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Seção 1.1 Aula 01 - Divisibilidade I

Exemplo 1.1.2.
\begin{equation*} 5 = 3\cdot 1 +2, \quad r=2\lt 3=a; \end{equation*}
\begin{equation*} 7 = 9\cdot 0 +7, \quad r=7\lt 9=a; \end{equation*}
Observação 1.1.3.

O teorema anterior admite um enunciado mais geral: Para quaisquer inteiros \(a\) e \(b\text{,}\) com \(a\neq 0\text{,}\) existe um único par de inteiros \((q, r)\) tais que \(b = aq + r, ~0 \leq r \lt |a|\text{.}\) Por exemplo,

\begin{equation*} -7 = -3\cdot 3 + 2, \quad r=2\lt |-3| = a. \end{equation*}
Tecnologia 1.1.4.

Abaixo temos um código em SageMath, no qual podemos trocar os valores de \(b\) e \(a\) nas linhas \(1\) e \(2\text{,}\) respectivamente. Ao clicar em Executar (Sage) obtemos o quociente e o resto na divisão de \(b\) por \(a\text{.}\)

Observação 1.1.5. (PTOM).

De modo geral, fixado um número natural \(a\geq 2\text{,}\) pode-se sempre escrever um número qualquer \(b\text{,}\) de modo único, na forma \(b = aq+r\text{,}\) na qual \(q, r\) são inteiros e \(0\leq r \lt a\text{.}\)

Por exemplo, fixado um valor para \(a\text{,}\) qualquer inteiro \(b\) pode ser escrito em apenas uma das seguintes formas

\begin{align*} a=3:\amp~ 3q, 3q+1, 3q+2\\ a=4:\amp~ 4q, 4q+1, 4q+2, 4q+3\\ a=5:\amp~ 5q, 5q+1, 5q+2, 5q+3, 5q+4\\ \vdots \end{align*}
Exemplo 1.1.6. (PTOM).

Dados dois números primos \(p\lt q\text{,}\) dizemos que ele são primos gêmeos se \(q-p=2\text{.}\) Prove que para cada par de primos gêmeos com \(p\lt q\text{,}\) se \(p>3\text{,}\) então \(p+1\) deixa resto zero na divisão por \(3\text{.}\)

Solução

Pela Observação 1.1.5, \(p\) só pode assumir uma das três formas: \(3k, 3k+1, 3k+2\text{.}\) Podemos analizar cada um dos casos.

Caso 1 (\(p=3k\)). Neste caso o número não seria primo, então este caso está descartado.

Caso 2 (\(p=3k+1\)). Neste caso, \(p+1 = 3k+2\) e \(q = p+2 = 3k+3=3(k+1)\) não seria primo, o que é uma contradição.

Caso 3 (\(p=3k+2\)). Neste caso, \(p+1 = 3(k+1)\) que é múltiplo de \(3\) e \(q = 3(k+1)+1\text{.}\) Portanto, este é o único caso possível e o número \(p+1\) sempre deixa resto zero na divisão por \(3\text{.}\)

Exemplo 1.1.7.

Encontre um número natural \(N\) que, ao ser dividido por \(10\text{,}\) deixa resto \(9\text{,}\) ao ser dividido por \(9\) deixa resto \(8\text{,}\) e ao ser dividido por \(8\) deixa resto \(7\text{.}\)

Solução

Pelos dados do enunciado,

\begin{align*} N = \amp~10q_1+9\\ N = \amp~9q_2+8\\ N = \amp~8q_3+7 \end{align*}

Somando \(1\) em cada igualdade, obtemos

\begin{align*} N+1 = 10q_1+10 = \amp~10(q_1+1)\\ N+1 = 9q_2+9 = \amp~9(q_2+1)\\ N+1 = 8q_3+8 = \amp~8(q_3+1) \end{align*}

Portanto, \(N+1\) é múltiplo de \(10\text{,}\) \(9\) e \(8\text{.}\) Uma solução é \(N+1 = 10\cdot 9\cdot 8 = 720\text{,}\) logo \(N=719\text{.}\)

Outra resposta pode ser obtida calculando o menor múltiplo comum: \(MMC(10, 9, 8)=360\text{.}\) Outro valor válido para \(N\) é \(359\text{.}\)

