Ou seja, o limite de uma função vetorial existe quando \(t \rightarrow a\) se e somente se os limites em cada função coordenada existe quando \(t \rightarrow a\text{.}\)
Uma função \(F\) é contínua em \(t_0 \in D \subseteq \mathbb{R}\) quando as funções \(x(t)\text{,}\)\(y(t)\) e \(z(t)\) forem contínuas em \(t_0\text{.}\)
Diremos que \(F\) é derivável em \(t_0 \in D \subseteq \mathbb{R}\) e escrevemos \(F'(t_0)\) quando o limite:
Uma função \(F: D \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^3\) é dita regular ou suave quando existe \(F'(t)\) para todo \(t \in D \subseteq \mathbb{R}\) e \(F'(t)\) for contínua.
Nota1.2.2.
A função \(F'(t)\) fornece à trajetória de \(F(t)\) um vetor tangente em cada \(t \in D \subseteq \mathbb{R}\text{.}\)
Figura1.2.3.Vetores Tangentes à trajetória em \(\mathbb{R}^3\)
Podemos encontrar uma função que a cada valor de \(t \in [a,b]\) forneça o comprimento da curva de \(a\) até \(t\text{,}\) tal função é chamada de função comprimento de arco:
\begin{equation*}
S(t) = \int_{a}^{t} ||r'(u)|| du
\end{equation*}
Para \(t = \frac{\pi}{4}\) temos o comprimento da curva de \(0\) até \(\frac{\pi}{4}\) igual a \(S = \sqrt{2}\frac{\pi}{4}\text{.}\)
Nota1.2.9.
Em muitos casos podemos usar \(s\) como parâmetro. Neste caso, diremos que a curva está parametrizada pelo comprimento de arco. No exemplo acima podemos reescrever:
