
Destacamos o termo geral e o fato de que o desenvolvimento do Binômio de Newton pode ser desenvolvido na ordem inversa:
1)
\begin{equation*}
(x+a)^n = \underbrace{C_n^0x^0a^{n-0}}_{\text{1º termo: } T_1} + \underbrace{C_n^1x^1a^{n-1}}_{\text{2º termo: } T_2} + \underbrace{C_n^2x^2a^{n-2}}_{\text{3º termo: } T_3} + \cdots + \underbrace{C_n^nx^na^{n-n}}_{\text{(n+1)º termo: } T_{n+1}}.
\end{equation*}
O \(k\)-ésimo termo \((k=1, \ldots, n+1)\) do desenvolvimento é dado por:
\begin{equation*}
T_{k} = C_n^{k-1}x^{k-1}a^{n-k+1}.
\end{equation*}
2) Observe também que:
\begin{equation*}
(x+a)^n = (a+x)^n.
\end{equation*}
Portanto
\begin{equation*}
(x+a)^n = (a+x)^n = C_n^0a^0x^n+C_n^1a^1x^{n-1}+ C_n^2a^2x^{n-2}+\cdots + C_n^na^nx^0.
\end{equation*}
Exemplo 3.2.3.
Considere o binômio de Newton
\begin{equation*}
\left(x^4-\frac{1}{x^2}\right)^{11}.
\end{equation*}
Determine os coeficientes de
- \(x^2\) no desenvolvimento do binômio;
- \(x^5\) no desenvolvimento do binômio;
- \(x^8\) no desenvolvimento do binômio.
O \(k\)-ésimo termo do desenvolvimento é
\begin{align*}
T_k = \amp ~ C_{11}^{k-1}(x^4)^{k-1}\left(-\frac{1}{x^2}\right)^{11-k+1} \\
= \amp ~ (-1)^{12-k}C_{11}^{k-1}x^{4(k-1)}x^{-2(12-k)} \\
= \amp ~ (-1)^{12-k}C_{11}^{k-1}x^{6k-28}
\end{align*}
item a) Para que \(6k-28 = 2\text{,}\) temos \(k=5\text{,}\) logo estamos procurando o 5º termo:
\begin{equation*}
T_5 = (-1)^{7}C_{11}^4x^2.
\end{equation*}
E portanto o coeficiente é \((-1)^{7}C_{11}^4 = -330\text{.}\)
item b) \(6k-28 = 5\) não possui solução no conjunto dos inteiros positivos, portanto o coeficiente de \(x^5\) é zero.
item c) Para que \(6k-28 = 8\text{,}\) temos \(k=6\text{,}\) logo estamos procurando o 6º termo:
\begin{equation*}
T_6 = (-1)^{6}C_{11}^5x^8.
\end{equation*}
E portanto, o coeficiente é \((-1)^{6}C_{11}^5 = 462\text{.}\)
Tecnologia 3.2.4.
No Sage, podemos obter a expansão do polinômio da seguinte forma:
Os coeficientes do polinômio, podem ser obtidos da seguinte forma:
Exemplo 3.2.5.
Determine o termo máximo do desenvolvimento de
\begin{equation*}
\left(1 + \frac{1}{4}\right)^{5}.
\end{equation*}
Como
\begin{equation*}
\left(1 + \frac{1}{4}\right)^{5} = \frac{1}{1024} + \frac{5}{256} + \frac{5}{32} + \frac{5}{8} + \frac{5}{4}+ 1.
\end{equation*}
O termo máximo é
\begin{equation*}
\frac{5}{4}.
\end{equation*}
Exemplo 3.2.6.
Determine o termo máximo do desenvolvimento de
\begin{equation*}
\left(1 + \frac{1}{4}\right)^{70}.