Exemplo 1.1.8.
  1. Verifique que
    \begin{equation*} a^n-1 = (a-1)(a^{n-1}+a^{n-2}+\cdots+a+1). \end{equation*}
  2. Calcule o resto da Divisão de \(4^{2012}\) por 3.
Solução

item a)

\begin{align*} (a-1)(a^{n-1}+a^{n-2}+\cdots+a+1) =\amp~ a^n+a^{n-1}+a^{n-2}+\cdots+ a^2+a \\ \amp~ - a^{n-1} - a^{n-2}-\cdots-a-1 \end{align*}

item b)

\begin{align*} 4^{2012}-1 =\amp~ (4-1)(4^{2011}+4^{2010}+\cdots+4+1) \\ =\amp~ 3\cdot\underbrace{(4^{2011}+4^{2010}+\cdots+4+1)}_{q} \end{align*}

Portanto,

\begin{equation*} 4^{2012} = 3q+1 \end{equation*}

Ou seja, o resto é igual a \(1\text{.}\)

Tecnologia 1.1.9.

No SageMath, o resto da divisão de \(b^c\) por \(a\) pode ser calculado da seguinte maneira:

Exemplo 1.1.10.

Seja \(n\) um número natural maior que zero. Qual o resto de \(10^n\) na divisão por \(9\text{?}\)

Solução
\begin{align*} 10^n-1=\amp~ (10-1)(10^{n-1}+10^{n-2}+\cdots+10+1)\\ 10^n-1=\amp~9q\\ 10^n=\amp~ 9q+1 \end{align*}
Exemplo 1.1.11.

Quantos números entre \(1\) e \(253\) (inclusive) são divisíveis por \(5\text{?}\) Ou seja, quando deixam resto zero na divisão por \(5\text{?}\)

Solução

Aplicando a divisão euclidiana,

\begin{equation*} 253 = 5\cdot 50 + 3. \end{equation*}

Isto significa que existem \(50\) números divisíveis por \(5\) entre \(1\) e \(253\text{,}\) pois ao escrever todos os números neste intervalo, o último que deixa resto zero será no número \(5\cdot 50 = 250\text{.}\) Observe,

\begin{equation*} 1, 2, 3, 4, \underbrace{5}_{5\cdot1}, 6, \ldots,\underbrace{10}_{5\cdot2}, \ldots, \underbrace{15}_{5\cdot3}, \ldots \underbrace{250}_{5\cdot50}, 251, 252, 253 \end{equation*}

Por hipótese

\begin{equation*} b_1 = aq_1+r_1, ~ 0\leq r_1\lt a \quad \text{ e }\quad b_2 = aq_2+r_2, ~ 0\leq r_2\lt a. \end{equation*}

item a)

\begin{equation*} b_1+b_2 = aq_1+r_1 + aq_2+r_2 \end{equation*}
\begin{equation} b_1+b_2= a(q_1+q_2) + r_1+r_2.\label{dem-restos01}\tag{1.1.1} \end{equation}

Aplicando a divisão euclidiana obtemos

\begin{equation} r_1+r_2 = aq_3 + r_3, ~ 0\leq r_3\lt a.\label{dem-restos02}\tag{1.1.2} \end{equation}

Substituindo (1.1.2) em (1.1.1) obtemos

\begin{equation*} b_1+b_2 = a(q_1+q_2+q_3) + r_3, ~ 0\leq r_3\lt a. \end{equation*}

item b)

\begin{equation*} b_1b_2 = (aq_1+r_1)(aq_2+r_2) \end{equation*}
\begin{equation*} b_1b_2 = a^2q_1q_2+aq_1r_2+aq_2r_1+r_1r_2 \end{equation*}
\begin{equation} b_1b_2 = a(aq_1q_2+q_1r_2+q_2r_1) + r_1r_2.\label{dem-restos03}\tag{1.1.3} \end{equation}

Aplicando a divisão euclidiana, podemos escrever

\begin{equation} r_1r_2 = aq_4+r_4, ~ 0\leq r_4\lt a.\label{dem-restos04}\tag{1.1.4} \end{equation}

Substituindo (1.1.3) em (1.1.4) obtemos

\begin{equation*} b_1b_2 = a(aq_1q_2+q_1r_2+q_2r_1 + q_4) + r_4, ~ 0\leq r_4\lt a. \end{equation*}

Como queríamos.

Exemplo 1.1.13.

