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Seção 3.2 Binômio de Newton

Observe que

\begin{equation*} (x+a)^n = \overbrace{(x+a)(x+a)\cdots(x+a)}^{n \text{ parcelas}}. \end{equation*}

Cada termo, do desenvolvimento, é obtido escolhendo-se em cada parênteses um, \(x\) ou um \(a\) e multiplicando-se os escolhidos.

Para cada valor de \(k, 0\leq k \leq n\text{,}\) se escolhermos \(x\) em \(k\) dos parênteses, \(a\) será escolhido em \(n-k\) dos parênteses e o produto será igual a \(x^ka^{n-k}\text{.}\) Isto pode ser feito de \(C_n^k\) modos. Então \((x+a)^n\) é uma soma na qual, para cada \(k\in\{0, 1, \ldots, n\}\text{,}\) existem \(C_n^k\) parcelas iguais a \(x^ka^{n-k}\text{.}\) Portanto

\begin{equation*} (x+a)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k x^ka^{n-k}. \end{equation*}
Observação 3.2.2.

Destacamos o termo geral e o fato de que o desenvolvimento do Binômio de Newton pode ser desenvolvido na ordem inversa:

1)

\begin{equation*} (x+a)^n = \underbrace{C_n^0x^0a^{n-0}}_{\text{1º termo: } T_1} + \underbrace{C_n^1x^1a^{n-1}}_{\text{2º termo: } T_2} + \underbrace{C_n^2x^2a^{n-2}}_{\text{3º termo: } T_3} + \cdots + \underbrace{C_n^nx^na^{n-n}}_{\text{(n+1)º termo: } T_{n+1}}. \end{equation*}

O \(k\)-ésimo termo \((k=1, \ldots, n+1)\) do desenvolvimento é dado por:

\begin{equation*} T_{k} = C_n^{k-1}x^{k-1}a^{n-k+1}. \end{equation*}

2) Observe também que:

\begin{equation*} (x+a)^n = (a+x)^n. \end{equation*}

Portanto

\begin{equation*} (x+a)^n = (a+x)^n = C_n^0a^0x^n+C_n^1a^1x^{n-1}+ C_n^2a^2x^{n-2}+\cdots + C_n^na^nx^0. \end{equation*}
Exemplo 3.2.3.

Considere o binômio de Newton

\begin{equation*} \left(x^4-\frac{1}{x^2}\right)^{11}. \end{equation*}

Determine os coeficientes de

  1. \(x^2\) no desenvolvimento do binômio;
  2. \(x^5\) no desenvolvimento do binômio;
  3. \(x^8\) no desenvolvimento do binômio.
Solução

O \(k\)-ésimo termo do desenvolvimento é

\begin{align*} T_k = \amp ~ C_{11}^{k-1}(x^4)^{k-1}\left(-\frac{1}{x^2}\right)^{11-k+1} \\ = \amp ~ (-1)^{12-k}C_{11}^{k-1}x^{4(k-1)}x^{-2(12-k)} \\ = \amp ~ (-1)^{12-k}C_{11}^{k-1}x^{6k-28} \end{align*}

item a) Para que \(6k-28 = 2\text{,}\) temos \(k=5\text{,}\) logo estamos procurando o 5º termo:

\begin{equation*} T_5 = (-1)^{7}C_{11}^4x^2. \end{equation*}

E portanto o coeficiente é \((-1)^{7}C_{11}^4 = -330\text{.}\)

item b) \(6k-28 = 5\) não possui solução no conjunto dos inteiros positivos, portanto o coeficiente de \(x^5\) é zero.

item c) Para que \(6k-28 = 8\text{,}\) temos \(k=6\text{,}\) logo estamos procurando o 6º termo:

\begin{equation*} T_6 = (-1)^{6}C_{11}^5x^8. \end{equation*}

E portanto, o coeficiente é \((-1)^{6}C_{11}^5 = 462\text{.}\)

Tecnologia 3.2.4.

No Sage, podemos obter a expanção do polinômio da seguinte forma:

Os coeficientes do polinômio, podem ser obtidos da seguinte forma:

Exemplo 3.2.5.

Determine o termo máximo do desenvolvimento de

\begin{equation*} \left(1 + \frac{1}{4}\right)^{5}. \end{equation*}
Solução

Como

\begin{equation*} \left(1 + \frac{1}{4}\right)^{5} = \frac{1}{1024} + \frac{5}{256} + \frac{5}{32} + \frac{5}{8} + \frac{5}{4}+ 1. \end{equation*}

O termo máximo é

\begin{equation*} \frac{5}{4}. \end{equation*}
Exemplo 3.2.6.

