UFRPE-DM Distribuição Binomial

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Seção 4.3 Distribuição Binomial

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Subseção 4.3.1 Distribuição Binomial

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Exemplo 4.3.1.

Jogando uma moeda não viciada 15 vezes. Qual é a probabilidade de obtermos exatamente 7 caras?

Solução

Os eventos são independentes e a probabilidade de obter cara no lançamento da moeda é $p=\frac{1}{2}\text{.}$

Queremos achar a probabilidade de obtermos 7 caras em 15 lançamentos. Vamos, inicialmente, fixar que queremos os 7 primeiros resultados iguais a cara, assim estamos impondo que os 8 resultados seguintes serão coroa. Desta forma, a probabilidade de que os 7 primeiros resultados sejam cara e de que os 8 resultados seguintes sejam coroa é

\begin{equation*} \left(\frac{1}{2}\right)^7 \times \left(1 - \frac{1}{2}\right)^{8}, \end{equation*}

mas a pergunta do problema não foi esta, pois a ordem em que apareceram as caras e as coroas não importa.

Observe que o número de formas de ordenar 7 caras e 8 coroas coincide com o número formas de escolher 7 lugares, para colocar as caras, dentre 15 disponíveis, e colocar as coroas nos lugares que sobraram. Isto pode ser feito de $C_{15}^{7}$ maneiras.

Portanto a resposta para nosso problema é

\begin{equation*} C_{15}^{7}\times \left(\frac{1}{2}\right)^7 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{8}=0.1963 \approx 20\%. \end{equation*}

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Considere um experimento com apenas dois resultados possíveis, chamados de sucesso e fracasso. Denotaremos por

$p$ a probabilidade de sucesso.

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Teorema 4.3.2.

A probabilidade de ocorrerem exatamente $k$ sucessos em uma sequência de $n$ provas independentes, na qual a probabilidade de sucesso em cada etapa é $p\text{,}$ é igual a

$\begin{equation*} C_n^k\times p^k\times (1-p)^{n-k}. \end{equation*}$

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Demonstração.

A probabilidade de nessas $n$ provas obtermos $k$ sucessos, e consequentemente, $n-k$ fracassos em uma ordem fixada é

\begin{equation*} \underbrace{p\cdot p \cdots p}_{k\text{ fatores}}\underbrace{\cdot (1-p)\cdots(1-p)}_{(n-k)\text{ fatores}} = p^k(1-p)^{n-k}, \end{equation*}

pois as provas são independentes. É claro que em outra ordem, a probabilidade seria a mesma, pois apenas a ordem dos fatores se altera. Como o número de formas de alterar esta ordem é $C_n^k\text{,}$ a probabilidade de obtermos $k$ sucessos, em $n$ provas é

\begin{equation*} C_n^k \times p^k\times(1-p)^{n-k}. \end{equation*}

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Exemplo 4.3.3.

Um dodecaedro (regular, com peso uniforme, ou seja, não viciado) tem 3 faces verdes e 4 faces vermelhas e 5 faces azuis.

Qual é a probabilidade de em 8 lançamentos desse dodecaedro, obtermos 3 vezes a cor verde?
Qual é a probabilidade de em 8 lançamentos desse dodecaedro, obtermos 3 vezes a cor azul?

Solução

item a) Vamos considerar os eventos:

S: saiu uma face verde $\Rightarrow p = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}.$

F: não saiu uma face verde $\Rightarrow p = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}.$

Pelo Teorema 4.3.2 a probabilidade é

\begin{equation*} C_8^3\times \left( \frac{1}{4} \right)^3 \times \left( \frac{3}{4} \right)^5 = \frac{1701}{8192} \approx 0.20764 \approx 21\%. \end{equation*}

item b) Vamos considerar os eventos:

S: saiu uma face azul $\Rightarrow p = \frac{5}{12}.$

F: não saiu uma face azul $\Rightarrow p = \frac{7}{12}.$

Pelo Teorema 4.3.2 a probabilidade é

\begin{equation*} C_8^3\times \left( \frac{5}{12} \right)^3 \times \left( \frac{7}{12} \right)^5 = \frac{14706125}{53747712} \approx 0.27361 \approx 27,4\%. \end{equation*}

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Subseção 4.3.2 Variáveis Aleatórias: Geométrica e Binomial Negativa

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Definição 4.3.4.