Qual o resto que o número \(1002\cdot1003\cdot1004\) deixa quando dividido por \(7\text{?}\)

Solução

Aplicando a divisão euclidiana, obtemos

\begin{gather*} 1002 = 7\cdot 143+1\\ 1003 = 7\cdot 143+2\\ 1004 = 7\cdot 143+3 \end{gather*}

Aplicando o (Teorema dos Restos), o resto de \(1002\cdot1003\cdot1004\) na divisão por \(7\) é o mesmo que o resto de \(1\cdot 2\cdot 3\) na divisão por \(7\text{.}\) Como \(1\cdot 2\cdot 3 = 6\) Temos,

\begin{equation*} 1002\cdot1003\cdot1004 = 7\cdot q + 6. \end{equation*}
Exemplo 1.1.14.

Qual o resto que o número \(4^{5000}\) deixa quando dividido por \(3\text{?}\)

Solução

Como o número \(4\) deixa resto \(1\) na divisão por \(3\text{,}\) \(4^{5000}\) deixa o mesmo resto que \(\underbrace{1\cdot 1\cdot 1\cdots 1}_{5000} = 1\) na divisão por \(3\text{.}\)

Exemplo 1.1.15.

Qual o resto que o número \(2^{2k+1}\) deixa quando dividido por \(3\text{?}\)

Solução

Note que

\begin{equation*} 2^{2k+1} = 2^{2k}\cdot 2 = 4^k\cdot 2. \end{equation*}
  • \(4\) deixa resto \(1\) na divisão por \(3\text{,}\) logo \(4^k\) também deixa resto \(1\) na divisão por 3;
  • \(2\) deixa resto \(2\) na divisão por \(3\text{.}\)

Pelo (Teorema dos Restos), \(2^{2k+1}\) deixa o mesmo resto que \(4^k\cdot 2\) na divisão por \(3\text{,}\) ou seja, o resto é o mesmo que o resto de \(1\cdot 2 = 2\) na divisão por \(3\text{.}\)

Exemplo 1.1.16.

Qual o resto de \(n^3+2n\) na divisão por \(3\text{?}\)

Solução

Dado um número \(n\text{,}\) ele pode ser escrito em apenas uma das três formas: \(3q, 3q+1\) ou \(3q+2\text{.}\) Pelo (Teorema dos Restos), basta analisar os três possíveis restos na divisão de \(n\) por \(3\text{.}\)

Caso 1: \(r = 0\text{:}\)

\begin{equation*} 0^3+2\cdot 0 = 0 = 3\cdot 0+0 \end{equation*}

Caso 2: \(r = 1\text{:}\)

\begin{equation*} 1^3+2\cdot 1 = 3 = 3\cdot 1+0 \end{equation*}

Caso 3: \(r = 2\text{:}\)

\begin{equation*} 2^3+2\cdot 2 = 12 = 3\cdot 4+0 \end{equation*}
Exemplo 1.1.17.

Prove que, para cada \(n\) natural,

\begin{equation*} (n+1)(n+2)\cdots(2n) \end{equation*}

é divisível por \(2^n\text{.}\)

Solução

Observe que

\begin{align*} (n+1)(n+2)\cdots(2n) =\amp~ (n+1)(n+2)\cdots(2n)\cdot \frac{1\cdot 2\cdot 3\cdots n}{1\cdot 2\cdot 3\cdots n}.\\ =\amp~\frac{1\cdot 2 \cdot 3\cdots (2n-1)\cdot (2n)}{1\cdot 2\cdot 3\cdots n}. \end{align*}

Para cada número \(k\) escrito no denominador, existe o número \(2k\) no numerador. Agrupando as frações \(\frac{2k}{k}\) com \(1\leq k\leq n\text{,}\) sobrará todos os números ímpares de \(1\) até \(2n\text{.}\) Ou seja,

\begin{align*} (n+1)(n+2)\cdots(2n) =\amp~\frac{2\cdot1}{1}\cdot\frac{2\cdot2}{2}\cdots\frac{2\cdot n}{n}\cdot 1\cdot3\cdot5\cdots (2n-1)\\ =\amp~2^n\cdot 1\cdot3\cdot5\cdots (2n-1). \end{align*}
Exemplo 1.1.18.