Determine o termo máximo do desenvolvimento de

\begin{equation*} \left(1 + \frac{1}{4}\right)^{70}. \end{equation*}
Solução

O \(k\)-ésimo termo é

\begin{equation*} T_{k} = C_{70}^{k-1}1^{k-1}\left(\frac{1}{4}\right)^{71-k} = C_{70}^{k-1}\cdot\frac{1}{4^{71-k}}\text{.} \end{equation*}

\(T_{k+1}> T_{k}\) se

\begin{equation*} C_{70}^{k}\cdot\frac{1}{4^{70-k}} > C_{70}^{k-1}\cdot\frac{1}{4^{71-k}} \end{equation*}

Isto é

\begin{equation*} \frac{70!}{k!(70-k)!}\cdot\frac{1}{4^{70-k}} > \frac{70!}{(k-1)!(71-k)!}\cdot\frac{1}{4^{71-k}}, \end{equation*}

ou seja,

\begin{equation*} \frac{(71-k)!}{(70-k)!} > \frac{k!}{(k-1)!}\cdot\frac{4^{70-k}}{4^{71-k}}, \end{equation*}

e simplificando temos

\begin{equation*} \frac{(71-k)}{1} > \frac{k}{1}\cdot\frac{1}{4}. \end{equation*}

Portanto, \(71-k > k/4 \text{,}\) logo \(k\lt 56, 8\text{.}\)

Assim, temos \(T_{k} \lt T_{k+1}\) para \(k = 1, 2, \ldots, 56\) e portanto o maior termo é:

\begin{equation*} T_{57} = C_{70}^{56}\cdot\frac{1}{4^{14}} = \frac{24156719613645}{33554432}. \end{equation*}
Tecnologia 3.2.7.

O termo máximo do desenvolvimento de

\begin{equation*} \left(1 + \frac{1}{4}\right)^{70}. \end{equation*}

Troque os valores de \(x\text{,}\) \(a\) e \(n\text{,}\) para obter o termo máximo e o termo mínimo do desenvolvimento de

\begin{equation*} (x+a)^n. \end{equation*}
Figura 3.2.8. Os termos máximo e mínimo.
Exemplo 3.2.9.

Qual é a soma dos coeficientes do desenvolvimento de

\begin{equation*} (5x^{11} - 6x^{4})^{25}. \end{equation*}
Solução

Seja \(p(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n\text{,}\) a soma dos coeficientes de \(p(x)\) é igual a

\begin{equation*} p(1) = a_0 + a_1(1) + a_2(1)^2 + \cdots + a_n(1)^n. \end{equation*}

Portanto, a soma dos coeficientes do desenvolvimento de \(q(x) = (5x^{11} - 6x^{4})^{25}\) é

\begin{equation*} q(1) = (5 - 6)^{25} = -1. \end{equation*}
\begin{equation*} T_{k+1} = C_n^kx^ka^{n-k} = \frac{n-k+1}{k}C_n^{k-1}x^ka^{n-k} \end{equation*}

e

\begin{equation*} T_{k} = C_n^{k-1}x^{k-1}a^{n-k+1}. \end{equation*}

Portanto,

\begin{equation*} T_{k+1} = \frac{n-k+1}{k}\cdot\frac{x}{a}\cdot T_k. \end{equation*}

Exercícios 3.2.1 Exercícios

1.

Determine o coeficiente de \(x^5\) no desenvolvimento de

\begin{equation*} \left( x^3 - \frac{1}{x^2} \right)^{15}. \end{equation*}
Resposta

6435

2.

Determine o coeficiente de \(x^{50}\) no desenvolvimento de

\begin{equation*} (x^2+3)^{10}(x^3-3)^{11}. \end{equation*}
Resposta

-33

Solução

O termo geral é dado por

\begin{align*} T(p,q)=\amp~C_{10}^p\cdot(x^2)^{10-p}\cdot3^p\cdot C_{11}^q\cdot(x^3)^{11-q}\cdot(-3)^q\\ =\amp~C_{10}^p\cdot C_{11}^q\cdot x^{53-2p-3q}\cdot 3^p\cdot (-3)^q. \end{align*}

Portanto, queremos encontrar valores de \(p\) e \(q\text{,}\) tais que \(53-2p-3q = 50\text{,}\) ou seja, \(2p+3q=3\text{,}\) logo \(p=0\) e \(q=1\text{.}\) Então, precisamos obter o coeficiente de \(x^{50}\) de \(T(0,1)\text{:}\)

\begin{equation*} T(0,1)=C_{10}^0\cdot C_{11}^1\cdot x^{50}\cdot (3)^0\cdot(-3)^1 = -33\cdot x^{50}. \end{equation*}
3.

