Análise Combinatória e Probabilidade: Com Aplicações no SageMath

Existem \(PC_7 = 6!\) maneiras de formar uma roda com as meninas. Depois disso, os \(7\) meninos devem ser postos nos \(7\) lugares entre as meninas, isto pode ser feito de \(7!\) maneiras. No total são \(6!\times 7! = 3628800\) rodas de cirandas possíveis.

Considere cada casal como uma coisa só. Assim, temos \(PC_{18}\) maneiras de formar uma roda com os \(18\) casais. Depois disso, cada casal tem duas escolhas: marido à direita da esposa ou marido à esquerda da esposa. Portanto, no total são \(PC_{18}\times 2^{18}\) rodas de cirandas possíveis.

Considere o presidente e o vice-presidente como uma coisa só, isto pode ser organizado de \(2!\) maneiras. Considere, também, os três gerentes como uma coisa só, isto pode ser organizado de \(3!\) maneiras. Para as \(9\) pessoas que serão organizadas em uma mesa circular, ainda faltam \(4\) pessoas, mas o círculo formado é equivalente a um círculo com \(6\) lugares, devido aos agrupamentos mencionados. Portanto, o total de maneiras que as \(9\) pessoas poderão ocupar os assentos é

item a. Cada banco da roda-gigante pode ser dividido em duas partes, totalizando 20 assentos numerados. Uma vez feito isso, para cada permutação possível das 20 pessoas, há apenas uma forma de distribuí-las nesses assentos. No entanto, como a roda-gigante é circular e possui 10 bancos dispostos em círculo, precisamos considerar as simetrias geradas pela rotação da roda. Assim, devemos dividir o total de permutações, dado por \(20!\text{,}\) pelo número de posições equivalentes por rotação, que é 10. Portanto, o número de maneiras de colocar as 20 pessoas na roda-gigante é

item b. Se a ordem não é relevante, basta dividir por \(2! = 2\) em cada lugar, obtendo

Observe que precisamos separar em dois casos.

1º Caso: José, Cléber, Márcia e Luíza não participam do debate. Neste caso temos \(C_8^6\) maneiras de escolher as pessoas que vão participar do debate e \(PC_6\) maneiras de organizar as pessoas na mesa circular. No total não \(C_8^6\times PC_6 = 28\times 120=3360\) maneiras.

2º Caso: José, Cléber, Márcia e Luíza participam do debate. Neste caso, vamos contar sem a restrição de José e Cléber não sentarem juntos e subtrair dos casos em que eles sentam juntos. Em ambos os casos precisamos escolher 2 pessoas de 8 disponíveis para completar a mesa.

Sem a restrição de José e Cléber não sentarem juntos temos duas maneiras de colocar Márcia e Luíza juntas na mesa e temos mais 4 pessoas para colocar na mesa. Então, são \(2\times PC_5\) maneiras de organizar essas 6 pessoas.

Contando os casos em que José e Cléber sentam juntos, temos duas maneiras de colocar Márcia e Luíza e duas maneiras de colocar José e Cléber juntos na mesa. Uma vez feita esssa escolhas, ficamos com o equivalente a 4 pessoas para serem organizadas numa mesa circular, ou seja, são \(2\times 2\times PC_4\) maneiras. Assim, a quantidade de maneiras do 2º caso é dada por:

Portanto, juntando os dois casos, o número total de maneiras é

Vamos separar a contagem em três casos:

1. Um dos quadrados pintados de amarelo é o quadrado central;
2. Os dois quadrados pintados de amarelo são simetricos;
3. Os dois quadrados pintados de amarelo não são semétricos (sem o central pintado de amarelo).

Agora, vamos calcuar o total de maneiras de pintar os dois quadrados de amarelo em cada caso.

