Ir ao conteúdo principal

Cálculo M V: notas de aula

Eberson Ferreira da Silva, Ricardo Nunes Machado Junior

Seção 3.3 Teorema de Stokes

Subseção 3.3.1 Orientação de Superfícies e de seus Bordos

Definição 3.3.1.

Considere \(S\) uma superfície orientada por um campo contínuo de vetores normais unitários \(\vec{N}\text{.}\) O bordo \(\partial S\) de \(S\) é a curva espacial correspondente, por uma parametrização suave \(\varphi: D \subseteq \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3\text{,}\) à fronteira do domínio plano \(D\text{.}\)
Diremos que o bordo \(\partial S\) possui orientação positiva (ou induzida) se a superfície \(S\) permanece à esquerda de um observador que caminha ao longo de \(\partial S\) com a cabeça apontando no sentido do vetor normal \(\vec{N}\) (regra da mão direita).
Superfície curva orientada com vetor normal unitário N para cima e contorno fechado dS percorrido com orientação induzida positiva pela regra da mão direita.
Figura 3.3.2. Orientação compatível entre a superfície \(S\) e seu bordo \(\partial S\)

Nota 3.3.3.

O bordo \(\partial S\) é uma curva fechada suave por partes em \(\mathbb{R}^3\text{.}\)
Se \(S\) for formada pela união finita de superfícies suaves \(S_i\) coladas por bordos comuns (\(S = S_1 \cup S_2 \cup \dots \cup S_n\)), dizemos que \(S\) está orientada quando é possível orientar cada componente \(S_i\) de tal modo que as curvas de fronteira compartilhadas sejam percorridas em sentidos opostos, anulando-se mutuamente.
União de três superfícies suaves cujos bordos internos possuem orientações opostas que se cancelam, restando apenas o bordo exterior total.
Figura 3.3.4. Superfície composta \(S = S_1 \cup S_2 \cup S_3\) com cancelamento nos bordos internos
Nem toda superfície é orientável. O exemplo clássico mais célebre de superfície não orientável é a Faixa de Möbius, na qual um vetor normal contínuo, ao dar uma volta completa, retorna apontando no sentido oposto ao inicial.
Faixa de Möbius ilustrando a impossibilidade de definir um campo contínuo e global de vetores normais consistentes.
Figura 3.3.5. Faixa de Möbius: superfície não orientável com apenas um lado

