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Cálculo M V: notas de aula

Eberson Ferreira da Silva, Ricardo Nunes Machado Junior

Seção 3.1 Rotacional e Divergente

Subseção 3.1.1 Rotacional

Considere o operador diferencial \(\nabla\) (del ou nabla) que a cada função escalar diferenciavel associa o seu vetor gradiente:
\begin{equation*} \nabla = \frac{\partial}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial}{\partial y}\vec{j} + \frac{\partial}{\partial z}\vec{k} = \left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\right) \end{equation*}

Definição 3.1.1.

Seja \(\vec{F}(x,y,z) = P\vec{i} + Q\vec{j} + R\vec{k}\) um campo vetorial em \(\mathbb{R}^3\) tal que as derivadas parciais de primeira ordem de \(P\text{,}\) \(Q\) e \(R\) existam. Definimos o rotacional de \(\vec{F}\text{,}\) denotado por \(\text{rot}\,\vec{F}\) ou \(\nabla \times \vec{F}\text{,}\) formalmente como o produto vetorial:
\begin{equation*} \text{rot}\,\vec{F} = \nabla \times \vec{F} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix} \end{equation*}
Desenvolvendo o determinante formal, obtemos:
\begin{equation*} \text{rot}\,\vec{F} = \left(\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}\right)\vec{i} + \left(\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}\right)\vec{j} + \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\vec{k} \end{equation*}

Nota 3.1.2.

O rotacional de um campo vetorial em \(\mathbb{R}^3\) é também um campo vetorial.

Exemplo 3.1.3.

Calcule o rotacional do campo vetorial \(\vec{F}(x,y,z) = xyz\vec{i} + x^2\vec{j} + \vec{k}\text{.}\)
Solução.
Identificando as funções componentes:
\begin{equation*} P(x,y,z) = xyz, \quad Q(x,y,z) = x^2, \quad R(x,y,z) = 1 \end{equation*}
Aplicando a definição:
\begin{align*} \text{rot}\,\vec{F} \amp = \left(\frac{\partial}{\partial y}(1) - \frac{\partial}{\partial z}(x^2)\right)\vec{i} + \left(\frac{\partial}{\partial z}(xyz) - \frac{\partial}{\partial x}(1)\right)\vec{j} + \left(\frac{\partial}{\partial x}(x^2) - \frac{\partial}{\partial y}(xyz)\right)\vec{k}\\ \amp = (0 - 0)\vec{i} + (xy - 0)\vec{j} + (2x - xz)\vec{k}\\ \amp = xy\vec{j} + x(2-z)\vec{k} \end{align*}
Caso \(\vec{F}\) seja um campo vetorial bidimensional \(\vec{F}(x,y) = P(x,y)\vec{i} + Q(x,y)\vec{j}\text{,}\) podemos estendê-lo ao \(\mathbb{R}^3\) fazendo \(R = 0\text{.}\) O rotacional torna-se:
\begin{equation*} \text{rot}\,\vec{F} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & 0 \end{vmatrix} = \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\vec{k} \end{equation*}
Como \(\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right)\text{,}\) calculamos:
\begin{align*} \text{rot}(\nabla f) \amp = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{\partial f}{\partial x} & \frac{\partial f}{\partial y} & \frac{\partial f}{\partial z} \end{vmatrix}\\ \amp = \left(\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial z} - \frac{\partial^2 f}{\partial z \partial y}\right)\vec{i} + \left(\frac{\partial^2 f}{\partial z \partial x} - \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial z}\right)\vec{j} + \left(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} - \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}\right)\vec{k} \end{align*}
Pelo Teorema de Clairaut-Schwarz, as derivadas parciais mistas de uma função \(C^2\) coincidem:
\begin{equation*} \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial z} = \frac{\partial^2 f}{\partial z \partial y}, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial z \partial x} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial z}, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} \end{equation*}
Portanto:
\begin{equation*} \text{rot}(\nabla f) = 0\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k} = \vec{0} \end{equation*}
O teorema acima estabelece que o rotacional de qualquer campo gradiente é identicamente nulo. Como todo campo conservativo admite uma função potencial \(\varphi\) com \(\vec{F} = \nabla\varphi\text{,}\) concluímos imediatamente que:
\begin{equation*} \vec{F} \text{ é conservativo} \implies \text{rot}\,\vec{F} = \vec{0} \end{equation*}

Exemplo 3.1.6.