Encontre todos os pares de inteiros positivos \(a\) e \(b\) tais que \(79 = ab+2a+3b\text{.}\)

Solução

Note que \(ab+2a+3b\) quase pode ser escrito como um produto, pois no produto "sobra" uma constante:

\begin{equation*} (a+3)(b+2) = ab+2a+3b+6. \end{equation*}

Como

\begin{equation*} 79 = ab+2a+3b, \end{equation*}

ao somar \(6\) em ambos os membros da igualdade anterior, obtemos

\begin{equation*} 85 = (a+3)(b+2). \end{equation*}

Como \(85\) é o produto de dois primos (\(5\cdot 17\)), então

\begin{equation*} 5\cdot 17 = (a+3)(b+2). \end{equation*}

Temos apenas dois casos:

\begin{gather*} \begin{cases} a+3 = 5 \Rightarrow a = 2 \\ b+2 = 17 \Rightarrow b = 15 \end{cases} \end{gather*}

e

\begin{gather*} \begin{cases} a+3 = 17 \Rightarrow a = 14 \\ b+2 = 5 \Rightarrow b = 3 \end{cases} \end{gather*}
Exemplo 1.1.19.

(OBMEP 2013). Lucas pensou em um número, dividiu-o por \(285\) e obteve resto \(77\text{.}\) Se ele dividir o número em que pensou por \(57\text{,}\) qual o resto que ele vai encontrar?

Solução

Note que \(285 = 5\cdot 57\) e que \(77 = 57+20\text{,}\) logo

\begin{align*} n=\amp~ 285\cdot q+77\\ =\amp~5\cdot 57\cdot q+57+20\\ =\amp~57(5\cdot q+1)+20. \end{align*}

Portanto, o resto na divisão por \(57\) é \(20\text{.}\)

Exemplo 1.1.20.

Encontre os inteiros que, na divisão por \(7\) deixam um quociente igual ao resto.

Solução

Estamos procurando os números que podem ser escritos da seguinte maneira

\begin{equation} n = 7q+r, (0\leq r\lt 7)\quad \text{com } q=r.\label{eq-quores}\tag{1.1.5} \end{equation}

São apenas \(7\) restos possíveis, podemos substituir esses valores em (1.1.5) para obter os valores de \(n\text{.}\)

\begin{align*} n =\amp~ 7\cdot 0+0 \Rightarrow n= (7+1)\cdot 0\Rightarrow n=0\\ n =\amp~ 7\cdot 1+1 \Rightarrow n= (7+1)\cdot 1\Rightarrow n=8\\ n =\amp~ 7\cdot 2+2 \Rightarrow n= (7+1)\cdot 2\Rightarrow n=16\\ n =\amp~ 7\cdot 3+3 \Rightarrow n= (7+1)\cdot 3\Rightarrow n=24\\ n =\amp~ 7\cdot 4+4 \Rightarrow n= (7+1)\cdot 4\Rightarrow n=32\\ n =\amp~ 7\cdot 5+5 \Rightarrow n= (7+1)\cdot 5\Rightarrow n=40\\ n =\amp~ 7\cdot 6+6 \Rightarrow n= (7+1)\cdot 6\Rightarrow n=48 \end{align*}
Exemplo 1.1.21.

Ao dividir o número inteiro \(20+x\) por \(11\) obtemos resto \(7\text{.}\) Qual é o menor valor inteiro positivo de \(x\text{?}\)

Solução
\begin{align*} 20+x =\amp~ 11q+7\\ x=\amp~11q-13. \end{align*}

Como \(x\) é positivo, \(q\geq 2\text{.}\) Substituindo \(q=2\text{,}\) obtemos

\begin{align*} x =\amp~ 11\cdot 2-13\\ =\amp~22-13\\ =\amp~9. \end{align*}
Exemplo 1.1.22.

(OBM). O número de seis dígitos \(ab2016\) é um múltiplo de \(99\text{.}\) Determine o valor do dígito \(a\text{.}\)

Solução

Note que \(100 = 99\cdot 1 + 1\text{.}\) Podemos escrever o número \(ab2016\) da seguinte maneira:

\begin{align*} ab2016 =\amp~ ab\cdot 100^2+ 20\cdot 100^1 + 16\cdot 100^0\\ =\amp~ab(99q_2+1)+20(99\cdot 1+1)+16(99\cdot 0+1)\\ =\amp~99(ab\cdot q_2+20\cdot 1+16\cdot 0) + (ab+20+16). \end{align*}

Portanto, \(99\) divide \(ab2016\) se, e somente se, \(99\) divide \((ab+20+16)\text{.}\) Ou seja, como \(99\) possui dois diígitos e \((ab+20+16)\) é menor que \(2\cdot 99\text{,}\) temos a seguinte igualdade

\begin{align*} 99 =\amp~ ab+36\\ 99-36=\amp~ab\\ 63=\amp~ab. \end{align*}

Então, \(a=6\text{.}\)

Exercícios 1.1.1 Exercícios

1.

