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Cálculo M II: notas de aula

Leon Silva, Deibsom Silva, Ricardo Machado

Seção 2.1 Método da Substituição

Subseção 2.1.1 Substituição \(u \)

A integração por substituição consiste em um método para encontrar primitivas por meio de uma substituição conveniente da variável do integrando, de tal forma, a transformar o problema de integração, inicialmente complicado, em um mais simples.
Para exemplificar o método, vamos considerar resolver a integral indefinida
\begin{equation*} \integral{2x(x^2+1)^3}{x}\text{.} \end{equation*}
Com criatividade podemos conjecturar  1  que \(\frac{(x^2+1)^4}{4}\) é uma primitiva para \(2x(x^2+1)^3\) e depois confirmar usando a operação derivada combinada com a regra da cadeia:
\begin{align*} \frac{\dd}{\dd x}\left[\frac{(x^2+1)^4}{4}\right] = (x^2+1)^3(2x) \amp \text{.} \end{align*}
Dessa forma, a solução da integral é
\begin{equation*} \integral{2x(x^2+1)^3}{x}= \frac{(x^2+1)^4}{4} + C \text{.} \end{equation*}
Agora, pensando em simplificar o problema, seria útil tomar \(u=(x^2+1)\) e transformar o integrando em uma função do tipo potência na variável \(u\text{,}\) neste caso, \(u^3\text{.}\) O próximo passo é verificar se a partir da substituição para variável \(u\) é possível encontrar \(\dd u\text{,}\) em termos da variável \(x\text{,}\) de tal forma que
\begin{equation*} 2x(x^2+1)^3\dd x=u^3 \dd u\text{.} \end{equation*}
O que nesse caso é verdadeiro pois, \(\dd u/\dd x= 2x\text{,}\) ou seja, \(\dd u= (2x)\dd x\text{.}\) Então, usando a substituição \(u=(x^2+1)\text{,}\) a integral é convertida para a forma
\begin{align*} \integral{2x(x^2+1)^3}{x} \amp = \integral{u^3}{u} \amp \quad \color{gray}{\text{Substituição para variável}\, u.}\\ \amp = \frac{u^4}{4} +C \amp \quad \ct{Usando regra já conhecida.}\\ \amp = \frac{(x^2+1)^4}{4} + C \amp \ct{Retorna à variável} \, \ctm{x}\text{.} \end{align*}
O processo de converter a integral na variável \(x\) para uma integral em outra variável, digamos \(u\text{,}\) é denominado de método de substituição por \(u\).

Exemplo 2.1.1. Regra da potência.