Considere o campo vetorial:
\begin{equation*} \vec{F}(x,y,z) = e^x\text{sen}(yz)\vec{i} + ze^x\cos(yz)\vec{j} + ye^x\cos(yz)\vec{k} \end{equation*}
  1. \(\vec{F}\) é conservativo?
  2. Se sim, determine uma função potencial \(\varphi: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}\) tal que \(\nabla\varphi = \vec{F}\text{.}\)
Solução.
Item a) O domínio de \(\vec{F}\) é todo o \(\mathbb{R}^3\text{,}\) que é simplesmente conexo. Vamos calcular \(\text{rot}\,\vec{F}\text{:}\)
\begin{equation*} P = e^x\text{sen}(yz), \quad Q = ze^x\cos(yz), \quad R = ye^x\cos(yz) \end{equation*}
Calculando cada derivada parcial:
\begin{align*} \frac{\partial R}{\partial y} \amp = e^x\cos(yz) - yze^x\text{sen}(yz)\\ \frac{\partial Q}{\partial z} \amp = e^x\cos(yz) - zye^x\text{sen}(yz) \implies \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} = 0\\ \frac{\partial P}{\partial z} \amp = ye^x\cos(yz)\\ \frac{\partial R}{\partial x} \amp = ye^x\cos(yz) \implies \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} = 0\\ \frac{\partial Q}{\partial x} \amp = ze^x\cos(yz)\\ \frac{\partial P}{\partial y} \amp = ze^x\cos(yz) \implies \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 0 \end{align*}
Logo, \(\text{rot}\,\vec{F} = \vec{0}\text{,}\) o que garante que \(\vec{F}\) é conservativo.
Item b) Buscamos \(\varphi(x,y,z)\) satisfazendo o sistema:
\begin{align*} \frac{\partial\varphi}{\partial x} \amp = e^x\text{sen}(yz) \\ \frac{\partial\varphi}{\partial y} \amp = ze^x\cos(yz) \\ \frac{\partial\varphi}{\partial z} \amp = ye^x\cos(yz) \end{align*}
Integrando a equação () em relação a \(x\text{:}\)
\begin{equation*} \varphi(x,y,z) = \int e^x\text{sen}(yz)\,dx = e^x\text{sen}(yz) + C(y,z) \end{equation*}
Derivando em relação a \(y\) e comparando com ():
\begin{equation*} \frac{\partial\varphi}{\partial y} = ze^x\cos(yz) + \frac{\partial C}{\partial y}(y,z) = ze^x\cos(yz) \implies \frac{\partial C}{\partial y}(y,z) = 0 \end{equation*}
Logo, a constante de integração depende apenas de \(z\text{:}\) \(C(y,z) = C(z)\text{.}\) Assim:
\begin{equation*} \varphi(x,y,z) = e^x\text{sen}(yz) + C(z) \end{equation*}
Derivando em relação a \(z\) e comparando com ():
\begin{equation*} \frac{\partial\varphi}{\partial z} = ye^x\cos(yz) + C'(z) = ye^x\cos(yz) \implies C'(z) = 0 \implies C(z) = K \end{equation*}
Tomando \(K = 0\text{,}\) obtemos a função potencial:
\begin{equation*} \varphi(x,y,z) = e^x\text{sen}(yz) \end{equation*}

Subseção 3.1.2 Divergente

Definição 3.1.7.

Considerando o operador \(\nabla = \left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\right)\) e um campo vetorial \(\vec{F}(x,y,z) = P\vec{i} + Q\vec{j} + R\vec{k}\) cujas derivadas parciais de primeira ordem existam, definimos o divergente de \(\vec{F}\) por meio do produto escalar formal:
\begin{equation*} \text{div}\,\vec{F} = \nabla \cdot \vec{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \end{equation*}

Nota 3.1.8.

Enquanto o rotacional produz um campo vetorial, o divergente de um campo vetorial resulta em um campo escalar.

Exemplo 3.1.9.

Calcule o divergente do campo \(\vec{F}(x,y,z) = xye^z\vec{i} + yze^x\vec{k}\text{.}\)
Solução.
Temos \(P(x,y,z) = xye^z\text{,}\) \(Q(x,y,z) = 0\) e \(R(x,y,z) = yze^x\text{.}\) Logo:
\begin{align*} \text{div}\,\vec{F} \amp = \frac{\partial}{\partial x}(xye^z) + \frac{\partial}{\partial y}(0) + \frac{\partial}{\partial z}(yze^x)\\ \amp = ye^z + 0 + ye^x = y(e^z + e^x) \end{align*}
Usando as definições de divergente e rotacional:
\begin{align*} \text{div}(\text{rot}\,\vec{F}) \amp = \nabla \cdot (\nabla \times \vec{F})\\ \amp = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\\ \amp = \frac{\partial^2 R}{\partial x \partial y} - \frac{\partial^2 Q}{\partial x \partial z} + \frac{\partial^2 P}{\partial y \partial z} - \frac{\partial^2 R}{\partial y \partial x} + \frac{\partial^2 Q}{\partial z \partial x} - \frac{\partial^2 P}{\partial z \partial y}\\ \amp = 0 \end{align*}
pois todos os termos se cancelam aos pares pelo Teorema de Clairaut-Schwarz.

