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Cálculo M V: notas de aula

Eberson Ferreira da Silva, Ricardo Nunes Machado Junior

Seção 2.2 Integrais de Linha de Campos Vetoriais

Considere \(\vec{F}\) um campo vetorial contínuo em \(\mathbb{R}^3\) e \(\gamma: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}^3\) uma curva suave.
Caso Particular: Se \(\gamma\) for um segmento de reta e \(\vec{F}\) for um campo vetorial constante, definimos a integral de linha de \(\vec{F}\) sobre \(\gamma\) como o produto interno:
\begin{equation*} \vec{F} \cdot [\gamma(b) - \gamma(a)] \end{equation*}
Caso Geral: Seja \(\gamma\) uma curva qualquer e \(\vec{F}\) um campo vetorial contínuo qualquer. Seja \(\gamma(t)\) uma parametrization de \(\gamma\) e divida o intervalo \([a,b]\) em \(n\) subintervalos \([t_{i-1}, t_i]\text{,}\) \(i = 1, \dots, n\text{,}\) todos de comprimento \(\Delta t_i = t_i - t_{i-1} = \frac{b-a}{n}\text{.}\)
Gráfico de uma curva gamma particionada por pontos gamma(t_0), gamma(t_i-1), gamma(t_i), gamma(t_n) ao longo do intervalo [a,b], mostrando os secantes conectando os pontos da curva.
Figura 2.2.1. Aproximação da curva \(\gamma\) por segmentos de reta
Cada subintervalo \([t_{i-1}, t_i]\) determina um segmento de reta com extremidades \(\gamma(t_{i-1})\) e \(\gamma(t_i)\) em \(\gamma\text{.}\) Ou seja, a curva \(\gamma\) pode ser aproximada pela união desses segmentos.
Assim, seria natural dizer que uma aproximação para a integral de linha de \(\vec{F}\) sobre \(\gamma\) é dada pela soma:
\begin{equation*} \sum_{i=1}^{n} \vec{F}(\gamma(t_i)) \cdot [\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1})] \end{equation*}
Aplicando o Teorema do Valor Médio, existe \(t_i^* \in [t_{i-1}, t_i]\) tal que:
\begin{equation*} \gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1}) \approx \gamma'(t_i^*) \Delta t_i \end{equation*}
Assim, a aproximação pode ser reescrita como:
\begin{equation*} \sum_{i=1}^{n} \vec{F}(\gamma(t_i^*)) \cdot \gamma'(t_i^*) \Delta t_i \end{equation*}
A aproximação de \(\gamma\) por segmentos melhora quando aumentamos a quantidade de segmentos (isto é, quando dividimos \([a,b]\) em mais subintervalos).

Definição 2.2.2.

Definimos a integral de linha do campo \(\vec{F}\) sobre a curva \(\gamma\) por:
\begin{equation*} \int_{\gamma} \vec{F} \cdot d\gamma = \lim_{n \to +\infty} \sum_{i=1}^{n} \vec{F}(\gamma(t_i^*)) \cdot \gamma'(t_i^*) \Delta t_i \end{equation*}
desde que o limite exista. É possível provar que:
\begin{equation*} \int_{\gamma} \vec{F} \cdot d\gamma = \int_{a}^{b} \vec{F}(\gamma(t)) \cdot \gamma'(t) \, dt \end{equation*}

Nota 2.2.3.

Observação sobre notação: É comum encontrarmos nos livros a notação \(\int_{\gamma} \vec{F} \cdot d\vec{r}\text{,}\) onde \(\vec{r}(t) = \gamma(t)\text{.}\)

Exemplo 2.2.4.

Considere \(\vec{F}(x,y,z) = x\vec{i} + y^2\vec{j} - xy\vec{k}\) e \(\gamma: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^3\) dada por \(\gamma(t) = (t, t^2, t^3)\text{.}\) Encontre \(\int_{\gamma} \vec{F} \cdot d\vec{r}\text{.}\)
Solução.
Temos \(\gamma(t) = (t, t^2, t^3) \implies x = t\text{,}\) \(y = t^2\) e \(z = t^3\text{.}\)
Substituindo na expressão do campo:
\begin{equation*} \vec{F}(\gamma(t)) = t\vec{i} + (t^2)^2\vec{j} - t(t^2)\vec{k} = t\vec{i} + t^4\vec{j} - t^3\vec{k} \end{equation*}
Calculando o vetor tangente:
\begin{equation*} \gamma'(t) = (1, 2t, 3t^2) = 1\vec{i} + 2t\vec{j} + 3t^2\vec{k} \end{equation*}
Efetuando o produto interno:
\begin{equation*} \vec{F}(\gamma(t)) \cdot \gamma'(t) = t(1) + t^2(2t) + (-t^3)(3t^2) = t + 2t^3 - 3t^5 \end{equation*}
Assim:
\begin{align*} \int_{\gamma} \vec{F} \cdot d\gamma \amp = \int_{0}^{1} (t + 2t^3 - 3t^5) \, dt\\ \amp = \left.\left( \frac{t^2}{2} + 2 \frac{t^4}{4} - 3 \frac{t^6}{6} \right)\right|_{0}^{1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \end{align*}

Exemplo 2.2.5.