Dado um experimento aleatório com espaço amostral $\Omega\text{,}$ uma variável aleatória é uma função que associa um número real a cada elemento do espaço amostral.

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Exemplo 4.3.5.

No experimento do lançamento de três moedas podemos definir a variável aleatória $X$ como a função que diz o número de caras, por exemplo:

$X(\{cara, cara, cara\}) = 3\text{;}$
$X(\{cara, coroa, coroa\}) = 1\text{;}$
$X(\{coroa, cara, cara\}) = 2\text{;}$
$X(\{coroa, coroa, coroa\}) = 0\text{.}$

Observe que eventos, ou conjuntos de eventos no espaço amostral podem ser definidos pelas variáveis aleatórias. Por exemplo ${ X = 1 }$ é o conjunto de eventos correspondente a sair exatamente uma cara e é igual a:

$\begin{equation*} \{\{cara, coroa, coroa\}, \{coroa, cara, coroa\}, \{coroa, coroa, cara\}\}. \end{equation*}$

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Teorema 4.3.6.

Um experimento aleatório na qual a probabilidade de sucesso em cada etapa é igual a $p$ e quaisquer duas etapas são independentes, será repetido até que o primeiro sucesso seja obtido. A probabilidade de que o sucesso seja obtido na $n$ -ésima tentativa é igual a

$\begin{equation} (1-p)^{n-1}p.\label{var_geo}\tag{4.3.1} \end{equation}$

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Demonstração.

Para que o sucesso seja obtido exatamente na $n$-ésima tentativa é necessário e suficiente que as $p-1$ tentativas seja fracassos e que a $n$-ésima seja um sucesso. Assim, obtemos a Equação (4.3.1). Como

\begin{equation*} \sum_{n=1}^\infty (1-p)^{n-1}p = p\sum_{n=1}^\infty (1-p)^{n-1} = \frac{p}{1-(1-p)}=1, \end{equation*}

um sucesso acabará ocorrendo, com probabilidade 1.

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Observação 4.3.7.

Qualquer variável aleatória

$X$ cuja função de probabilidade seja dada pela Equação (4.3.1) é chamada de variável aleatória geométrica com parâmetro

$p\text{.}$ No caso do Teorema 4.3.6,

$X$ é o número de tentativas necessárias para obter 1 sucesso.

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Exemplo 4.3.8.

Uma urna contém 5 bolas brancas e 7 bolas pretas. A bolas são selecionadas aleatoriamente, uma de cada vez, até que saia uma bola preta. Se supormos que cada bola selecionada seja substituída por outra de mesma cor, antes que a próxima bola seja retirada, qual é a probabilidade de que

sejam necessárias exatamente 4 retiradas?
sejam necessárias pelo menos 4 retiradas?

Solução

item a) Se $X$ representar o número de retiradas necessárias até que se sele- cione uma bola preta, então $X$ satisfaz a Equação (4.3.1), com $p = \frac{7}{7+5} = \frac{7}{12}\text{.}$ Então, a probabilidade é

\begin{equation*} \left(\frac{5}{12}\right)^{3}\frac{7}{12}. \end{equation*}

item b)

\begin{align*} \frac{7}{12}\cdot\sum_{n=4}^{\infty}\left(\frac{5}{12}\right)^{n-1} =\amp~ \frac{7}{12}\cdot\frac{\left(\frac{5}{12}\right)^{3}}{1-\frac{5}{12}} \\ =\amp~ \left(\frac{5}{12}\right)^{3}. \end{align*}

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Teorema 4.3.9.

Um experimento aleatório na qual a probabilidade de sucesso em cada etapa é igual a $p$ e quaisquer duas etapas são independentes, será repetido até que se acumule um total de $k$ sucessos. A probabilidade de que o $k$ -ésimo sucesso seja obtido na $n$ -ésima tentativa é igual a

$\begin{equation} C_{n-1}^{k-1}p^k(1-p)^{n-k}.\label{binon_neg_0}\tag{4.3.2} \end{equation}$

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Demonstração.