Exemplo 3.1.11.

Mostre que o campo vetorial \(\vec{F}(x,y,z) = xz\vec{i} + xyz\vec{j} - y^2\vec{k}\) não pode ser escrito como o rotacional de outro campo vetorial (isto é, \(\vec{F} \neq \text{rot}\,\vec{G}\)).
Solução.
Calculando o divergente de \(\vec{F}\text{:}\)
\begin{align*} \text{div}\,\vec{F} \amp = \frac{\partial}{\partial x}(xz) + \frac{\partial}{\partial y}(xyz) + \frac{\partial}{\partial z}(-y^2)\\ \amp = z + xz + 0 = z(1 + x) \end{align*}
Note que \(\text{div}\,\vec{F} \neq 0\) para pontos onde \(z \neq 0\) e \(x \neq -1\text{.}\) Caso existisse um campo \(\vec{G}\) tal que \(\text{rot}\,\vec{G} = \vec{F}\text{,}\) pelo Teorema 3.1.10 teríamos:
\begin{equation*} \text{div}\,\vec{F} = \text{div}(\text{rot}\,\vec{G}) = 0 \end{equation*}
para todo \((x,y,z)\text{,}\) o que é uma contradição. Logo, \(\vec{F}\) não é o rotacional de nenhum campo.

Subseção 3.1.3 Formas Vetoriais do Teorema de Green

Subsubseção 3.1.3.1 1. Forma Rotacional (Circulação)

Seja \(\vec{F}(x,y) = P(x,y)\vec{i} + Q(x,y)\vec{j}\) um campo vetorial plano. Vimos que seu rotacional pode ser visto como um vetor perpendicular ao plano:
\begin{equation*} \text{rot}\,\vec{F} = \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\vec{k} \end{equation*}
Projetando este vetor sobre a direção normal \(\vec{k}\text{:}\)
\begin{equation*} (\text{rot}\,\vec{F}) \cdot \vec{k} = \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \end{equation*}
Portanto, se \(C\) é uma curva fechada simples orientada positivamente contornando uma região \(D\text{,}\) o Teorema de Green assume a forma elegante de circulação:
\begin{equation*} \oint_{C} \vec{F} \cdot d\vec{r} = \oint_{C} P\,dx + Q\,dy = \iint_{D} (\text{rot}\,\vec{F}) \cdot \vec{k} \, dA \end{equation*}

Subsubseção 3.1.3.2 2. Forma Divergente (Teorema da Divergência no Plano / Fluxo)

Seja \(C\) uma curva parametrizada por \(\gamma(t) = x(t)\vec{i} + y(t)\vec{j}\text{,}\) com \(a \le t \le b\text{.}\) O vetor tangente unitário é dado por:
\begin{equation*} \vec{T}(t) = \frac{\gamma'(t)}{\|\gamma'(t)\|} = \left(\frac{x'(t)}{\|\gamma'(t)\|}, \frac{y'(t)}{\|\gamma'(t)\|}\right) \end{equation*}
O vetor normal unitário exterior à curva (girado \(90^\circ\) no sentido horário em relação ao vetor tangente) é:
\begin{equation*} \vec{N}(t) = \left(\frac{y'(t)}{\|\gamma'(t)\|}, -\frac{x'(t)}{\|\gamma'(t)\|}\right) \end{equation*}
Calculamos a integral de fluxo de \(\vec{F}\) através de \(C\text{:}\)
\begin{align*} \oint_{C} (\vec{F} \cdot \vec{N}) \, ds \amp = \int_{a}^{b} (\vec{F} \cdot \vec{N})(\gamma(t)) \|\gamma'(t)\| \, dt\\ \amp = \int_{a}^{b} (P, Q) \cdot \left(\frac{y'(t)}{\|\gamma'(t)\|}, -\frac{x'(t)}{\|\gamma'(t)\|}\right) \|\gamma'(t)\| \, dt\\ \amp = \int_{a}^{b} [P(x(t),y(t))y'(t) - Q(x(t),y(t))x'(t)] \, dt\\ \amp = \oint_{C} -Q(x,y) \, dx + P(x,y) \, dy \end{align*}
Aplicando o Teorema de Green tradicional a este novo campo \((-Q, P)\text{:}\)
\begin{equation*} \oint_{C} -Q \, dx + P \, dy = \iint_{D} \left( \frac{\partial P}{\partial x} - \left(-\frac{\partial Q}{\partial y}\right) \right) dA = \iint_{D} \left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}\right) dA \end{equation*}
Como o integrando é exatamente a definição de divergente plano \(\text{div}\,\vec{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}\text{,}\) obtemos a forma divergente do Teorema de Green:
\begin{equation*} \oint_{C} (\vec{F} \cdot \vec{N}) \, ds = \iint_{D} \text{div}\,\vec{F} \, dA \end{equation*}
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