Considere \(\vec{F}(x,y) = (3y, 7x)\) e \(C\) a curva que é a parte da circunferência \(x^2 + y^2 = 4\) situada no primeiro quadrante, orientada no sentido anti-horário. Encontre \(\int_{C} \vec{F} \cdot d\vec{r}\text{.}\)
Arco do círculo de raio 2 no primeiro quadrante de (2,0) a (0,2) orientado no sentido anti-horário.
Figura 2.2.6. Arco de circunferência no primeiro quadrante
Solução.
Precisamos parametrizar \(C\text{.}\) Uma parametrização possível é:
\begin{equation*} C(t) = (2\cos t, 2\text{sen } t), \quad 0 \le t \le \frac{\pi}{2} \end{equation*}
Note que \(x(t) = 2\cos t\) e \(y(t) = 2\text{sen } t\) satisfazem \(x^2(t) + y^2(t) = 4\text{.}\)
Substituindo no campo e calculando a derivada:
\begin{align*} \vec{F}(C(t)) \amp = (3(2\text{sen } t), 7(2\cos t)) = (6\text{sen } t, 14\cos t)\\ C'(t) \amp = (-2\text{sen } t, 2\cos t) \end{align*}
Daí:
\begin{equation*} \vec{F}(C(t)) \cdot C'(t) = -12\text{sen}^2 t + 28\cos^2 t \end{equation*}
Logo:
\begin{align*} \int_{C} \vec{F} \cdot d\vec{r} \amp = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (-12\text{sen}^2 t + 28\cos^2 t) \, dt\\ \amp = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} [12(\cos^2 t - \text{sen}^2 t) + 16\cos^2 t] \, dt\\ \amp = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left[ 12\cos(2t) + 16\left(\frac{1 + \cos(2t)}{2}\right) \right] \, dt\\ \amp = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (12\cos(2t) + 8 + 8\cos(2t)) \, dt\\ \amp = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (20\cos(2t) + 8) \, dt\\ \amp = \left.\left( 20 \frac{\text{sen}(2t)}{2} + 8t \right)\right|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 10\text{sen}(\pi) + 8\left(\frac{\pi}{2}\right) - 0 = 4\pi \end{align*}

Subseção 2.2.1 Notação em Componentes (Forma Diferencial)

Considere \(\vec{F}(x,y) = P(x,y)\vec{i} + Q(x,y)\vec{j}\) contínuo e \(C: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}^2\) uma curva suave parametrizada por \(C(t) = (x(t), y(t))\text{.}\) Temos:
\begin{align*} \int_C \vec{F} \cdot d\vec{r} \amp = \int_{a}^{b} \vec{F}(C(t)) \cdot C'(t) \, dt\\ \amp = \int_{a}^{b} \vec{F}(x(t), y(t)) \cdot (x'(t), y'(t)) \, dt\\ \amp = \int_{a}^{b} [P(x(t),y(t))\vec{i} + Q(x(t),y(t))\vec{j}] \cdot [x'(t)\vec{i} + y'(t)\vec{j}] \, dt\\ \amp = \int_{a}^{b} (P(x(t),y(t))x'(t) + Q(x(t),y(t))y'(t)) \, dt \end{align*}
Isso sugere uma nova notação em termos das formas diferenciais para \(\int_C \vec{F} \cdot d\vec{r}\text{:}\)
\begin{equation*} \int_C \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_C P(x,y) \, dx + Q(x,y) \, dy \end{equation*}
(pois \(\frac{dx}{dt} = x'(t) \implies dx = x'(t) \, dt\)).
O mesmo vale para um campo em \(\mathbb{R}^3\text{:}\)
\begin{equation*} \int_{\gamma} P(x,y,z) \, dx + Q(x,y,z) \, dy + R(x,y,z) \, dz \end{equation*}
indica a integral de linha do campo \(\vec{F}(x,y,z) = P\vec{i} + Q\vec{j} + R\vec{k}\) sobre a curva \(\gamma: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}^3\text{.}\)

Exemplo 2.2.7.

