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Seção 3.3 Binômio de Newton com Expoente Real

Em 1787, Leonhard Euler publicou um artigo fundamental [6.21] no qual demonstrou a expansão do binômio \((1+x)^\alpha\) para expoentes reais \(\alpha\text{,}\) estendendo o resultado clássico de Newton. Veremos as condições sob as quais a série converge e uma aplicação. Esta generalização não apenas enriquece nosso entendimento de polinômios, mas também ilustra a elegância da matemática ao conectar ideias discretas e contínuas.

Definição 3.3.1.
O número binomial é definido pela expressão
\begin{align*} \binom{\alpha}{p} =\amp \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(x-p+1)}{p!} ~~ (p>0)\\ e\amp\\ \binom{\alpha}{0}=\amp1, \end{align*}
na qual, \(\alpha\) é um número real e \(p\) um número inteiro positivo.
Exemplo 3.3.2.
  1. \(\displaystyle\binom{7}{2} = \frac{7\cdot 6}{2} = 21\text{;}\)
  2. \(\displaystyle\binom{5}{6} = \frac{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot 0}{6!} = 0\text{;}\)
  3. \(\displaystyle\binom{3/2}{3} =\frac{\frac{3}{2}\left(\frac{3}{2}-1\right)\left(\frac{3}{2}-2\right)}{3!}= -\frac{1}{16}\text{.}\)

Observe que para \(\alpha \in \mathbb{N}\text{,}\) esta expressão coincide com a que já conhecíamos (Teorema 3.2.1), pois todos os termos depois do \(\alpha\)-ésimo serão iguais a zero. O que vamos mostrar é que o lado direito converge quando \(|x|\lt1\text{.}\) Então o lado direito será o significado da expressão do lado esquerdo.

Vamos aplicar o Teste de d'Alembert (Teorema 3.3.10). Considere termos consecutivos da série:

\begin{equation*} T_k = \binom{\alpha}{k}x^k ~~~\text{ e }~~~ T_{k+1} = \binom{\alpha}{k+1}x^{k+1}. \end{equation*}

Vamos analisar o que acontece com o valor absoluto da razão, quando \(k\rightarrow \infty.\)

\begin{equation*} \left| \frac{T_{k+1}}{T_k} \right| = \left| \frac{\binom{\alpha}{k+1}x^{k+1}}{\binom{\alpha}{k}x^k} \right| = \left| \frac{\alpha-k}{k+1}\cdot x \right|, \end{equation*}

observe que \(\frac{\alpha-k}{k+1}\rightarrow -1\text{,}\) quando \(k\rightarrow \infty\text{.}\) Como \(|x|\lt1\text{,}\) \(\left| \frac{\alpha-k}{k+1}\cdot x \right| \rightarrow |x|\lt 1\text{,}\) quando \(k\rightarrow \infty\text{.}\) Portanto, pelo Teste de d'Alembert, a série é absolutamente convergente. Logo, pelo Teorema 3.3.9 a série é convergente.

Exemplo 3.3.4.
Utilize o Teorema 3.3.3 para obter uma proximação de \(\sqrt{3}\text{.}\)
Solução

Observe que

\begin{align*} \sqrt{3}=3^{1/2} = \amp (4+ (-1))^{1/2}\\ = \amp 4^{1/2}(1+ (-1/4))^{1/2}\\ =\amp 2\underbrace{( 1+ (-1/4) )^{1/2}}_{\text{binômio}} \end{align*}

Podemos utilizar o Teorema 3.3.3 para expandir o binômio, para uma quantidade finita de termos, e depois multiplicamos por 2:

Com apenas 1 termo, ficamos com

\begin{equation*} \sqrt{3} \approx 2\cdot 1 =2 \end{equation*}

Com 2 termos:

\begin{equation*} \sqrt{3}\approx 2\cdot\left(1 + \frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{4} \right)\right) = 2\cdot 0,875 = 1,75 \end{equation*}

Com 3 termos:

\begin{align*} \sqrt{3}\approx\amp~ 2\cdot\left(1 + \frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{4} \right) + \frac{\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{2}-1 \right)}{2!}\left(-\frac{1}{4} \right)^2\right)\\ \approx \amp~ 2\cdot 0,8671875\\ \approx\amp~1,734375. \end{align*}
Observação 3.3.5.

Utilizando \(b\text{,}\) o menor número quadrado maior que \(a\text{,}\) podemos calcular uma aproximação para \(\sqrt{a}\) da seguinte maneira:

\begin{align*} \sqrt{a} = (a)^{1/2}=\amp~ \left( b + (a-b) \right) ^{1/2}\\ =\amp~ b^{1/2}\left( 1 + \frac{a-b}{b} \right)^{1/2} \end{align*}

Como \(\left| \frac{a-b}{b} \right|\lt 1\text{,}\) o Teorema 3.3.3 pode ser utilizado para calcular uma aproximação do binômio:

\begin{equation*} \left( 1 + \frac{a-b}{b} \right)^{1/2}. \end{equation*}
Tecnologia 3.3.6.

Usando o Binômio de Newton Generalizado e a observação anterior para calcular a raiz quadrada de 3. Troque os valores de "a" e "termos" para obter a raiz quadada de outro número, com a aproximação desejada.

Figura 3.3.7.

Abaixo, temos o código em SageMath para a função realiza o mesmo cálculo que o SageInteract acima.

Subseção 3.3.1 Teoremas de Séries Numéricas

Os resultados e demonstrações dos Teoremas desta subseção podem ser encontrados no livro Análise Real Volume 1 de Elon Lages Lima [6.4].

Definição 3.3.8.
Uma série \(\sum a_n\) diz-se absolutamente convergente quando \(\sum |a_n|\) converge.