\end{equation*}
O \(k\)-ésimo termo é
\begin{equation*}
T_{k} = C_{70}^{k-1}1^{k-1}\left(\frac{1}{4}\right)^{71-k} = C_{70}^{k-1}\cdot\frac{1}{4^{71-k}}\text{.}
\end{equation*}
\(T_{k+1}> T_{k}\) se
\begin{equation*}
C_{70}^{k}\cdot\frac{1}{4^{70-k}} > C_{70}^{k-1}\cdot\frac{1}{4^{71-k}}
\end{equation*}
Isto é
\begin{equation*}
\frac{70!}{k!(70-k)!}\cdot\frac{1}{4^{70-k}} > \frac{70!}{(k-1)!(71-k)!}\cdot\frac{1}{4^{71-k}},
\end{equation*}
ou seja,
\begin{equation*}
\frac{(71-k)!}{(70-k)!} > \frac{k!}{(k-1)!}\cdot\frac{4^{70-k}}{4^{71-k}},
\end{equation*}
e simplificando temos
\begin{equation*}
\frac{(71-k)}{1} > \frac{k}{1}\cdot\frac{1}{4}.
\end{equation*}
Portanto, \(71-k > k/4 \text{,}\) logo \(k\lt 56, 8\text{.}\)
Assim, temos \(T_{k} \lt T_{k+1}\) para \(k = 1, 2, \ldots, 56\) e portanto o maior termo é:
\begin{equation*}
T_{57} = C_{70}^{56}\cdot\frac{1}{4^{14}} = \frac{24156719613645}{33554432}.
\end{equation*}
Tecnologia 3.2.7.
O termo máximo do desenvolvimento de
\begin{equation*}
\left(1 + \frac{1}{4}\right)^{70}.
\end{equation*}
Troque os valores de \(x\text{,}\) \(a\) e \(n\text{,}\) para obter o termo máximo e o termo mínimo do desenvolvimento de
\begin{equation*}
(x+a)^n.
\end{equation*}
Exemplo 3.2.9.
Qual é a soma dos coeficientes do desenvolvimento de
\begin{equation*}
(5x^{11} - 6x^{4})^{25}.
\end{equation*}
Seja \(p(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n\text{,}\) a soma dos coeficientes de \(p(x)\) é igual a
\begin{equation*}
p(1) = a_0 + a_1(1) + a_2(1)^2 + \cdots + a_n(1)^n.
\end{equation*}
Portanto, a soma dos coeficientes do desenvolvimento de \(q(x) = (5x^{11} - 6x^{4})^{25}\) é
\begin{equation*}
q(1) = (5 - 6)^{25} = -1.
\end{equation*}
Teorema 3.2.10.
\begin{equation*}
T_{k+1} = \frac{n-k+1}{k}\cdot\frac{x}{a}\cdot T_k
\end{equation*}
Demonstração.
\begin{equation*}
T_{k+1} = C_n^kx^ka^{n-k} = \frac{n-k+1}{k}C_n^{k-1}x^ka^{n-k}
\end{equation*}
e
\begin{equation*}
T_{k} = C_n^{k-1}x^{k-1}a^{n-k+1}.
\end{equation*}
Portanto,
\begin{equation*}
T_{k+1} = \frac{n-k+1}{k}\cdot\frac{x}{a}\cdot T_k.
\end{equation*}
Exercícios Exercícios
1.
Determine o coeficiente de \(x^5\) no desenvolvimento de
\begin{equation*}
\left( x^3 - \frac{1}{x^2} \right)^{15}.
\end{equation*}
Resposta.
6435
2.
Determine o coeficiente de \(x^{50}\) no desenvolvimento de
\begin{equation*}
(x^2+3)^{10}(x^3-3)^{11}.
\end{equation*}
Resposta.
Solução.
-33
O termo geral é dado por
\begin{align*}
T(p,q)=\amp~C_{10}^p\cdot(x^2)^{10-p}\cdot3^p\cdot C_{11}^q\cdot(x^3)^{11-q}\cdot(-3)^q\\
=\amp~C_{10}^p\cdot C_{11}^q\cdot x^{53-2p-3q}\cdot 3^p\cdot (-3)^q.