Calcule \(\int_C xy \, dx + yz \, dy + zx \, dz\text{,}\) onde \(C(t) = (t, t^2, t^3)\text{,}\) \(0 \le t \le 1\text{.}\)
Solução.
Temos \(x = t\text{,}\) \(y = t^2\) e \(z = t^3\text{.}\) Logo:
\begin{equation*} dx = 1 \, dt, \quad dy = 2t \, dt, \quad dz = 3t^2 \, dt \end{equation*}
Daí:
\begin{align*} \int_C xy \, dx + yz \, dy + zx \, dz \amp = \int_{0}^{1} (t \cdot t^2 \cdot 1 \, dt + t^2 \cdot t^3 \cdot 2t \, dt + t^3 \cdot t \cdot 3t^2 \, dt)\\ \amp = \int_{0}^{1} (t^3 + 2t^6 + 3t^6) \, dt = \int_{0}^{1} (t^3 + 5t^6) \, dt\\ \amp = \left.\left( \frac{t^4}{4} + 5 \frac{t^7}{7} \right)\right|_{0}^{1} = \frac{1}{4} + \frac{5}{7} = \frac{27}{28} \end{align*}

Exemplo 2.2.8.

Calcule \(\int_{\gamma} -y \, dx + x \, dy\text{,}\) onde \(\gamma: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}^2\) é uma curva suave cuja imagem é a elipse \(\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1\text{,}\) percorrida no sentido anti-horário.
Solução.
Uma parametrização da elipse no sentido anti-horário é \(\gamma: [0, 2\pi] \rightarrow \mathbb{R}^2\) dada por \(\gamma(t) = (2\cos t, 3\text{sen } t)\text{.}\)
Daí, \(x = 2\cos t \implies dx = -2\text{sen } t \, dt\) e \(y = 3\text{sen } t \implies dy = 3\cos t \, dt\text{.}\)
Logo:
\begin{align*} \int_{\gamma} -y \, dx + x \, dy \amp = \int_{0}^{2\pi} [-3\text{sen } t (-2\text{sen } t \, dt) + 2\cos t (3\cos t \, dt)]\\ \amp = \int_{0}^{2\pi} (6\text{sen}^2 t + 6\cos^2 t) \, dt = \int_{0}^{2\pi} 6(\text{sen}^2 t + \cos^2 t) \, dt\\ \amp = \int_{0}^{2\pi} 6 \, dt = \left. 6t \right|_{0}^{2\pi} = 12\pi \end{align*}
E se considerássemos a mesma curva com orientação contrária? Seja \(\beta(t) = (2\text{sen } t, 3\cos t)\text{,}\) \(t \in [0, 2\pi]\text{,}\) que descreve a mesma elipse no sentido horário.
Temos \(x = 2\text{sen } t \implies dx = 2\cos t \, dt\) e \(y = 3\cos t \implies dy = -3\text{sen } t \, dt\text{.}\)
Calculando a integral sobre \(\beta\text{:}\)
\begin{align*} \int_{\beta} -y \, dx + x \, dy \amp = \int_{0}^{2\pi} [-3\cos t (2\cos t \, dt) + 2\text{sen } t (-3\text{sen } t \, dt)]\\ \amp = \int_{0}^{2\pi} -6(\cos^2 t + \text{sen}^2 t) \, dt = -12\pi \end{align*}
Notamos então que para \(\vec{F} = -y\vec{i} + x\vec{j}\text{:}\)
\begin{equation*} \int_{\gamma} \vec{F} \cdot d\vec{r} = -\int_{\beta} \vec{F} \cdot d\vec{r} \end{equation*}

Subseção 2.2.2 Integral de Linha sobre uma Curva Suave por Partes

Dizemos que uma curva \(\gamma: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}^n\) (\(n=2,3\)) é **suave por partes** (ou de classe \(C^1\) por partes) quando podemos particionar \([a,b]\) em subintervalos \([t_{i-1}, t_i]\text{,}\) \(i = 1, \dots, k\text{,}\) tais que cada restrição \(\gamma_i: [t_{i-1}, t_i] \rightarrow \mathbb{R}^n\) é suave.
Esboço de uma curva contínua composta por quatro arcos suaves contínuos unidos por vértices.
Figura 2.2.10. Curva suave por partes composta por subcurvas \(\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4\)
A integral de um campo contínuo \(\vec{F}\) sobre uma curva suave por partes \(\gamma = \gamma_1 \cup \gamma_2 \cup \dots \cup \gamma_k\) é a soma das integrais sobre cada trecho suave:
\begin{equation*} \int_{\gamma} \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_{\gamma_1} \vec{F} \cdot d\vec{r} + \int_{\gamma_2} \vec{F} \cdot d\vec{r} + \dots + \int_{\gamma_k} \vec{F} \cdot d\vec{r} \end{equation*}

Exemplo 2.2.11.