Calcule o termo máximo do desenvolvimento de

\begin{equation*} \left(1+\frac{1}{5}\right)^{50}. \end{equation*}
Resposta

\(T_{43} = C_{50}^{42}\left(\dfrac{1}{5}\right)^{8} = \dfrac{21475146}{15625}\)

4.

Qual é o maior dos números

\begin{equation*} a = 103^{60} \text{ e } b = 102^{60} + 101^{60}? \end{equation*}
Resposta

a

Solução
\begin{align*} a = \amp ~(102+1)^{60}\\ = \amp ~C_{60}^0102^{0}+C_{60}^1102^{1}+C_{60}^2102^{2}+\cdots+C_{60}^j102^{j}+\cdots+C_{60}^{60}102^{60}\quad\quad\quad \end{align*}
\begin{align*} b = \amp ~102^{60}+(102-1)^{60}\\ = \amp ~102^{60}+C_{60}^0102^{0}(-1)^{60}+\cdots+C_{60}^j102^{j}(-1)^{60-j}+\cdots+C_{60}^{60}102^{60}(-1)^0 \end{align*}

Portanto,

\begin{equation*} a-b = 2C_{60}^1102^1+2C_{60}^3102^3+\cdots+2C_{60}^{59}102^{59}-102^{60}. \end{equation*}

Como

\begin{equation*} 2C_{60}^{59}102^{59}-102^{60} = 120\cdot102^{59} - 102\cdot 102^{59} = 102^{59}\cdot 18>0, \end{equation*}

mostramos que \(a-b>0\text{,}\) logo \(a>b\text{.}\)

5.

(UFPE - UFRPE 2000) Analise as afirmações seguintes acerca da expansão binomial de

\begin{equation*} (3x+5)^{13} \end{equation*}
  1. Existem exatamente dois termos com coeficientes que não são divisíveis por 13.
  2. A soma dos coeficientes é \(2^{39}\)
  3. O maior coeficiente é \(3^7\cdot 5^8\cdot 11\cdot 13\)
  4. O menor coeficiente é \(3^{13}\)
  5. A soma dos coeficientes das potências de \(x\) com expoentes ímpares é \(2^{38}-2^{12}\text{.}\)
Dica

item a) Na expanção de \((3x+5)^{13}\) apenas o primeiro e o último termo possuem coeficientes que não são divisíveis por 13.

item b) Seja \(p(x) = (3x+5)^{13}\text{.}\) A soma dos coeficientes de \(p(x)\) é exatamente o valor de \(p(1) = (3\cdot 1+5)^{13} = 8^{13} = 2^{39}\text{.}\)

item c) O maior coeficiente de \((3x+5)^{13}\) é exatamente o maior termo no desenvolvimento de \((3\cdot 1+5)^{13}\text{.}\) Efetuando esse cálculo segundo o Exemplo 3.2.6 chegamos que o termo máximo é \(3^7\cdot 5^8\cdot 11\cdot 13\)

item d) O menor coeficiente de \((3x+5)^{13}\) é exatamente o menor termo no desenvolvimento de \((3\cdot 1+5)^{13}\text{.}\) Efetuando esse cálculo segundo o Exemplo 3.2.6 chegamos que o menor termo é \(3^{13}\)

item e) Observe que

\begin{equation*} (3x+5)^{13}=\underbrace{C_{13}^0(3x)^05^{13}}_{T_1}+\underbrace{C_{13}^1(3x)^15^{12}}_{T_2}+\cdots+\underbrace{C_{13}^{13}(3x)^{13}5^{0}}_{T_{14}}. \end{equation*}

Então, os termos de \((3x+5)^{13}\) com expoentes ímpares são os termos de índices pares: \(T_2, T_4, \ldots, T_{14}\text{.}\) Note que

\begin{equation*} (3x+5)^{13} = T_1 + T_2 + \cdots +T_{13} + T_{14} \end{equation*}

e

\begin{equation*} (3x-5)^{13} = T_1 - T_2 + \cdots +T_{13} - T_{14}. \end{equation*}

Portanto,

\begin{equation*} q(x) = \frac{(3x+5)^{13}+(3x-5)^{13}}{2} = T_2+ T_4 + \cdots + T_{14}. \end{equation*}

Então, basta calcular \(q(1) = \frac{8^{13} + (-2)^{13}}{2} = 2^{38}-2^{12}\text{.}\)

Resposta

a) V, b) V, c) V, d) V, e) V