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Cálculo M V: notas de aula

Eberson Ferreira da Silva, Ricardo Nunes Machado Junior

Seção 1.1 Curvas

Subseção 1.1.1 Curvas em \(\mathbb{R}^2\)

Definição 1.1.1.

Considere uma função \(f: D \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2\) dada por \(f(t) = (x(t), y(t))\text{.}\)
  1. O conjunto \(D \subseteq \mathbb{R}\) é o domínio de \(f\text{.}\)
  2. O conjunto \(Im(f) = \{ f(t) \in \mathbb{R}^2 ; t \in D \}\) é a imagem de \(f\) ou trajetória de \(f\text{.}\)
  3. A imagem de \(f\) é o lugar geométrico, em \(\mathbb{R}^2\text{,}\) descrito por \(f(t)\) quando \(t\) varia em \(D\text{.}\)

Exemplo 1.1.2.

Seja \(f(t) = (t, 2t)\text{.}\)
Temos por exemplo, que \(f(0) = (0, 2(0)) = (0,0)\) e \(f(1) = (1, 2(1)) = (1,2)\text{.}\) De maneira geral, temos \(x = t\) e \(y = 2t\text{,}\) isto é, \(y = 2t = 2x\text{.}\) Isso representa uma reta em \(\mathbb{R}^2\text{.}\)
Gráfico no plano cartesiano mostrando uma reta que passa pela origem (0,0) identificada como f(0), e pelo ponto (1,2) identificado como f(1). A reta é rotulada como Im(f).
Figura 1.1.3. Gráfico de \(f(t) = (t, 2t)\)

Exemplo 1.1.4.

Seja \(F(t) = (\cos t, \text{sen } t)\text{.}\)
Aqui, temos \(t\) variando no intervalo \([0, 2\pi]\text{.}\) Como \(x(t) = \cos t\) e \(y(t) = \text{sen } t\) com \(t \in [0, 2\pi]\text{.}\) Como \(\cos^2 t + \text{sen}^2 t = 1\text{,}\) segue que \(x^2 + y^2 = 1\text{.}\)
Assim, vemos que a trajetória de \(F\) é uma circunferência de raio 1.
Círculo de raio 1 no plano cartesiano, centrado na origem, com setas indicando o sentido anti-horário. Estão marcados os pontos F(0) = (cos(0), sen(0)) = (1,0), F(pi/2) = (cos(pi/2), sen(pi/2)) = (0,1), F(pi) à esquerda, e F(3pi/2) na parte inferior.
Figura 1.1.5. Gráfico da trajetória \(F(t) = (\cos t, \text{sen } t)\)

Nota 1.1.6.

Uma função \(f: D \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2\) dada por \(f(t) = (x(t), y(t))\) é também chamada de função vetorial.
A cada parâmetro \(t \in \mathbb{R}\) associamos um vetor \(\vec{v} = (x(t), y(t))\text{.}\)
Plano cartesiano com uma curva sinuosa. Existem vetores de posição originando de (0,0) e apontando para diferentes pontos na curva: v_0 apontando para f(t_0), v_1 apontando para f(t_1) e v_2 apontando para f(t_2).
Figura 1.1.7. Vetores posição para pontos da trajetória
É comum escrevermos \(f(t) = x(t)\vec{i} + y(t)\vec{j}\text{,}\) com \(\vec{i} = (1,0)\) e \(\vec{j} = (0,1)\) para expressarmos a função vetorial \(f\text{.}\)
Obs: \(x = x(t)\) e \(y = y(t)\) são as equações paramétricas da trajetória de \(f\text{.}\)

Exemplo 1.1.8.