Determinar os números que divididos por \(17\) dão um resto igual ao quadrado do quociente correspondente.

Solução

Estamos procurando os valores de \(n\) que satisfazem

\begin{equation*} n = 17\cdot q + q^2, \quad 0\leq q^2\lt 17. \end{equation*}

Assim, \(-4\leq q\leq 4\) e portanto, precisamos substituir os valores de \(q=-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\text{.}\)

\begin{align*} n =\amp~ 17\cdot (-4) + (-4)^2 = -52\\ n =\amp~ 17\cdot (-3) + (-3)^2 = -42\\ n =\amp~ 17\cdot (-2) + (-2)^2 = -30\\ n =\amp~ 17\cdot (-1) + (-1)^2 = -16\\ n =\amp~ 17\cdot (0) +0^2 = 0\\ n =\amp~ 17\cdot (1) +1^2 = 18\\ n =\amp~ 17\cdot (2) +2^2 = 38\\ n =\amp~ 17\cdot (3) +3^2 = 60\\ n =\amp~ 17\cdot (4) +4^2 = 84 \end{align*}
2. (OCM 1985).

Encontre o quociente da divisão de \(a^{128}-b^{128}\) por

\begin{equation*} (a^{64}+b^{64})(a^{32}+b^{32})(a^{16}+b^{16})(a^{8}+b^{8})(a^{4}+b^{4})(a^{2}+b^{2})(a+b). \end{equation*}
Solução

Fatorando \(a^{128}-b^{128}\text{,}\) obtemos

\begin{align*} a^{128}-b^{128} =\amp~ (a^{64}+b^{64})(a^{64}-b^{64})\\ =\amp~ (a^{64}+b^{64})(a^{32}+b^{32})(a^{32}-b^{32})\\ \vdots \end{align*}
Seguindo assim, obtemos que \(a^{128}-b^{128}\) é igual a
\begin{equation*} (a^{64}+b^{64})(a^{32}+b^{32})(a^{16}+b^{16})(a^{8}+b^{8})(a^{4}+b^{4})(a^{2}+b^{2})(a^{2}-b^{2}), \end{equation*}
consequentemente \(a^{128}-b^{128}\) é igual a
\begin{equation*} (a^{64}+b^{64})(a^{32}+b^{32})(a^{16}+b^{16})(a^{8}+b^{8})(a^{4}+b^{4})(a^{2}+b^{2})(a+b)(a-b). \end{equation*}
Portanto, o quociente é \((a-b)\) e o resto é zero.
3.

Prove que, o número \(1^{99}+2^{99}+3^{99}+4^{99}+5^{99}\) é múltiplo de \(5\text{.}\)

Solução

Vamos usar a seguinte igualdade:

\begin{equation*} a^n+b^n = (a+b)(a^{n-1}\cdot b^0 - a^{n-2}\cdot b^1 +\cdots +a^{0}\cdot b^{n-1}). \end{equation*}

\(5^{99}\) é múltiplo de \(5\) e portanto deixa resto zero.

\(4^{99}+1^{99} = (4+1)(4^{98}-4^{97}+\cdots+1)\text{,}\) deixa resto zero na divisão por \(5\text{.}\)

\(3^{99}+2^{99} = (3+2)(3^{98}-3^{97}\cdot 2^1+\cdots+2^{98})\text{,}\) também deixa resto zero na divisão por \(5\text{.}\)

Portanto, o número \(1^{99}+2^{99}+3^{99}+4^{99}+5^{99}\) é múltiplo de \(5\text{.}\)

4. (OCM 1994).

