UFRPE-DM Equações Diofantinas Lineares

Seção 4.1 Equações Diofantinas Lineares

Proposição 4.1.1.

Seja \((x_0, y_0)\) uma solução particular da Equação Diofantina Linear \(ax+by=c\text{,}\) na qual, \(mdc(a,b)=1\text{.}\) Então, o seu conjunto solução, é composto pelos pares \((x,y)\) em \(\mathbb{Z}^2\) tais que

\begin{equation*} x=x_0+tb, \quad y=y_0-ta; \quad t\in \mathbb{Z}. \end{equation*}

Tecnologia 4.1.2.

No SageMath existe um método para resolver equações diofantinas. Para utiliza-lo é necessário declarar cada variável que será usada na equação. Abaixo, declaramos as variáveis \(x\) e \(y\) e escrevemos os comandos para resolver a equação diofantina

\begin{equation*} 3x+8y=13. \end{equation*}

Tecnologia 4.1.3.

Resolvendo o problema das Ternas Pitagóricas no SageMath:

Abaixo, podemos ver graficamente as soluções, podendo rotacionar o gráfico para melhor entendimento e visualização.

Figura 4.1.4.

Tecnologia 4.1.5.

Escolha os valores \(a\text{,}\) \(b\) e \(c\) para obter algumas soluções inteiras no plano, da Equação Diofantina:

\begin{equation*} ax+by=c. \end{equation*}

Figura 4.1.6.

Não entraremos em detalhes, mas ressaltamos que a função "solve_diophantine" se estende para uma maior quantidade de variáveis e não está restrita ao caso linear. Experimente a equação abaixo e depois substitua a equação por outra.