UFRPE-DM Campos Vetoriais

Seção 1.3 Campos Vetoriais

Subseção 1.3.1 Campos Vetoriais

Nota 1.3.1.

Considere \(F: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2\) dada por \(F(u,v) = (x,y)\text{.}\)

Em muitas aplicações é conveniente interpretar \(F(u,v)\) como um vetor em \(\mathbb{R}^2\text{.}\) Nestes casos, estamos lidando com um campo de vetores ou campo vetorial em \(\mathbb{R}^2\text{.}\)

Plano cartesiano com coordenadas u e v. Do ponto (u,v) parte um vetor apontando numa direção arbitrária, denotado por F(u,v). — Figura 1.3.2. Mapeamento de campo vetorial

Definição 1.3.3.

Seja \(D\) um conjunto em \(\mathbb{R}^2\) (uma região plana). Um campo vetorial em \(\mathbb{R}^2\) é uma função \(F\) que associa a cada ponto \((x, y)\) em \(D\) um vetor bidimensional \(\vec{F}(x,y)\text{.}\)

De maneira geral, vamos escrever:

\begin{equation*} F(x,y) = P(x,y)\vec{i} + Q(x,y)\vec{j} \end{equation*}

para expressarmos o campo vetorial \(F\text{.}\)

\(P(x,y)\) e \(Q(x,y)\) são funções de duas variáveis denominadas funções componentes do campo.
Representamos graficamente um campo \(F\) desenhando o vetor \(\vec{F}(x,y)\) sobre o ponto \((x,y)\text{.}\)

Exemplo 1.3.4.

Considere \(\vec{F}(x,y) = x\vec{i} + y\vec{j}\text{.}\)

Temos \(\vec{F}(1,0) = 1\vec{i} + 0\vec{j} = \vec{i} = \langle 1,0 \rangle\text{.}\) \(\vec{F}(0,1) = 0\vec{i} + 1\vec{j} = \vec{j} = \langle 0,1 \rangle\text{.}\) \(\vec{F}(x,y) = \langle x,y \rangle\text{.}\)

Notamos que o vetor \(\vec{F}(x,y)\) é o mesmo vetor posição do ponto \((x,y)\text{.}\)

Note que \(||\vec{F}(x,y)|| = \sqrt{x^2+y^2} = ||(x,y)||\text{.}\)

O plano cartesiano mostrando diversos vetores partindo de pontos sobre circunferências concêntricas, todos apontando radialmente para fora da origem. O comprimento dos vetores cresce à medida que se afastam da origem. — Figura 1.3.5. Campo vetorial radial

Exemplo 1.3.6.

Considere \(\vec{F}: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2\) dado por \(\vec{F}(x,y) = -y\vec{i} + x\vec{j}\text{.}\)

Note que se \(\vec{v} = (x,y)\text{,}\) então vale que:

\begin{equation*} \vec{v} \cdot \vec{F} = (x,y) \cdot (-y,x) = -xy + yx = 0 \end{equation*}

isto é, \(\vec{v}\) e \(\vec{F}\) são ortogonais para todo \(\vec{v} = (x,y)\text{.}\)

Note ainda que:

\begin{equation*} ||\vec{F}(x,y)|| = \sqrt{(-y)^2 + x^2} = \sqrt{x^2 + y^2} = ||\vec{v}|| \end{equation*}

Esboço do campo vetorial F(x,y) = -yi + xj. Mostra vetores dispostos em círculos concêntricos em torno da origem. Cada vetor aponta numa direção perpendicular ao vetor de posição do seu ponto de base, sugerindo um movimento de rotação no sentido anti-horário. — Figura 1.3.7. Campo vetorial de rotação \(\vec{F}(x,y) = -y\vec{i} + x\vec{j}\)

Definição 1.3.8.

Seja \(E\) um subconjunto de \(\mathbb{R}^3\text{.}\) Um campo vetorial em \(\mathbb{R}^3\) é uma função \(\vec{F}\) que associa a cada ponto \((x, y, z)\) em \(E\) um vetor tridimensional \(\vec{F}(x,y,z)\text{.}\)

Neste caso escrevemos:

\begin{equation*} \vec{F}(x,y,z) = P(x,y,z)\vec{i} + Q(x,y,z)\vec{j} + R(x,y,z)\vec{k} \end{equation*}

Diremos que o campo \(F\) é contínuo quando todas as funções componentes forem funções contínuas.

Exemplo 1.3.9.

Esboce o campo vetorial em \(\mathbb{R}^3\) dado por \(\vec{F}(x,y,z) = z\vec{k}\text{.}\)

Solução.

A solução está mostrada na Figura. Observe que todos os vetores são verticais, apontando para cima, quando acima do plano \(xy\) ou para baixo, quando abaixo do plano \(xy\text{.}\) O comprimento aumenta à medida que nos distanciamos do plano \(xy\text{.}\)

Gráfico 3D mostrando vetores alinhados apenas ao longo da direção z. Vetores acima do plano xy apontam para cima e seus comprimentos crescem à medida que z aumenta. Vetores abaixo do plano xy apontam para baixo e crescem proporcionalmente em sentido negativo. — Figura 1.3.10. Campo vetorial \(\vec{F}(x,y,z) = z\vec{k}\)

Tecnologia 1.3.11.

Somos capazes de desenhar o campo vetorial do Exemplo 1.3.9 à mão, pois ele é especialmente simples. A maioria dos campos vetoriais tridimensionais, no entanto, são virtualmente impossíveis de serem desenhados à mão e, por isso, precisamos recorrer a um sistema de computação algébrica. (Ver Figura abaixo para campos como \(y\vec{i} + z\vec{j} + x\vec{k}\) e \(y\vec{i} - 2\vec{j} + x\vec{k}\)).

Exemplo 1.3.12.

Seja \(\vec{F} = \nabla f\text{,}\) onde \(f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2\text{.}\) Desenhe \(\vec{F}(x,y,z)\text{,}\) com \(x^2+y^2+z^2=1\text{.}\)

Solução.

Lembremos que \(\nabla f(x,y,z) = \frac{\partial f}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\vec{j} + \frac{\partial f}{\partial z}\vec{k}\text{.}\)

Assim, \(\vec{F}(x,y,z) = 2x\vec{i} + 2y\vec{j} + 2z\vec{k}\text{.}\)

Temos \(||\vec{F}(x,y,z)|| = \sqrt{4x^2 + 4y^2 + 4z^2}\text{.}\) Isto é,

\begin{equation*} ||\vec{F}(x,y,z)|| = 2\sqrt{x^2+y^2+z^2} = 2||(x,y,z)|| \end{equation*}

Assim, vemos que o vetor \(\vec{F}(x,y,z)\) tem duas vezes o comprimento do vetor \((x,y,z)\text{.}\)

Como queremos o campo \(F\) restrito aos pontos \((x,y,z)\) tais que \(x^2+y^2+z^2=1\text{,}\) ou seja, esses pontos estão numa esfera de raio 1, então os vetores \(\vec{F}(x,y,z)\) estarão saindo da esfera, mas com tamanho 2.

Uma esfera definida por x^2+y^2+z^2=1. Diversos vetores normais a ela (radiais) são mostrados projetando-se para fora a partir da superfície. Os vetores possuem comprimentos que são o dobro do raio da esfera. — Figura 1.3.13. Campo Gradiente na Esfera \(x^2+y^2+z^2=1\)

Definição 1.3.14.

No exemplo acima, \(\vec{F} = \nabla f\) é o que chamamos de campo vetorial gradiente.

De maneira geral, se \(f: D \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}\text{,}\) então

\begin{equation*} \nabla f(x_1, \dots, x_n) = \left( \frac{\partial f}{\partial x_1}(x_1, \dots, x_n), \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(x_1, \dots, x_n) \right) \end{equation*}

é um campo vetorial gradiente de \(f\text{.}\)

Exemplo 1.3.15.

Considere \(f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) dado por \(f(x,y) = x^2 + y^2\text{.}\)

O campo gradiente de \(f\) é:

\begin{equation*} \nabla f(x,y) = 2x\vec{i} + 2y\vec{j} \end{equation*}

Logo, vemos que para cada ponto \((x,y)\) do plano, o campo gradiente associa um vetor que tem a mesma direção e mesmo sentido do vetor posição \((x,y)\text{,}\) porém com um tamanho 2 vezes maior.

Subseção 1.3.2 Campos Conservativos

Definição 1.3.16.

Dizemos que um campo \(\vec{F}: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n\) é conservativo quando existe uma função \(\varphi: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}\) (campo escalar) tal que \(\nabla \varphi = \vec{F}\text{.}\)

A função \(\varphi\) é chamada de função potencial de \(\vec{F}\text{.}\)

Exemplo 1.3.17.

Considere o campo \(\vec{F}(x,y) = \frac{x}{x^2+y^2}\vec{i} + \frac{y}{x^2+y^2}\vec{j}\text{,}\) \((x,y) \neq (0,0)\text{.}\) Verifique se \(\vec{F}\) é conservativo.

Solução.

Note que se \(\varphi: \mathbb{R}^2 - \{(0,0)\} \rightarrow \mathbb{R}\) é \(\varphi(x,y) = \frac{1}{2} \ln(x^2+y^2)\text{,}\) então:

\begin{align*} \nabla \varphi(x,y) \amp = \left( \frac{\partial \varphi}{\partial x}, \frac{\partial \varphi}{\partial y} \right)\\ \amp = \left( \frac{1}{2}\frac{2x}{x^2+y^2}, \frac{1}{2}\frac{2y}{x^2+y^2} \right)\\ \amp = \left( \frac{x}{x^2+y^2}, \frac{y}{x^2+y^2} \right)\\ \amp = \vec{F}(x,y) \end{align*}

Portanto, \(F\) é conservativo.

Exemplo 1.3.18.

Considere \(\vec{F}(x,y) = (3+2xy)\vec{i} + (x^2-3y^2)\vec{j}\text{.}\)

Suponha que \(\vec{F}\) é conservativo. Encontre \(f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) tal que \(\nabla f(x,y) = \vec{F}(x,y)\text{,}\) isto é, encontre uma função potencial para \(\vec{F}\text{.}\)

Solução.

Queremos que:

(1) \(\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) = 3+2xy\)

(2) \(\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y) = x^2-3y^2\)

Integrando (1) em relação a \(x\text{,}\) temos:

\begin{equation*} \int \frac{\partial}{\partial x} f(x,y) dx = \int (3+2xy) dx \end{equation*}

\begin{equation*} f(x,y) = 3x + 2\frac{x^2}{2}y + C(y) \end{equation*}

\begin{equation*} f(x,y) = 3x + x^2y + C(y) \quad (3) \end{equation*}

(com \(C(y)\text{,}\) pois em relação a \(x\text{,}\) \(y\) é constante).

Derivando (3) em relação a \(y\text{,}\) temos:

\begin{equation*} \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = x^2 + \frac{d C(y)}{dy} \quad (4) \end{equation*}

Comparando (4) com (2), devemos ter:

\begin{equation*} \frac{d C(y)}{dy} = -3y^2 \end{equation*}

Integrando em \(y\text{,}\) temos:

\begin{equation*} C(y) = -y^3 + K \end{equation*}

Daí \(f(x,y) = 3x + x^2y - y^3 + K\text{,}\) \(K \in \mathbb{R}\text{.}\)

Exemplo 1.3.19.

Se \(F(x,y,z) = y^2\vec{i} + (2xy+e^{3z})\vec{j} + 3ye^{3z}\vec{k}\text{,}\) encontre uma função \(f\) tal que \(\nabla f = F\text{.}\)

Solução.