(a)
\(\integral{3(3x-1)^4}{x}\)
Solução.
Escolha \(u=3x-1\text{.}\) Então, \(\frac{\dd u}{\dd x}=3\) e \(\dd u = 3\dd x\text{.}\) Logo,
\begin{align*} \integral{3(3x-1)^4}{x} \amp = \integral{\ob{(3x-1)^4}{u^4}\ob{(3)}{\dd u /\dd x}}{x}\amp \ctm{\dd u= 3dx.} \\ \amp =\integral{u^4}{u} \amp \ct{Integral em relação a}\, \ctm{u.}\\ \amp = \frac{u^5}{5}+ C\amp \ct{Regra da potência.}\\ \amp = \frac{(3x-1)^5}{5} + C \amp \ct{Retorna à variável}\, \ctm{x.} \end{align*}
(b)
\(\integral{(2x+1)(x^2+x)}{x}\)
Solução 1.
Escolha \(u=x^2+x\text{.}\) Então, \(\frac{\dd u}{\dd x}=2x+1\) e \(\dd u = (2x+1)\dd x\text{.}\) Logo,
\begin{align*} \integral{(2x+1)(x^2+x)}{x} \amp = \integral{\ob{(x^2+x)}{u}\ob{(2x+1)}{\dd u/\dd x}}{x} \amp \ctm{\dd u= (2x+1)\dd x}\\ \amp = \integral{u}{u} \amp \ct{Integral em relação a u.} \\ \amp= \frac{u^2}{2} + C \amp \ct{Regra da potência.}\\ \amp = \frac{(x^2+x)^2}{2} + C \amp \ct{Retorna à variável}\, \ctm{x.} \end{align*}
Solução 2.
É possível evitar o uso do método de substituição expandindo \((2x+1)(x^2+x)\) e utilizando a regra da potência.
(c)
\(\integral{3x^2\sqrt{x^3-2}}{x}\)
Solução.
Escolha \(u=x^3-2\text{.}\) Então, \(\frac{\dd u}{\dd x}=3x^2\) e \(\dd u = (3x^2)\dd x\text{.}\) Logo,
\begin{align*} \integral{3x^2\sqrt{x^3-2}}{x} \amp = \integral{\ob{(x^3-2)^{1/2}}{u^{1/2}}\ob{(3x^2)}{\dd u / \dd x}}{x} \amp \ctm{\dd u=3x^2\dd x.} \\ \amp = \integral{u^{1/2}}{u} \amp \ct{Integral em relação a} \,\ctm{u.}\\ \amp = \frac{u^{3/2}}{3/2} + C \amp \ct{Regra da potência}\\ \amp = \frac{2}{3}(x^3-2)^{3/2} +C \amp \ct{Retorna à variável} \, \ctm{x.} \end{align*}
(d)
\(\integral{\frac{-4x}{(1-2x^2)^2}}{x}\)
Solução.
Escolha \(u=1-2x^2\text{.}\) Então, \(\frac{\dd u}{\dd x}=-4x\) e \(\dd u = (-4x)\dd x\text{.}\) Logo,
\begin{align*} \integral{\frac{-4x}{(1-2x^2)^2}}{x}\amp =\integral{\ob{(1-2x^2)^{-2}}{u^{-2}}\ob{(-4x)}{\dd u / \dd x} }{x} \amp \ctm{\dd u=(-4x)\dd x}\\ \amp =\integral{u^{-2}}{u} \amp \ct{Integral em relação a}\, \ctm{u.}\\ \amp = \frac{u^{-1}}{(-1)} + C \amp \ct{Regra da potência.}\\ \amp = \frac{(1-2x^2)^{-1}}{(-1)} + C\amp \ct{Retorna à variável} \, \ctm{x.}\\ \amp = -\frac{1}{1-2x^2} + C \amp \ct{Simplifique.} \end{align*}
Determine \(\integral{2(x+1)^3}{x}\text{.}\)
Dica.
Resposta.
\(\frac{1}{2} \, x^{4} + 2 \, x^{3} + 3 \, x^{2} + 2 \, x + C\)
Determine \(\integral{(3x^2+6)(x^3+6x)^2}{x}\text{.}\)
Dica.
Resposta.
\(\frac{1}{3} \, {\left(x^{3} + 6 \, x\right)}^{3}+C\)

Exemplo 2.1.5. Reescrevendo o integrando.

Determine \(\integral{x(3-4x^2)^2}{x}\text{.}\)
Solução.
Escolha \(u=3-4x^2\text{.}\) Então, \(\frac{\dd u}{\dd x}=-8x\) e \(\dd u = (-8x)\dd x\text{.}\) Então,
\begin{align*} \integral{x(3-4x^2)^2}{x} \amp = \integral{\left(-\frac{1}{8}\right)\ob{(3-4x^2)^2}{u^2}\ob{(-8x)}{\dd u / \dd x}}{x} \amp \ct{Multiplique e divida por}\, \ctm{-8}. \\ \amp =\integral{-\frac{1}{8}u^2}{u} = -\frac{1}{8}\integral{u^2}{u} \amp \ct{Integral em relação a} \, \ctm{u.}\\ \amp = -\frac{1}{8}\frac{u^3}{3} + C \amp \ct{Regra da potência.} \\ \amp = -\frac{1}{8}\frac{(3-4x^2)^3}{3} + C\amp \ct{Retorna à variável}\, \ctm{x.}\\ \amp = -\frac{(3-4x^2)^3}{24} + C \amp \ct{Simplifique.} \end{align*}

Exemplo 2.1.6. Nem sempre é possível.