Considere \(g(t) = e^{-0,22t}\cos t\vec{i} + e^{-0,22t}\text{sen } t\vec{j}\) com \(t \ge 0\text{.}\)
Note que \(g(0) = e^0 \cos 0 \vec{i} + e^0 \text{sen } 0 \vec{j} = 1\vec{i} + 0\vec{j} = \vec{i}\text{.}\)
Note que o comprimento do vetor \(g(t)\) é:
\begin{align*} ||g(t)|| \amp = \sqrt{(e^{-0,22t}\cos t)^2 + (e^{-0,22t}\text{sen } t)^2}\\ \amp = \sqrt{(e^{-0,22t})^2(\cos^2 t + \text{sen}^2 t)}\\ \amp = \sqrt{(e^{-0,22t})^2} = e^{-0,22t} \end{align*}
Quando \(t \rightarrow \infty\text{,}\) temos \(e^{-0,22t} = \frac{1}{e^{0,22t}} \rightarrow 0\text{,}\) ou seja, o comprimento do vetor \(||g(t)||\) vai diminuindo para zero quando \(t\) vai aumentando.
Uma espiral que começa no ponto g(0)=1 no eixo x e vai girando no sentido anti-horário em direção à origem do plano cartesiano. Vários vetores da origem até pontos da espiral são mostrados, diminuindo em tamanho. Um ponto marcado no eixo y é g(pi/2).
Figura 1.1.9. Gráfico da Espiral de \(g(t)\)

Subseção 1.1.2 Curvas em \(\mathbb{R}^3\)

Definição 1.1.10.

Agora considere uma aplicação \(f: D \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^3\) dada por \(f(t) = (x(t), y(t), z(t))\text{.}\)
A imagem de \(f\) é a trajetória de \(f\) e também podemos ter para cada \(t \in D \subseteq \mathbb{R}\) um vetor dado por \(f(t) = x(t)\vec{i} + y(t)\vec{j} + z(t)\vec{k}\text{,}\) onde \(\vec{i} = (1,0,0)\text{,}\) \(\vec{j} = (0,1,0)\) e \(\vec{k} = (0,0,1)\text{.}\)
\(x = x(t)\text{,}\) \(y = y(t)\) e \(z = z(t)\) são as equações paramétricas da trajetória de \(f\text{.}\)

Exemplo 1.1.11.

Descreva a trajetória da função \(H(t) = (1+t)\vec{i} + (2+5t)\vec{j} + (-1+6t)\vec{k}\text{.}\)
Solução.
As equações paramétricas são:
\begin{equation*} H(t) : \begin{cases} x(t) = 1+t \\ y(t) = 2+5t \\ z(t) = -1+6t \end{cases} \end{equation*}
Pelo que vimos em Geometria Analítica (Vimos?), essas equações representam uma reta em \(\mathbb{R}^3\) que passa por \((1, 2, -1)\) e tem direção do vetor \(\vec{v} = (1, 5, 6)\text{.}\)

Exemplo 1.1.12.

Descreva a imagem de \(F(t) = (a\cos t, b\text{sen } t, c)\) com \(a \gt b \gt 0\) e \(c \gt 0\text{.}\)
Solução.
As equações paramétricas são:
\begin{equation*} x = a\cos t, \quad y = b\text{sen } t, \quad z = c \end{equation*}
Temos \(\frac{x}{a} = \cos t\) e \(\frac{y}{b} = \text{sen } t\text{.}\) Daí,
\begin{equation*} \cos^2 t + \text{sen}^2 t = 1 \implies \left(\frac{x}{a}\right)^2 + \left(\frac{y}{b}\right)^2 = 1 \implies \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \end{equation*}
e \(z = c\text{.}\)
Logo, temos uma elipse dada pela equação \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) porém na altura \(z = c\text{.}\)

Exemplo 1.1.13.

Determine uma função vetorial cuja imagem é a curva obtida pela interseção do cilindro \(x^2+y^2=1\) com o plano \(y+z=2\text{.}\)
Solução.
A curva \(C\) projetada no plano \(xy\) é o círculo \(x^2+y^2=1\) e já vimos nesse material que uma parametrização é \(x(t) = \cos t\) e \(y(t) = \text{sen } t\) com \(t \in [0, 2\pi]\text{.}\)
Como \(y+z=2\) também é satisfeito na curva \(C\text{.}\) Podemos escrever \(z = 2 - y = 2 - \text{sen } t\text{.}\)
Portanto uma função vetorial cuja imagem é \(C\) é dada por:
\begin{equation*} r(t) = \cos t \vec{i} + \text{sen } t \vec{j} + (2 - \text{sen } t)\vec{k} \quad \text{com } t \in [0, 2\pi]. \end{equation*}
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