Subseção 3.3.2 O Teorema de Stokes

Parametrizamos a superfície por \(\varphi(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v))\) com vetor normal fundamental:
\begin{equation*} \frac{\partial \varphi}{\partial u} \times \frac{\partial \varphi}{\partial v} = \left(\frac{\partial y}{\partial u}\frac{\partial z}{\partial v} - \frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v}\right)\vec{i} + \left(\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial x}{\partial v} - \frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial z}{\partial v}\right)\vec{j} + \left(\frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v} - \frac{\partial y}{\partial u}\frac{\partial x}{\partial v}\right)\vec{k} \end{equation*}
Lembrando que o rotacional é dado por:
\begin{equation*} \text{rot}\,\vec{F} = \left(\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}\right)\vec{i} + \left(\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}\right)\vec{j} + \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\vec{k} \end{equation*}
a integral de superfície é expressa sobre o domínio \(D\) por:
\begin{align*} \iint_{S} (\text{rot}\,\vec{F} \cdot \vec{N}) \, dS \amp = \iint_{D} \left(\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}\right)\left(\frac{\partial y}{\partial u}\frac{\partial z}{\partial v} - \frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v}\right) dA\\ \amp \quad + \iint_{D} \left(\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}\right)\left(\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial x}{\partial v} - \frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial z}{\partial v}\right) dA\\ \amp \quad + \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\left(\frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v} - \frac{\partial y}{\partial u}\frac{\partial x}{\partial v}\right) dA \end{align*}
Por outro lado, a integral de linha sobre o bordo pode ser decomposta em \(\oint_{\partial S} \vec{F} \cdot d\vec{r} = \oint_{\partial S} P\,dx + Q\,dy + R\,dz\text{.}\) Analisemos a primeira componente \(\oint_{\partial S} P\,dx\text{.}\)
Seja \(C(t) = (u(t), v(t))\text{,}\) com \(a \le t \le b\text{,}\) uma parametrização da fronteira orientada positivamente de \(D\text{,}\) de modo que \(\partial S = \varphi(C(t))\text{.}\) Pela Regra da Cadeia:
\begin{align*} \oint_{\partial S} P \, dx \amp = \int_{a}^{b} P(\varphi(C(t))) \frac{d}{dt}(x(u(t),v(t))) \, dt\\ \amp = \int_{a}^{b} P(\varphi(C(t))) \left(\frac{\partial x}{\partial u}\frac{du}{dt} + \frac{\partial x}{\partial v}\frac{dv}{dt}\right) dt\\ \amp = \oint_{C} P(\varphi(u,v))\frac{\partial x}{\partial u} \, du + P(\varphi(u,v))\frac{\partial x}{\partial v} \, dv \end{align*}
Aplicando o Teorema de Green no plano sobre o domínio \(D\text{:}\)
\begin{align*} \oint_{\partial S} P \, dx \amp = \iint_{D} \left[ \frac{\partial}{\partial u}\left(P \frac{\partial x}{\partial v}\right) - \frac{\partial}{\partial v}\left(P \frac{\partial x}{\partial u}\right) \right] dA\\ \amp = \iint_{D} \left( \frac{\partial P}{\partial u}\frac{\partial x}{\partial v} + P\frac{\partial^2 x}{\partial u \partial v} - \frac{\partial P}{\partial v}\frac{\partial x}{\partial u} - P\frac{\partial^2 x}{\partial v \partial u} \right) dA \end{align*}
Como \(\varphi\) é de classe \(C^2\text{,}\) pelo Teorema de Clairaut-Schwarz as derivadas mistas se cancelam (\(\frac{\partial^2 x}{\partial u \partial v} = \frac{\partial^2 x}{\partial v \partial u}\)):
\begin{equation*} \oint_{\partial S} P \, dx = \iint_{D} \left( \frac{\partial P}{\partial u}\frac{\partial x}{\partial v} - \frac{\partial P}{\partial v}\frac{\partial x}{\partial u} \right) dA \end{equation*}
Expandindo \(\frac{\partial P}{\partial u}\) e \(\frac{\partial P}{\partial v}\) via Regra da Cadeia em três variáveis:
\begin{align*} \frac{\partial P}{\partial u} \amp = \frac{\partial P}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial P}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u} + \frac{\partial P}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial u}\\ \frac{\partial P}{\partial v} \amp = \frac{\partial P}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial P}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v} + \frac{\partial P}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial v} \end{align*}
Substituindo e simplificando (os termos em \(\frac{\partial P}{\partial x}\) anulam-se identicamente):
\begin{equation*} \oint_{\partial S} P \, dx = \iint_{D} \left[ -\frac{\partial P}{\partial y}\left(\frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v} - \frac{\partial y}{\partial u}\frac{\partial x}{\partial v}\right) + \frac{\partial P}{\partial z}\left(\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial x}{\partial v} - \frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial z}{\partial v}\right) \right] dA \end{equation*}
De maneira inteiramente análoga, obtêm-se as expressões para \(\oint_{\partial S} Q \, dy\) e \(\oint_{\partial S} R \, dz\text{.}\) Somando as três identidades, reagrupam-se exatamente os termos correspondentes às componentes de \(\text{rot}\,\vec{F} \cdot (\varphi_u \times \varphi_v)\text{,}\) demonstrando a igualdade fundamental:
\begin{equation*} \oint_{\partial S} \vec{F} \cdot d\vec{r} = \iint_{S} (\text{rot}\,\vec{F} \cdot \vec{N}) \, dS \end{equation*}

Nota 3.3.7. Teorema de Green como caso particular.

Quando a superfície \(S\) é uma região plana \(D\) contida no plano \(xy\text{,}\) o vetor normal unitário é \(\vec{N} = \vec{k} = (0,0,1)\text{.}\) Assim:
\begin{equation*} \text{rot}\,\vec{F} \cdot \vec{k} = \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \end{equation*}
e o Teorema de Stokes se reduz imediatamente a:
\begin{equation*} \oint_{\partial D} P \, dx + Q \, dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dA \end{equation*}
que é a fórmula clássica do Teorema de Green.

Subseção 3.3.3 Exemplos de Aplicação

Exemplo 3.3.8.