Calcule \(\int_{\gamma} -y \, dx + x \, dy\text{,}\) onde \(\gamma\) é uma curva cuja imagem é a fronteira do triângulo de vértices \((0,0)\text{,}\) \((1,0)\) e \((1,1)\text{,}\) orientada no sentido anti-horário.
Triângulo no plano cartesiano com caminho orientado de (0,0) a (1,0) como gamma_1, de (1,0) a (1,1) como gamma_2, e de (1,1) a (0,0) como gamma_3.
Figura 2.2.12. Triângulo com vértices (0,0), (1,0) e (1,1) orientado no sentido anti-horário
Solução.
Precisamos parametrizar as três etapas do caminho (segmentos de reta):
  • \(\gamma_1\) (de \((0,0)\) a \((1,0)\)): \(x = t, y = 0\) para \(0 \le t \le 1\) \(\implies dx = 1\,dt, dy = 0\,dt\text{.}\)
  • \(\gamma_2\) (de \((1,0)\) a \((1,1)\)): \(x = 1, y = t\) para \(0 \le t \le 1\) \(\implies dx = 0\,dt, dy = 1\,dt\text{.}\)
  • \(\gamma_3\) (de \((1,1)\) a \((0,0)\)): \(x = 1 - t, y = 1 - t\) para \(0 \le t \le 1\) \(\implies dx = -1\,dt, dy = -1\,dt\text{.}\)
Assim, \(\int_{\gamma} \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_{\gamma_1} \vec{F} \cdot d\vec{r} + \int_{\gamma_2} \vec{F} \cdot d\vec{r} + \int_{\gamma_3} \vec{F} \cdot d\vec{r}\text{.}\)
1. Sobre \(\gamma_1\text{:}\)
\begin{equation*} \int_{\gamma_1} \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_{0}^{1} [-0(1\,dt) + t(0\,dt)] = 0 \end{equation*}
2. Sobre \(\gamma_2\text{:}\)
\begin{equation*} \int_{\gamma_2} \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_{0}^{1} [-t(0\,dt) + 1(1\,dt)] = \int_{0}^{1} 1 \, dt = 1 \end{equation*}
3. Sobre \(\gamma_3\text{:}\)
\begin{align*} \int_{\gamma_3} \vec{F} \cdot d\vec{r} =\amp \int_{0}^{1} [-(1-t)(-1\,dt) + (1-t)(-1\,dt)] \\ =\amp \int_{0}^{1} [(1-t) - (1-t)] \, dt\\ =\amp 0 \end{align*}
Daí:
\begin{equation*} \int_{\gamma} \vec{F} \cdot d\vec{r} = 0 + 1 + 0 = 1 \end{equation*}

Exemplo 2.2.13.

Considere \(C\) a fronteira do quadrado no plano \(xy\) de vértices \((0,0)\text{,}\) \((1,0)\text{,}\) \((1,1)\) e \((0,1)\text{,}\) orientada no sentido anti-horário. Calcule a integral de linha:
\begin{equation*} \int_{C} x^2 \, dx + xy \, dy \end{equation*}
Quadrado no plano xy formado pelos quatro trechos orientados C_1, C_2, C_3 e C_4.
Figura 2.2.14. Quadrado unitário com vértices (0,0), (1,0), (1,1) e (0,1) orientado no sentido anti-horário
Solução.
A curva \(C\) é decomposta em quatro segmentos de reta parametrizados como se segue:
  • \(C_1: \sigma_1(t) = (t, 0)\text{,}\) \(0 \le t \le 1\text{.}\)
  • \(C_2: \sigma_2(t) = (1, t)\text{,}\) \(0 \le t \le 1\text{.}\)
  • \(C_3: \sigma_3(t) = (-t, 1)\text{,}\) \(-1 \le t \le 0\text{.}\)
  • \(C_4: \sigma_4(t) = (0, -t)\text{,}\) \(-1 \le t \le 0\text{.}\)
Calculando a integral para cada trecho:
\begin{align*} \int_{C_1} x^2 \, dx + xy \, dy \amp = \int_{0}^{1} t^2 \, dt = \left.\frac{t^3}{3}\right|_{0}^{1} = \frac{1}{3}\\ \int_{C_2} x^2 \, dx + xy \, dy \amp = \int_{0}^{1} (1 \cdot t) \, dt = \left.\frac{t^2}{2}\right|_{0}^{1} = \frac{1}{2}\\ \int_{C_3} x^2 \, dx + xy \, dy \amp = \int_{-1}^{0} (-t)^2 (-1 \, dt) = \int_{-1}^{0} -t^2 \, dt = -\frac{1}{3}\\ \int_{C_4} x^2 \, dx + xy \, dy \amp = \int_{-1}^{0} 0 \, dt = 0 \end{align*}
Logo:
\begin{equation*} \int_{C} x^2 \, dx + xy \, dy = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + 0 = \frac{1}{2} \end{equation*}
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