1. No primeiro caso, como o central é amarelo, o outro quadrado amarelo pode ocupar qualquer um dos 48 quadrados do tabuleiro. Como são quatro posições equivalentes por rotação, precisamos dividir por 4. Assim, o total de maneiras de pintar duas casas de amarelo é:

   \begin{equation*} \frac{48}{4} = 12. \end{equation*}

2. No segundo caso, como os dois quadrados amarelos precisam ser simétricos, o quadrado central não pode ser pintado. O primeiro quadrado pode ser escolhido de 48 maneiras, uma vez feita essa escolha, o segundo já está determinado. Agora, precisamos "descontar" a ordem dos quadrados amarelos e a simetria do tabuleiro. São dois quadrados e neste caso as posições equivalentes por rotação são duas. Portanto, precisamos dividir por \(2!\cdot 2\text{:}\)

   \begin{equation*} \frac{48}{2!\cdot 2} = 12 \end{equation*}

3. No terceiro caso, o primeiro quadrado amarelo pode ser escolhido de 48 maneiras e o segundo de 46 maneiras (nem pode ser o central, nem o simétrico ao primeiro). Como são dois quadrados e as posições equivalentes por rotação são 4, precisamos dividir por \(2!\cdot 4\text{:}\)

   \begin{equation*} \frac{48\cdot 46}{8} = 276 \end{equation*}

Como os três casos são excludentes e cobrem todas as posibilidades, a resposta é:

Temos um total de \(PCR_{6}^{2,2} = 30\) maneiras de colocar as 6 cadeiras na mesa. Uma vez feito isto, temos 4 opções de cadeiras para a criança que não quer uma cadeira vermelha. Depois disto, temos \(5!\) maneiras de ordenas as outras 5 crianças. No total são

Observe que os números estão em disposição circular, então vamos separar as peças em três tipos:

1. Todos os lados com o mesmo valor. Cada peça pode ser formada de uma única forma, assim temos 6 peças desse tipo.
2. Dois lados possuem um valor e o terceiro lado possui um valor diferente. Para formar cada peça deste tipo, precisamos escolher dois números de seis disponíveis, uma vez feita esta escolha temos duas maneiras de escolher qual número será usado duas vezes. No total são \(C_6^2\times 2\) modos de formar essas peças, já que qualquer permutações desses números não gera uma nova peça.
3. Cada lado possui um valor diferente. Neste caso, cada peça pode ser formada de duas formas, pois o número de permutações circulares com 3 elementos é 2. Neste caso temos \(2\times C_6^3\) modos de formar as peças.

Portanto, o número de soluções é:

Vamos começar determinando o número total de disposições circulares possíveis dos representantes dos reinos.

Temos os seguintes elementos:

• 3 representantes do Reino da Chama (C);
• 3 representantes do Reino das Marés (M);
• 2 representantes do Reino das Rochas (R);
• 1 Rainha do Reino dos Ventos (Q).

Como estamos lidando com uma disposição circular de 9 elementos, com repetições, utilizamos a fórmula de permutação circular com repetição:

Agora, vamos contar as disposições em que a Rainha dos Ventos não está sentada ao lado de algum representante do Reino da Chama ou do Reino das Rochas. Isso significa que ela deve estar entre dois representantes do Reino das Marés — ou seja, formando o bloco MQM.

Consideramos então o bloco MQM como uma única entidade. Com isso, temos 7 elementos restantes a organizar ao redor da mesa circular:

• MQM (bloco fixo que inclui a Rainha);
• 3 representantes do Reino da Chama (C);
• 2 representantes do Reino das Rochas (R);
• 1 representante restante do Reino das Marés (M).

O total de maneiras de dispor esses 7 elementos em círculo, levando em conta as repetições, é dado por:

Finalmente, para obter o número de disposições em que a Rainha do Reino dos Ventos está ao lado de pelo menos um representante do Reino da Chama ou das Rochas, subtraímos da quantidade total o número de arranjos em que ela está isolada entre dois representantes das Marés:

Portanto, existem 500 disposições distintas nas quais a Rainha do Reino dos Ventos está sentada ao lado de pelo menos um representante do Reino da Chama ou do Reino das Rochas.