Calcule \(\oint_{C} \vec{F} \cdot d\vec{r}\text{,}\) onde o campo é dado por:
\begin{equation*} \vec{F}(x,y,z) = (yz + x^3)\vec{i} + (xyz + 3y^2)\vec{j} + (xy + 4)\vec{k} \end{equation*}
e \(C\) é a curva obtida pela interseção do cilindro \(x^2 + y^2 = 1\) com o plano \(x + y + z = 1\text{,}\) orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
Solução.
Poderíamos calcular a integral diretamente pela parametrização da elipse espacial \(C\text{,}\) mas o Teorema de Stokes simplifica o processo ao transformar a integral de linha em um fluxo sobre a superfície plana delimitada por \(C\text{.}\)
Tomamos como superfície \(S\) a porção do plano \(z = 1 - x - y\) cuja projeção no plano \(xy\) é o disco unitário \(D = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 \le 1\}\text{.}\) Parametrizando \(S\text{:}\)
\begin{equation*} \varphi(x,y) = (x, y, 1 - x - y), \quad (x,y) \in D \end{equation*}
O vetor normal associado é:
\begin{equation*} \frac{\partial \varphi}{\partial x} \times \frac{\partial \varphi}{\partial y} = (1, 0, -1) \times (0, 1, -1) = (1, 1, 1) \end{equation*}
que aponta para cima, concordando com o sentido anti-horário de \(C\text{.}\) O vetor unitário é \(\vec{N} = \frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)\text{.}\)
Calculando o rotacional de \(\vec{F}\text{:}\)
\begin{equation*} \text{rot}\,\vec{F} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ yz + x^3 & xyz + 3y^2 & xy + 4 \end{vmatrix} = (x - xy)\vec{i} + (y - y)\vec{j} + (yz - z)\vec{k} \end{equation*}
Logo, \(\text{rot}\,\vec{F} = (x - xy, 0, z(y - 1))\text{.}\)
Substituindo \(z = 1 - x - y\) e calculando o produto escalar com \((1,1,1)\text{:}\)
\begin{align*} \text{rot}\,\vec{F} \cdot (1,1,1) \amp = (x - xy) + 0 + (1 - x - y)(y - 1)\\ \amp = x - xy + (y - 1 - xy + x - y^2 + y)\\ \amp = 2x + 2y - 2xy - y^2 - 1 \end{align*}
Convertendo para coordenadas polares (\(x = r\cos\theta\text{,}\) \(y = r\sin\theta\text{,}\) \(0 \le r \le 1\text{,}\) \(0 \le \theta \le 2\pi\)):
\begin{align*} \oint_{C} \vec{F} \cdot d\vec{r} \amp = \iint_{D} (2x + 2y - 2xy - y^2 - 1) \, dA\\ \amp = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} (2r\cos\theta + 2r\sin\theta - 2r^2\sin\theta\cos\theta - r^2\sin^2\theta - 1) r \, dr \, d\theta \end{align*}
Integrando em \(\theta\) de \(0\) a \(2\pi\text{,}\) os termos com potências ímpares de seno e cosseno anulam-se (\(\int_0^{2\pi}\cos\theta\,d\theta = 0\text{,}\) \(\int_0^{2\pi}\sin\theta\,d\theta = 0\text{,}\) \(\int_0^{2\pi}\sin 2\theta\,d\theta = 0\)). Restam apenas:
\begin{align*} \int_{0}^{2\pi} \left[ -\frac{\sin^2\theta}{4} - \frac{1}{2} \right] d\theta \amp = -\frac{1}{4}\pi - \pi = -\frac{5\pi}{4} \end{align*}

Exemplo 3.3.9.

Calcule \(\iint_{S} \text{rot}\,\vec{F} \cdot d\vec{S}\text{,}\) onde o campo é dado por \(\vec{F}(x,y,z) = xz\vec{i} + yz\vec{j} + xy\vec{k}\) e \(S\) é a parte da esfera \(x^2 + y^2 + z^2 = 4\) situada no semi-espaço superior (\(z \ge 0\)) e no interior do cilindro \(x^2 + y^2 = 1\text{,}\) orientada com normal para cima.
Solução.
Pelo Teorema de Stokes, o fluxo do rotacional sobre a calota esférica \(S\) é igual à circulação de \(\vec{F}\) ao longo de seu bordo \(C = \partial S\text{:}\)
\begin{equation*} \iint_{S} \text{rot}\,\vec{F} \cdot d\vec{S} = \oint_{C} \vec{F} \cdot d\vec{r} \end{equation*}
O bordo \(C\) é a interseção da esfera com o cilindro:
\begin{equation*} \begin{cases} x^2 + y^2 + z^2 = 4 \\ x^2 + y^2 = 1 \end{cases} \implies 1 + z^2 = 4 \implies z^2 = 3 \implies z = \sqrt{3} \quad (z \ge 0) \end{equation*}
Trata-se de uma circunferência de raio \(1\) contida no plano horizontal \(z = \sqrt{3}\text{,}\) percorrida no sentido anti-horário.
Parametrizando a curva \(C\text{:}\)
\begin{equation*} C(t) = (\cos t, \sin t, \sqrt{3}), \quad 0 \le t \le 2\pi \end{equation*}
com vetor tangente:
\begin{equation*} C'(t) = (-\sin t, \cos t, 0) \end{equation*}
Avaliando o campo sobre \(C(t)\text{:}\)
\begin{equation*} \vec{F}(C(t)) = (\sqrt{3}\cos t, \sqrt{3}\sin t, \sin t\cos t) \end{equation*}
Calculando o produto escalar:
\begin{align*} \vec{F}(C(t)) \cdot C'(t) \amp = -\sqrt{3}\sin t\cos t + \sqrt{3}\sin t\cos t + 0 = 0 \end{align*}
Portanto:
\begin{equation*} \iint_{S} \text{rot}\,\vec{F} \cdot d\vec{S} = \int_{0}^{2\pi} 0 \, dt = 0 \end{equation*}

