UFRPE-DM Binômio de Newton com Expoente Real

Seção 3.3 Binômio de Newton com Expoente Real

Em 1787, Leonhard Euler publicou um artigo fundamental [6.21] no qual demonstrou a expansão do binômio \((1+x)^\alpha\) para expoentes reais \(\alpha\text{,}\) estendendo o resultado clássico de Newton. Veremos as condições sob as quais a série converge e uma aplicação. Esta generalização não apenas enriquece nosso entendimento de polinômios, mas também ilustra a elegância da matemática ao conectar ideias discretas e contínuas.

Definição 3.3.1.

O número binomial é definido pela expressão

\begin{align*} \binom{\alpha}{p} =\amp \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-p+1)}{p!} ~~ (p>0)\\ e\amp\\ \binom{\alpha}{0}=\amp1, \end{align*}

na qual, \(\alpha\) é um número real e \(p\) um número inteiro positivo.

Exemplo 3.3.2.

\(\displaystyle\binom{7}{2} = \frac{7\cdot 6}{2} = 21\text{;}\)
\(\displaystyle\binom{5}{6} = \frac{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot 0}{6!} = 0\text{;}\)
\(\displaystyle\binom{3/2}{3} =\frac{\frac{3}{2}\left(\frac{3}{2}-1\right)\left(\frac{3}{2}-2\right)}{3!}= -\frac{1}{16}\text{.}\)

Teorema 3.3.3.

Sejam \(\alpha\) e \(x\) números reais, com \(|x|\lt 1\text{,}\) então:

\begin{equation*} (1+x)^\alpha = \sum_{k=0}^\infty \binom{\alpha}{k}x^k = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3+\cdots \end{equation*}

Demonstração.

Observe que para \(\alpha \in \mathbb{N}\text{,}\) esta expressão coincide com a que já conhecíamos (Teorema 3.2.1), pois todos os termos depois do \(\alpha\)-ésimo serão iguais a zero. O que vamos mostrar é que o lado direito converge quando \(|x|\lt1\text{.}\) Então o lado direito será o significado da expressão do lado esquerdo.

Vamos aplicar o Teste de d'Alembert (Teorema 3.3.10). Considere termos consecutivos da série:

\begin{equation*} T_k = \binom{\alpha}{k}x^k ~~~\text{ e }~~~ T_{k+1} = \binom{\alpha}{k+1}x^{k+1}. \end{equation*}

Vamos analisar o que acontece com o valor absoluto da razão, quando \(k\rightarrow \infty.\)

\begin{equation*} \left| \frac{T_{k+1}}{T_k} \right| = \left| \frac{\binom{\alpha}{k+1}x^{k+1}}{\binom{\alpha}{k}x^k} \right| = \left| \frac{\alpha-k}{k+1}\cdot x \right|, \end{equation*}

observe que \(\frac{\alpha-k}{k+1}\rightarrow -1\text{,}\) quando \(k\rightarrow \infty\text{.}\) Como \(|x|\lt1\text{,}\) \(\left| \frac{\alpha-k}{k+1}\cdot x \right| \rightarrow |x|\lt 1\text{,}\) quando \(k\rightarrow \infty\text{.}\) Portanto, pelo Teste de d'Alembert, a série é absolutamente convergente. Logo, pelo Teorema 3.3.9 a série é convergente.

Exemplo 3.3.4.

Utilize o Teorema 3.3.3 para obter uma proximação de \(\sqrt{3}\text{.}\)

Solução.

Observe que

\begin{align*} \sqrt{3}=3^{1/2} = \amp (4+ (-1))^{1/2}\\ = \amp 4^{1/2}(1+ (-1/4))^{1/2}\\ =\amp 2\underbrace{( 1+ (-1/4) )^{1/2}}_{\text{binômio}} \end{align*}

Podemos utilizar o Teorema 3.3.3 para expandir o binômio, para uma quantidade finita de termos, e depois multiplicamos por 2:

Com apenas 1 termo, ficamos com

\begin{equation*} \sqrt{3} \approx 2\cdot 1 =2 \end{equation*}

Com 2 termos:

\begin{equation*} \sqrt{3}\approx 2\cdot\left(1 + \frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{4} \right)\right) = 2\cdot 0,875 = 1,75 \end{equation*}

Com 3 termos:

\begin{align*} \sqrt{3}\approx\amp~ 2\cdot\left(1 + \frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{4} \right) + \frac{\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{2}-1 \right)}{2!}\left(-\frac{1}{4} \right)^2\right)\\ \approx \amp~ 2\cdot 0,8671875\\ \approx\amp~1,734375. \end{align*}

Nota 3.3.5.

Utilizando \(b\text{,}\) o menor número quadrado maior que \(a\text{,}\) podemos calcular uma aproximação para \(\sqrt{a}\) da seguinte maneira:

\begin{align*} \sqrt{a} = (a)^{1/2}=\amp~ \left( b + (a-b) \right) ^{1/2}\\ =\amp~ b^{1/2}\left( 1 + \frac{a-b}{b} \right)^{1/2} \end{align*}

Como \(\left| \frac{a-b}{b} \right|\lt 1\text{,}\) o Teorema 3.3.3 pode ser utilizado para calcular uma aproximação do binômio:

\begin{equation*} \left( 1 + \frac{a-b}{b} \right)^{1/2}. \end{equation*}

Tecnologia 3.3.6.