\end{align*}
Portanto, queremos encontrar valores de \(p\) e \(q\text{,}\) tais que \(53-2p-3q = 50\text{,}\) ou seja, \(2p+3q=3\text{,}\) logo \(p=0\) e \(q=1\text{.}\) Então, precisamos obter o coeficiente de \(x^{50}\) de \(T(0,1)\text{:}\)
\begin{equation*}
T(0,1)=C_{10}^0\cdot C_{11}^1\cdot x^{50}\cdot (3)^0\cdot(-3)^1 = -33\cdot x^{50}.
\end{equation*}
3.
Calcule o termo máximo do desenvolvimento de
\begin{equation*}
\left(1+\frac{1}{5}\right)^{50}.
\end{equation*}
Resposta.
\(T_{43} = C_{50}^{42}\left(\dfrac{1}{5}\right)^{8} = \dfrac{21475146}{15625}\)
4.
Qual é o maior dos números
\begin{equation*}
a = 103^{60} \text{ e } b = 102^{60} + 101^{60}?
\end{equation*}
Resposta.
Solução.
a
\begin{align*}
a = \amp ~(102+1)^{60}\\
= \amp ~C_{60}^0102^{0}+C_{60}^1102^{1}+C_{60}^2102^{2}+\cdots+C_{60}^j102^{j}+\cdots+C_{60}^{60}102^{60}\quad\quad\quad
\end{align*}
\begin{align*}
b = \amp ~102^{60}+(102-1)^{60}\\
= \amp ~102^{60}+C_{60}^0102^{0}(-1)^{60}+\cdots+C_{60}^j102^{j}(-1)^{60-j}+\cdots+C_{60}^{60}102^{60}(-1)^0
\end{align*}
Portanto,
\begin{equation*}
a-b = 2C_{60}^1102^1+2C_{60}^3102^3+\cdots+2C_{60}^{59}102^{59}-102^{60}.
\end{equation*}
Como
\begin{equation*}
2C_{60}^{59}102^{59}-102^{60} = 120\cdot102^{59} - 102\cdot 102^{59} = 102^{59}\cdot 18>0,
\end{equation*}
mostramos que \(a-b>0\text{,}\) logo \(a>b\text{.}\)
5.
(UFPE - UFRPE 2000) Analise as afirmações seguintes acerca da expansão binomial de
\begin{equation*}
(3x+5)^{13}
\end{equation*}
- Existem exatamente dois termos com coeficientes que não são divisíveis por 13.
- A soma dos coeficientes é \(2^{39}\)
- O maior coeficiente é \(3^7\cdot 5^8\cdot 11\cdot 13\)
- O menor coeficiente é \(3^{13}\)
- A soma dos coeficientes das potências de \(x\) com expoentes ímpares é \(2^{38}-2^{12}\text{.}\)
Dica.
Resposta.
item a) Na expansão de \((3x+5)^{13}\) apenas o primeiro e o último termo possuem coeficientes que não são divisíveis por 13.
item b) Seja \(p(x) = (3x+5)^{13}\text{.}\) A soma dos coeficientes de \(p(x)\) é exatamente o valor de \(p(1) = (3\cdot 1+5)^{13} = 8^{13} = 2^{39}\text{.}\)
item c) O maior coeficiente de \((3x+5)^{13}\) é exatamente o maior termo no desenvolvimento de \((3\cdot 1+5)^{13}\text{.}\) Efetuando esse cálculo segundo o Exemplo 3.2.6 chegamos que o termo máximo é \(3^7\cdot 5^8\cdot 11\cdot 13\)
item d) O menor coeficiente de \((3x+5)^{13}\) é exatamente o menor termo no desenvolvimento de \((3\cdot 1+5)^{13}\text{.}\) Efetuando esse cálculo segundo o Exemplo 3.2.6 chegamos que o menor termo é \(3^{13}\)
item e) Observe que
\begin{equation*}
(3x+5)^{13}=\underbrace{C_{13}^0(3x)^05^{13}}_{T_1}+\underbrace{C_{13}^1(3x)^15^{12}}_{T_2}+\cdots+\underbrace{C_{13}^{13}(3x)^{13}5^{0}}_{T_{14}}.