Solução: Se existe tal função \(f\text{,}\) então:

(11) \(f_x(x,y,z) = y^2\)

(12) \(f_y(x,y,z) = 2xy+e^{3z}\)

(13) \(f_z(x,y,z) = 3ye^{3z}\)

Integrando (11) em relação a \(x\text{,}\) obtemos:

\begin{equation*} (14) \quad f(x,y,z) = xy^2 + g(y,z) \end{equation*}

onde \(g(y,z)\) é uma constante em relação a \(x\text{.}\) Em seguida, derivando (14) em relação a \(y\text{,}\) temos:

\begin{equation*} f_y(x,y,z) = 2xy + g_y(y,z) \end{equation*}

e comparando com (12) vem \(g_y(y,z) = e^{3z}\text{.}\)

Então \(g(y,z) = ye^{3z} + h(z)\) e reescrevemos (14) como:

\begin{equation*} f(x,y,z) = xy^2 + ye^{3z} + h(z) \end{equation*}

Finalmente, derivando em relação a \(z\) e comparando com (13), obtemos \(h'(z) = 0\) e portanto \(h(z) = K\text{,}\) uma constante. A função desejada é:

\begin{equation*} f(x,y,z) = xy^2 + ye^{3z} + K \end{equation*}

É fácil verificar que \(\nabla f = F\text{.}\)

Obs: Não estabelecemos ainda um critério para identificar se um campo em \(\mathbb{R}^3\) é conservativo, mas para achar uma função potencial, vemos que o procedimento é o mesmo que em \(\mathbb{R}^2\text{.}\)

Exercícios 1.3.3 Exercícios

1.

Esboce o campo vetorial \(\vec{F}\text{:}\)

\(\displaystyle \vec{F}(x,y) = \frac{x}{2}\vec{i} + y\vec{j}\)
\(\displaystyle \vec{F}(x,y) = \frac{y\vec{i} - x\vec{j}}{\sqrt{x^2+y^2}}\)
\(\displaystyle \vec{F}(x,y,z) = -\vec{i} + \vec{j}\)
\(\displaystyle \vec{F}(x,y,z) = x\vec{k}\)

2.

Determine o campo gradiente de \(f\text{:}\)

\(\displaystyle f(x,y) = x^2 - y\)
\(\displaystyle f(x,y,z) = \frac{z}{x} - \frac{64}{y} + xyz\)
\(\displaystyle f(x,y) = x e^{xy}\)
\(\displaystyle f(x,y,z) = x \cos\left(\frac{y}{z}\right)\)

3.

Determine uma função potencial para cada campo conservativo abaixo:

\(\displaystyle \vec{F}(x,y) = (2xy^2 - y^3, 2x^2y - 3xy^2 + 2)\)
\(\displaystyle \vec{F}(x,y,z) = (e^{y+2z})\vec{i} + (x e^{y+2z})\vec{j} + (2x e^{y+2z})\vec{k}\)
\(\displaystyle \vec{F}(x,y) = (3x^2y + \cos x)\vec{i} + (x^3 - 2y)\vec{j}\)
\(\displaystyle \vec{F}(x,y) = (ye^x + 2xy^3, e^x + 3x^2y^2)\)
\(\displaystyle \vec{F}(x,y,z) = (2xyz^3)\vec{i} + (x^2z^3 - z\sin y)\vec{j} + (3x^2yz^2 + \cos y)\vec{k}\)
\(\displaystyle \vec{F}(x,y,z) = (y^2z + z\cos(xz))\vec{i} + (2xyz + 2)\vec{j} + (xy^2 + x\cos(xz))\vec{k}\)

Cálculo M V: notas de aula

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Seção 1.3 Campos Vetoriais

Subseção 1.3.1 Campos Vetoriais

Nota 1.3.1.

Definição 1.3.3.

Exemplo 1.3.4.

Exemplo 1.3.6.

Definição 1.3.8.

Exemplo 1.3.9.

Tecnologia 1.3.11.

Exemplo 1.3.12.

Definição 1.3.14.

Exemplo 1.3.15.

Subseção 1.3.2 Campos Conservativos

Definição 1.3.16.

Exemplo 1.3.17.

Exemplo 1.3.18.

Exemplo 1.3.19.

Exercícios 1.3.3 Exercícios

1.

2.

3.