Para que o $k$-ésimo sucesso ocorra na $n$-ésima tentativa, devem ocorrer $k - 1$ sucessos nas primeiras $n - 1$ tentativas e a $n$-ésima tentativa deve ser um sucesso. A probabilidade do primeiro evento é

\begin{equation*} C_{n-1}^{k-1}p^{k-1}(1-p)^{n-k} \end{equation*}

e a probabilidade do segundo evento é $p\text{,}$ assim, pela independência dos eventos, obtemos a Equação (4.3.2). Ainda precisamos verificar que um total de $k$ sucessos acaba sendo acumulado, ou seja, precisamos verificar que

\begin{equation} \sum_{n=k}^{\infty} C_{n-1}^{k-1}p^k(1-p)^{n-k}=1.\label{binon_neg_2}\tag{4.3.3} \end{equation}

O número de tentativas necessárias para que se obtenham $k$ sucessos pode ser representado como $T_1 + T_2 + \cdots + T_k\text{,}$ na qual, $T_1$ é o número de tentativas necessárias para o primeiro sucesso, $T_2\text{,}$ é o número de tentativas adicionais feitas até que ocorra o segundo sucesso e assim por diante. Tem-se que $T_1, T_2, \ldots, T_k$ satisfazem o Teorema Teorema 4.3.6. Portanto, cada uma delas é finita com probabilidade 1, e então $\sum_{i=1}^kT_i$ também deve ser finita, o que estabelece a Equação (4.3.3).

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Observação 4.3.10.

Qualquer variável aleatória cuja função de probabilidade seja dada pela Equação (4.3.2) é chamada de variável aleatória binomial negativa com parâmetros $(k,p)\text{.}$ Observe que uma variável aleatória geométrica é simplesmente uma variável binomial negativa com parâmetros $(1,p)\text{.}$

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Corolário 4.3.11.

Um experimento aleatório na qual a probabilidade de sucesso em cada etapa é igual a $p$ e quaisquer duas etapas são independentes. A probabilidade de que $k$ sucessos ocorram antes de $m$ fracassos é

$\begin{equation} \sum_{n=k}^{k+m-1} C_{n-1}^{k-1}p^k(1-p)^{n-k}.\label{binon_neg}\tag{4.3.4} \end{equation}$

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Demonstração.

Note que ocorrem $k$ sucessos antes de $m$ fracassos se e somente se o $k$-ésimo sucesso ocorrer até a $(k + m -1)$-ésima tentativa. Tem-se esse resultado porque, se o $k$-ésimo sucesso tiver ocorrido antes ou na $(k + m - 1)$-ésima tentativa, então ele deve ter ocorrido antes do $m$-ésimo fracasso, e vice-versa. Portanto, da Equação (4.3.2), a probabilidade desejada é dada pela Equação (4.3.4).

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Exemplo 4.3.12.

Joga-se uma moeda não viciada. Qual é a probabilidade de serem obtidas

3 caras antes de 2 coroas?
5 caras antes de 3 coroas?

Solução

item a) Pelo Corolário 4.3.11, basta aplicar a Fórmula (4.3.4) com $k=3$ e $m=2\text{.}$ Portanto, a resposta é

\begin{align*} \sum_{n=3}^{4} C_{n-1}^{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{3}\left(1-\frac{1}{2}\right)^{n-3} = \amp~ C_2^2\left(\frac{1}{2}\right)^{3}\left(\frac{1}{2}\right)^{0}+ C_3^2\left(\frac{1}{2}\right)^{3}\left(\frac{1}{2}\right)^{1}\\ =\amp~ \left(\frac{1}{2}\right)^{3}+ C_3^2\left(\frac{1}{2}\right)^{4}\\ =\amp~ \left(\frac{1}{2}\right)^{3}+ 3\left(\frac{1}{2}\right)^{4}\\ =\amp~ 0,3125. \end{align*}

item b) Pelo Corolário 4.3.11, basta aplicar a Fórmula (4.3.4) com $k=5$ e $m=3\text{.}$ Portanto, a resposta é

\begin{align*} \sum_{n=5}^{7} C_{n-1}^{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{5}\left(1-\frac{1}{2}\right)^{n-5} = \amp~ C_4^4\left(\frac{1}{2}\right)^{5}\left(\frac{1}{2}\right)^{0}+ \cdots + C_6^4\left(\frac{1}{2}\right)^{5}\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\\ =\amp~ \left(\frac{1}{2}\right)^{5}+ C_5^4\left(\frac{1}{2}\right)^{6}+ C_6^4\left(\frac{1}{2}\right)^{7}\\ =\amp~ \left(\frac{1}{2}\right)^{5}+ 5\left(\frac{1}{2}\right)^{6}+ 15\left(\frac{1}{2}\right)^{7}\\ =\amp~ 0,2265625. \end{align*}

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Exercícios 4.3.3 Exercícios

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1.

