Seção 4.4 Espaço Amostral Infinito
Exemplo 4.4.1.
Selecionam-se ao acaso dois pontos em um segmento de tamanho 1, dividindo-o em três partes. Determine a probabilidade de que se possa formar um triângulo com essas três partes.
SoluçãoSejam \(x\in [0,1]\) e \(y\in [0,1]\) os pontos escolhidos, \(x\leq y\text{.}\)
Escolher \(x\) e \(y\) pertencentes a \([0,1]\text{,}\) com \(x\leq y\text{,}\) equivale a escolher um ponto \((x,y)\) no triângulo \(T\) da figura abaixo.
Para que exista um triângulo de lados \(x, y-x\) e \(1-y\) devemos ter \(x\lt y-x+1-y\) e \(y-x\lt x+1-y\) e \(1-y\lt x+y-x\text{,}\) o que dá \(x\lt 0,5\) e \(y\lt x+0,5\) e \(y>0,5\text{.}\) Em suma, o triângulo existirá se, e somente se, o ponto \((x,y)\) for selecionado na parte laranja do triângulo \(T\text{.}\)
Sendo \(A\) o evento "as três partes formam um triângulo" e sendo \(S\) o evento certo, temos que \(P(A)\) é proporcional a área da parte sombreada e \(P(S)=1\) é proporcional à área de \(T\text{.}\) Logo,
Exemplo 4.4.4.
A e B lançam sucessivamente um par de dados até que um deles obtenha soma de pontos 7, caso em que a disputa termina e o vencedor é o jogador que obteve soma 7. Se A é o primeiro a jogal, qual é a probabilidade de A ser o vencedor?
Solução 1A probabilidade de obter 7 é
e a de não ser soma 7 é
Para \(A\) ganhar, ou \(A\) ganha na primeira mão, ou na segunda, ou na terceira, etc. A probabilidade de \(A\) ganhar na primeira mão é \(\frac{1}{6}\text{.}\) Para \(A\) ganhar na segunda mão, \(A\) não pode obter soma 7 na primeira mão e \(B\) não pode obter soma 7 na primeira mão e \(A\) deve obter soma 7 na segunda mão, o que ocorre com probabilidade
Para \(A\) ganhar na terceira mão, \(A\) não pode obter soma 7 nas duas primeiras mãos e \(B\) não pode obter soma 7 nas duas primeiras mãos e \(A\) deve obter soma 7 na terceira mão, o que ocorre com probabilidade
Portanto, a probabilidade de \(A\) ganhar é
Uma solução mais elegante pode ser obtida ignorando as mãos sem vencedores. A probabilidade de \(A\) ganhar uma mão é de \(\frac{1}{6}\text{;}\) de \(B\) ganhar uma mão é de
pois, para \(B\) ganhar, \(A\) não pode obter soma 7 e \(B\) deve obter soma 7; a de ninguem ganhar é de
pois, para que ninguém ganhe, \(A\) não pode obter soma 7 e \(B\) não pode obter soma 7.
A probabilidade de \(A\) ganhar é a probabilidade de \(A\) ganhar em uma mão em que houve vencedor, isto é