Usando o Binômio de Newton Generalizado e a observação anterior para calcular a raiz quadrada de 3. Troque os valores de "a" e "termos" para obter a raiz quadada de outro número, com a aproximação desejada.

Figura 3.3.7.

Abaixo, temos o código em SageMath para a função realiza o mesmo cálculo que o SageInteract acima.

Subseção 3.3.1 Teoremas de Séries Numéricas

Os resultados e demonstrações dos Teoremas desta subseção podem ser encontrados no livro Análise Real Volume 1 de Elon Lages Lima [6.4].

Definição 3.3.8.

Uma série \(\sum a_n\) diz-se absolutamente convergente quando \(\sum |a_n|\) converge.

Teorema 3.3.9.

Toda série absolutamente convergente é convergente.

Teorema 3.3.10.

(Teste de d'Alembert)\(~\) Seja \(a_n\neq 0\) para todo \(n\in \mathbb{N}\text{.}\) Se existir uma constante \(c\) tal que \(|a_{n+1}/a_n|\leq c\lt 1\) para todo \(n\) suficientemente grande (em particular, se \(\lim|a_{n+1}/a_n|\lt1\)) então a série \(\sum a_n\) será absolutamente convergente.

Exercícios 3.3.2 Exercícios

1.

Utilizando o Binômio de Newton Generalizado, determine os quatro primeiros termos do desenvolvimento em série de \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x}}\text{.}\)

Resposta.

\(1 + \frac{x}{2} + \frac{3x^2}{8} + \frac{5x^3}{16}\)

Solução.

Podemos reescrever a função como um binômio com expoente real:

\begin{equation*} f(x) = (1-x)^{-1/2}. \end{equation*}

Aqui, \(\alpha = -1/2\) e o segundo termo do binômio é \((-x)\text{.}\) Aplicando a fórmula do teorema:

\begin{align*} T_0 = \amp ~ 1 \\ T_1 = \amp ~ \left(-\frac{1}{2}\right)(-x) = \frac{x}{2} \\ T_2 = \amp ~ \frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)}{2!} (-x)^2 = \frac{\frac{3}{4}}{2} x^2 = \frac{3}{8}x^2 \\ T_3 = \amp ~ \frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{5}{2}\right)}{3!} (-x)^3 = \frac{-\frac{15}{8}}{6} (-x^3) = \frac{15}{48}x^3 = \frac{5}{16}x^3 \end{align*}

Portanto, a expansão inicia-se com: \(1 + \frac{1}{2}x + \frac{3}{8}x^2 + \frac{5}{16}x^3 + \cdots\)

2.

Aproxime o valor de \(\sqrt[3]{9}\) utilizando os três primeiros termos da expansão do Binômio de Newton Generalizado.

Resposta.

\(\frac{599}{288} \approx 2,0798\)

Solução.

Primeiro, procuramos o cubo perfeito mais próximo de 9, que é 8. Reescrevemos a raiz da seguinte forma:

\begin{align*} \sqrt[3]{9} = \amp ~ (8 + 1)^{1/3} = \left[ 8 \left(1 + \frac{1}{8}\right) \right]^{1/3} \\ = \amp ~ 8^{1/3} \left(1 + \frac{1}{8}\right)^{1/3} = 2 \left(1 + \frac{1}{8}\right)^{1/3} \end{align*}

Agora expandimos \(\left(1 + \frac{1}{8}\right)^{1/3}\) usando \(\alpha = 1/3\) até o 3º termo:

\begin{align*} \left(1 + \frac{1}{8}\right)^{1/3} \approx \amp ~ 1 + \left(\frac{1}{3}\right)\left(\frac{1}{8}\right) + \frac{\left(\frac{1}{3}\right)\left(\frac{1}{3}-1\right)}{2!} \left(\frac{1}{8}\right)^2 \\ = \amp ~ 1 + \frac{1}{24} + \frac{\left(\frac{1}{3}\right)\left(-\frac{2}{3}\right)}{2} \left(\frac{1}{64}\right) \\ = \amp ~ 1 + \frac{1}{24} - \frac{1}{9} \left(\frac{1}{64}\right) \\ = \amp ~ 1 + \frac{1}{24} - \frac{1}{576} \end{align*}

Transformando tudo para o denominador 576:

\begin{equation*} \frac{576}{576} + \frac{24}{576} - \frac{1}{576} = \frac{599}{576} \end{equation*}

Não podemos esquecer de multiplicar pelo fator 2 que estava em evidência:

\begin{equation*} \sqrt[3]{9} \approx 2 \times \frac{599}{576} = \frac{599}{288} \approx 2,0798. \end{equation*}

(Curiosidade: O valor real de \(\sqrt[3]{9}\) é aproximadamente \(2,0800\text{.}\) A aproximação com apenas 3 termos é excelente!)

Análise Combinatória e Probabilidade: Com Aplicações no SageMath

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Definição 3.3.1.

Exemplo 3.3.2.

Teorema 3.3.3.

Demonstração.

Exemplo 3.3.4.

Nota 3.3.5.

Tecnologia 3.3.6.

Subseção 3.3.1 Teoremas de Séries Numéricas

Definição 3.3.8.

Teorema 3.3.9.

Teorema 3.3.10.

Exercícios 3.3.2 Exercícios

1.

2.