Uma caixa contém 9 bolas brancas, 6 pretas e 5 vermelhas. Retiram-se, sucessivamente e com reposição, 4 bolas dessa caixa. Determine a probabilidade:

das 4 bolas retiradas serem vermelhas;
de somente 2 bolas retiradas serem vermelhas;
de pelo menos 2 bolas serem vermelhas.

Resposta

a) $\dfrac{1}{256}\text{,}$ b) $\dfrac{27}{128}\text{,}$ c) $\dfrac{67}{256}\text{.}$

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2.

(ITA 2009) Um determinado concurso é realizado em duas etapas. Ao longo dos últimos anos, 20% dos candidatos do concurso têm conseguido na primeira etapa nota superior ou igual à nota mínima necessária para poder participar da segunda etapa. Se tomarmos 6 candidatos dentre os muitos inscritos, qual é a probabilidade de no mínimo 4 deles conseguirem nota para participar da segunda etapa?

Resposta

$P = \frac{53}{3125}\text{.}$

Solução

Temos três casos que pelo menos 4 candidatos, dentre 6, conseguem a nota mínima:

\begin{align*} 1º: \amp ~ \text{4 conseguem e 2 não conseguem;} \\ 2º: \amp ~ \text{5 conseguem e 1 não conseguem;} \\ 3º: \amp ~ \text{6 conseguem.} \end{align*}

Aplicando o Teorema 4.3.2 temos que a probabilidade pedida é dada por:

\begin{equation*} P = C_6^4\times(20\%)^4\times (80\%)^2 + C_6^5\times(20\%)^5\times (80\%)^1 + C_6^6\times(20\%)^6\times(80\%)^0 \end{equation*}

\begin{equation*} P = \frac{15360 + 1534 + 64}{1000000} \Rightarrow P = \frac{53}{3125}. \end{equation*}

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3.

(ITA 2010) Um palco possui $6$ refletores de iluminação. Num certo instante de um espetáculo moderno os refletores são acionados aleatoriamente de modo que, para cada um dos refletores, seja de $\frac{2}{3}$ a probabilidade de ser aceso. Então, a probabilidade de que, este instante, $4$ ou $5$ refletores sejam acesos simultaneamente, é igual a

a) $\dfrac{16}{27}~~~~$ b) $\dfrac{49}{81}~~~~$ c) $\dfrac{151}{243}~~~~$ d) $\dfrac{479}{729}~~~~$ e) $\dfrac{2^4}{3^4} + \dfrac{2^5}{3^5}$

Resposta

Solução

Aplicando o Teorema 4.3.2 temos

\begin{equation*} P = C_6^4\times \left(\frac{2}{3}\right)^4\times \left(\frac{1}{3}\right)^2 + C_6^5\times \left(\frac{2}{3}\right)^5\times \left(\frac{1}{3}\right)^1 = \frac{16}{27} \end{equation*}

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4.

Dois adversários A e B disputam uma série de partidas. O primeiro que obtiver $10$ vitórias ganha a série. No momento o resultado é $7\times4$ a favor de A. Qual é a probabilidade de A ganhar a série sabendo que em cada partida as probabilidades de A e B vencerem são respectivamente 0,3 e 0,7?

Solução

Basta aplicar o Corolário 4.3.11, na qual, A deve obter 3 vitórias antes que 6 derrotas. Logo, a resposta é

\begin{align*} \sum_{n=3}^8 C_{n-1}^{3-1}(0,3)^3(0,7)^{n-3}=\amp~ C_2^2(0,3)^3(0,7)^0+\cdots+C_7^2(0,3)^3(0,7)^5\\ =\amp~ 0.44822619. \end{align*}