\end{equation*}
Então, os termos de \((3x+5)^{13}\) com expoentes ímpares são os termos de índices pares: \(T_2, T_4, \ldots, T_{14}\text{.}\) Note que
\begin{equation*}
(3x+5)^{13} = T_1 + T_2 + \cdots +T_{13} + T_{14}
\end{equation*}
e
\begin{equation*}
(3x-5)^{13} = -T_1 + T_2 + \cdots -T_{13} + T_{14}.
\end{equation*}
Portanto,
\begin{equation*}
q(x) = \frac{(3x+5)^{13}+(3x-5)^{13}}{2} = T_2+ T_4 + \cdots + T_{14}.
\end{equation*}
Então, basta calcular \(q(1) = \frac{8^{13} + (-2)^{13}}{2} = 2^{38}-2^{12}\text{.}\)
a) V, b) V, c) V, d) V, e) V
6.
Determine o termo independente de \(x\) (ou seja, o termo em que o expoente de \(x\) é zero) no desenvolvimento de
\begin{equation*}
\left( x^2 - \frac{1}{x^3} \right)^{10}.
\end{equation*}
Resposta.
Solução.
210
O \(k\)-ésimo termo do desenvolvimento é dado por:
\begin{align*}
T_{k} = \amp ~ C_{10}^k (x^2)^{10-k} \left(-x^{-3}\right)^k \\
= \amp ~ C_{10}^k x^{20-2k} (-1)^k x^{-3k} \\
= \amp ~ (-1)^k C_{10}^k x^{20-5k}
\end{align*}
Para que o termo seja independente de \(x\text{,}\) o expoente deve ser zero. Logo:
\begin{equation*}
20 - 5k = 0 \implies k = 4.
\end{equation*}
Substituindo \(k=4\) na expressão do coeficiente, obtemos:
\begin{equation*}
T_4 = (-1)^4 C_{10}^4 = 1 \times 210 = 210.
\end{equation*}
7.
Quantos termos racionais existem no desenvolvimento de \(\left( \sqrt{2} + \sqrt[3]{3} \right)^{100}\text{?}\)
Resposta.
Solução.
17
O termo geral do desenvolvimento é:
\begin{align*}
T_k = \amp ~ C_{100}^k \left(2^{1/2}\right)^{100-k} \left(3^{1/3}\right)^k \\
= \amp ~ C_{100}^k 2^{\frac{100-k}{2}} 3^{\frac{k}{3}}
\end{align*}
Para que o termo seja um número racional (sem raízes sobrando), os expoentes das bases 2 e 3 devem ser números inteiros.
Da base 3, concluímos que \(\frac{k}{3}\) deve ser inteiro, logo \(k\) deve ser múltiplo de 3.
Da base 2, \(\frac{100-k}{2} = 50 - \frac{k}{2}\) deve ser inteiro, logo \(k\) também deve ser múltiplo de 2 (ou seja, par).
Como \(k\) deve ser múltiplo de 3 e de 2 simultaneamente, \(k\) deve ser múltiplo de 6. Sabemos que \(0 \leq k \leq 100\text{.}\)
Os múltiplos de 6 nesse intervalo formam a progressão aritmética: \(0, 6, 12, \ldots, 96\text{.}\)
O número de termos dessa sequência é \(\frac{96 - 0}{6} + 1 = 16 + 1 = 17\text{.}\) Logo, há 17 termos racionais.