Seja \(A=777\ldots 777\) um número onde o dígito "\(7\)" aparece \(1001\) vezes. Determine o quociente e o resto da divisão de \(A\) por \(1001\text{.}\)

Solução

Observe que \(A = 7\frac{10^{1001}-1}{9}\text{,}\) e que \(1001 = 10^3+1\text{.}\) Como

\begin{align*} (10^{999}+1)=\amp~((10^3)^{333}+1)\\ =\amp~(10^3+1)((10^3)^{332}-(10^3)^{331}+(10^3)^{330}-\cdots+1), \end{align*}

Sabemos que \(\frac{10^{999}+1}{10^3+1}\) é um número inteiro. Assim,

\begin{align*} \frac{10^{1001}-1}{10^3+1} =\amp~100\cdot\frac{10^{999}+1}{10^3+1}-\frac{101}{10^3+1}\\ =\amp~100\cdot\frac{10^{999}+1}{10^3+1}-\frac{1001-900}{10^3+1}\\ =\amp~100\cdot\frac{10^{999}+1}{10^3+1}-1+\frac{900}{10^3+1}\\ =\amp~\frac{10^{1001}-901}{10^3+1}+\frac{900}{10^3+1}. \end{align*}

Dividindo ambos os membros da igualdade por \(9\) e em seguida multiplicando por \(7\text{,}\) obtemos

\begin{align*} \frac{10^{1001}-1}{9(10^3+1)} =\amp~\frac{10^{1001}-901}{9(10^3+1)}+\frac{100}{10^3+1}\\ \frac{7\cdot(10^{1001}-1)}{9(10^3+1)} =\amp~\frac{7\cdot(10^{1001}-901)}{9(10^3+1)}+\frac{700}{10^3+1}. \end{align*}

Afirmação: \(\frac{7\cdot(10^{1001}-901)}{9(10^3+1)}\) é inteiro e portanto

\begin{equation*} A = 1001\cdot \frac{7\cdot(10^{1001}-901)}{9(10^3+1)} + 700. \end{equation*}

Para concluir, vamos provar a afirmação acima. Observe que \(1001=7\cdot11\cdot13\text{.}\) Então, como \(7, 9, 11, 13\) não possuem fatores primos em comum, para mostrar que \(9(10^3+1)\) divide \(7\cdot(10^{1001}-901)\text{,}\) basta mostrar que cada um dos números \(9, 11\) e \(13\) divide \((10^{1001}-901)\text{.}\)

  1. (\(9\) divide \((10^{1001}-901)\)). Note que \(10\) deixa resto \(1\) na divisão por \(9\) e que \(-901\) deixa resto \(8\text{,}\) na divisão por \(9\text{.}\) Assim, Pelo Teorema dos Restos, \((10^{1001}-901)\) deixa o mesmo resto que \((1^{1001}+8)=9\) na divisão por \(9\text{,}\) ou seja, o resto é zero.
  2. (\(11\) divide \((10^{1001}-901)\)). Como \(10^2\) deixa resto \(1\) na divisão por \(11\) e \(-901\) deixa resto \(1\) na divisão por \(11\text{.}\) Pelo Teorema dos restos, \((10^{1001}-901)\) deixa o mesmo resto que \(((1)^{500}\cdot10+1)=11\text{,}\) na divisão por \(11\text{.}\) Portanto o resto é zero.
  3. (\(13\) divide \((10^{1001}-901)\)). De fato, \(10^6\) deixa resto \(1\) na divisão por \(13\) e \(-901\) deixa resto \(9\text{,}\) na divisão por \(13\text{.}\) Logo, pelo Teorema dos Restos \((10^{1001}-901)\)) deixa o mesmo resto que \(((1)^{166}\cdot 10^5+9)=100009\text{.}\) Assim, o resto também é zero.
5.

Mostre que o número \(1^n+8^n-3^n-6^n\) é múltiplo de \(10\text{.}\)

Solução

Para mostrar que o número é mútiplo de \(10\text{,}\) basta mostrar que \(2\) e \(5\) dividem o número.

Como \(8^n-3^n\) e \(1^n-6^n\) são ímpares, a soma \((8^n-3^n) + (1^n-6^n)\) é par, assim, \(2\) divide \(1^n+8^n-3^n-6^n\text{.}\)

Para mostrar \(5\) divide \(1^n+8^n-3^n-6^n\text{,}\) vamos usar as seguintes fatorações:

\begin{align*} 8^n-3^n =\amp~ \underbrace{(8-3)}_{=5}(8^{n-1}+8^{n-2}\cdot 3+8^{n-3}\cdot3^2+\cdots + 3^{n-1})\\ 1^n-6^n =\amp~ \underbrace{(1-6)}_{=-5}(1+6+6^2+\cdots+6^{n-1}) \end{align*}

Assim, \(8^n-3^n\) e \(1^n-6^n\) são divisíveis por \(5\) e portanto a soma também é.