Exemplo 3.3.10.

Calcule a integral de linha \(\int_{C} \vec{F} \cdot d\vec{r}\text{,}\) onde \(\vec{F}(x,y,z) = (z^2, xz, 2xy)\) e \(C\) é a curva obtida pela interseção do cilindro parabólico \(z = 1 - y^2\) (\(z \ge 0\)) com o plano \(2x + 3z = 6\text{,}\) orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
Solução.
A curva \(C\) não é fechada: ela inicia e termina no plano de apoio \(z = 0\text{,}\) onde \(y = \pm 1\) e \(x = 3\text{.}\) Para aplicar o Teorema de Stokes, consideramos o segmento retilíneo de fechamento \(C_1\) contido no plano \(xy\text{:}\)
\begin{equation*} C_1(t) = (3, t, 0), \quad -1 \le t \le 1 \end{equation*}
de tal forma que a curva composta \(\gamma = C \cup (-C_1)\) delimita uma superfície plana \(S\) contida no plano \(2x + 3z = 6 \implies z = 2 - \frac{2}{3}x\text{.}\)
A projeção de \(S\) no plano \(xy\) é a região \(D\) delimitada pelas equações:
\begin{equation*} 1 - y^2 = 2 - \frac{2}{3}x \implies x = \frac{3}{2}(1 + y^2) = \frac{3}{2} + \frac{3}{2}y^2 \end{equation*}
com \(-1 \le y \le 1\) e \(\frac{3}{2} + \frac{3}{2}y^2 \le x \le 3\text{.}\)
Calculando o rotacional do campo:
\begin{equation*} \text{rot}\,\vec{F} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ z^2 & xz & 2xy \end{vmatrix} = (2x - x)\vec{i} + (2z - 2y)\vec{j} + (z - 0)\vec{k} = (x, 2z - 2y, z) \end{equation*}
Parametrizando a superfície por \(\varphi(x,y) = \left(x, y, 2 - \frac{2}{3}x\right)\text{,}\) o vetor normal apontando para cima é:
\begin{equation*} \frac{\partial \varphi}{\partial x} \times \frac{\partial \varphi}{\partial y} = \left(\frac{2}{3}, 0, 1\right) \end{equation*}
Pelo Teorema de Stokes aplicado à curva fechada \(\gamma = C \cup (-C_1)\text{:}\)
\begin{align*} \oint_{\gamma} \vec{F} \cdot d\vec{r} \amp = \iint_{D} (x, 2z - 2y, z) \cdot \left(\frac{2}{3}, 0, 1\right) dA\\ \amp = \iint_{D} \left(\frac{2}{3}x + z\right) dA = \iint_{D} \left(\frac{2}{3}x + 2 - \frac{2}{3}x\right) dA\\ \amp = 2 \iint_{D} 1 \, dA = 2 \cdot \text{área}(D) \end{align*}
A integral sobre o segmento \(C_1\) (onde \(z = 0\) e \(dz = 0\text{,}\) com \(x = 3\) constante e \(dx = 0\)) resulta em:
\begin{equation*} \int_{C_1} \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_{C_1} z^2\,dx + xz\,dy + 2xy\,dz = 0 \end{equation*}
Logo, \(\int_{C} \vec{F} \cdot d\vec{r} = \oint_{\gamma} \vec{F} \cdot d\vec{r}\text{,}\) permitindo obter o valor diretamente pela área plana.
<Anterior^TopPróximo>
Feito com PreTeXt
Powered by Runestone