Subseção 1.1.1.1 Simulados Antigos

6. (2013).

O algarismo das unidades do número \(1\times 3\times 5\times \cdots\times 97\times 99\) é:

\begin{equation*} (a) 2 \quad (b) 3\quad (c) 5 \quad (d) 7 \quad (e) 9 \end{equation*}
Resposta
\((c) 5\)
Solução

Todo múltiplo de \(5\) ímpar termina em \(5\text{.}\)

7. (2014 - Problema 1).

Paula iniciou um programa de ginástica no qual os dias de treino são separados por dois dias de descanso. Se o primeiro treino foi em uma segunda-feira, em qual dia da semana cairá o centésimo treino?

\begin{equation*} (a) \text{Domingo} ~~~ (b) \text{segunda-feira} ~~~ (c) \text{terça-feira} ~~~ (d) \text{quinita-feira} ~~~ (e) \text{sexta-feira} \end{equation*}
Resposta
\((d) \text{quinita-feira}\)
Solução

Como os treinos ocorrem de \(3\) em \(3\) dias, o segundo treino ocorrerá \(3\) dias após o primeiro. O terceiro treino ocorrerá \(3\times 2 = 6\) dias após o primeiro e assim sucessivamente. O \(n\)-ésimo treino ocorrerá \(3\times(n-1)\) dias após o primeiro. Assim, o centésimo treino ocorrerá \(3 \times 99 = 297\) dias após o primeiro.

A cada \(7\) dias repete-se o dia da semana. Como \(297\) deixa resto \(3\) na divisão por \(7\text{,}\) o centésimo treino ocorrerá \(3\) dias após uma segunda-feira, ou seja, em uma quinta-feira.

8. (2014 - Problema 2).

No Pentágono \(ABCDE\) abaixo, \(AB = BC = CD = 2\) metros e \(DE = EA = 3\) metros. Uma formiguinha parte do vértice \(A\) e caminha com velocidade constante de um metro por segundo ao longo de seus lados sempre no mesmo sentido. Em que ponto estará no \(2013°\) segundo?

\begin{equation*} (a) A \quad (b) B\quad (c) C \quad (d) D \quad (e) E \end{equation*}
Resposta

\((e) E\)

Solução

Ao decorrer do Pentágono, a formiga anda \(12\) metros em \(12\) segundos, então podemos escrever pelo algoritmo da divisão que no segundo \(2013\) a formiga andou \(12\times 167+9\) metros, ou seja, deu \(167\) voltas e andou mais \(9\) metros, estando agora no ponto \(E\text{.}\)

9. (2015 - Problema 2).

Esmeralda rasgou uma folha em \(n\) pedaços e, em seguida, pegou uma dessas partes e rasgou-a também em \(n\) pedaços. Não satisfeita, pegou uma dessas últimas partes e rasgou também em \(n\) pedaços. Qual dos números a seguir poderia ser o total de pedaços obtidos por Esmeralda no final?

\begin{equation*} (a) 15 \quad (b) 18\quad (c) 24 \quad (d) 26 \quad (e) 28 \end{equation*}
Resposta

\((e) 28\)

Solução

Após Esmeralda cortar o papel pela primeira vez ela obteve \(n\) pedaços, cujos \(n-1\) se mantiveram após ela partir pela segunda vez e desses \(n\) novos pedaços, se mantiveram \(n-1\) pedaços após ela partir pela terceira vez fazendo mais \(n\) pedaços, então ela tinha

\begin{equation*} (n-1) +(n-1) + n = 3n-2 \end{equation*}

pedaços e a única opção que se enquadra nesse formato é o número

\begin{equation*} 28 = 3\cdot 10 - 2\text{.} \end{equation*}

Pois,

\begin{align*} 15 =\amp~ 3\cdot 5\\ 18 =\amp~ 3\cdot 6\\ 24 =\amp~ 3\cdot 8\\ 26 =\amp~ 3\cdot 9-1 \end{align*}