Determine \(\integral{-8(3-4x^2)^2}{x} .\)
Solução.
A escolha \(u=3-4x^2\) gera \(\dd u/\dd x=-8x \) e
\begin{equation*} du=(-8x)\dd x\text{.} \end{equation*}
Note que a escolha de \(u\) combinada com a expressão de \(\dd u\) não permite o usar o método de substituição, uma vez que não produz uma integral em relação a \(u\text{.}\) No Exemplo 2.1.5 reescrevemos o integrando usando a estratégia de multiplicar e dividir por uma constante e então retirar a constante do integrando. O fato é que isso não é possível quando trata-se de variáveis, observe:
\begin{equation*} \integral{-8(3-4x^2)^2}{x} \neq \frac{1}{x}\integral{(3-4x^2)^2(-8x)}{x}. \end{equation*}
Nesse caso, a melhor estratégia é expandir o integrando e depois aplicar a regra da potência em cada parte.
\begin{align*} \integral{-8(3-4x^2)^2}{x} \amp = \integral{(-128x^4+192x^2-72)}{dx} \\ \amp = -\frac{128}{5}x^5 + 64x^3 - 72x+ C \text{.} \end{align*}
Determine \(\integral{2(x^2+1)^3}{x}\text{.}\)
Dica.
Considere expandir o integrando. Veja Exemplo 2.1.6.
Resposta.
\(\frac{2}{7} \, x^{7} + \frac{6}{5} \, x^{5} + 2 \, x^{3} + 2 \, x +C\)

Exemplo 2.1.8. Envolvendo funções trigonométricas.

(a)
Determine \(\integral{\sin{(x+9)}}{x}.\)
Solução.
Escolha \(u=x+9\text{.}\) Então, \(\frac{\dd u}{\dd x}=1\) e \(\dd u = \dd x\text{.}\) Logo,
\begin{align*} \integral{\sin{(x+9)}}{x} \amp = \integral{\sin{\ob{(x+9)}{u}\cdot \ob{1}{\dd u /\dd x}}}{x} \amp \ctm{\dd u=1\dd x}\\ \amp = \integral{\sin{u}}{u} \amp \ct{Integral em relação a}\, \ctm{u.} \\ \amp = -\cos{u} + C \amp \ct{Primitivas da função cosseno}\\ \amp = -\cos(x+9) + C \amp \ct{Retorna à variável}\, \ctm{x.} \end{align*}
(b)
Determine \(\integral{\cos{(5x)}}{x}\text{.}\)
Solução.
Escolha \(u=5x\text{.}\) Então, \(\frac{\dd u}{\dd x}=5\) e \(\dd u = 5\dd x\text{.}\) Logo,
\begin{align*} \integral{\cos{(5x)}}{x} \amp = \integral{\frac{1}{5}\cos{\ob{(5x)}{u}}\ob{5}{\dd u / \dd x}}{x} \amp \ct{Multiplicando e dividindo por 5.} \\ \amp =\frac{1}{5}\integral{\cos{u}}{u}\amp \ct{Integral em relação a}\, \ctm{u.} \\ \amp = \frac{1}{5}\sin{u} + C \amp \ct{Primitivas da função seno.}\\ \amp = \frac{1}{5}\sin{5x} + C \amp \ct{Retorna à variável}\, \ctm{x.} \end{align*}

Exemplo 2.1.9. Envolvendo funções exponenciais.

(a)
Determine \(\integral{\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}}{x}\text{.}\)
Solução.
Escolha \(u=\sqrt{x}\text{.}\) Então, \(\frac{\dd u}{\dd x}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\) e \(\dd u = \frac{1}{2\sqrt{x}}\dd x\text{.}\) Logo,
\begin{align*} \integral{\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}}{x}\amp = \integral{\left(2e^{\ob{\sqrt{x}}{u}}\right)\ob{\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)}{\dd u /\dd x}}{x}\amp \ct{Multiplicando e dividindo por 2.}\\ \amp = \integral{2e^u}{u}=2\integral{e^u}{u}\amp \ct{Integral em relação a}\, \ctm{u.} \\ \amp =2e^u + C \amp \ct{Primitiva da função exponêncial.}\\ \amp = 2e^{\sqrt{x}} + C \amp \ct{Retorna à variável}\, \ctm{x.} \end{align*}
(b)
Determine \(\integral{\frac{e^x}{\sqrt{1-e^{2x}}}}{x}\text{.}\)
Solução.
Escolha \(u=e^x\text{.}\) Então, \(\frac{\dd u}{\dd x}\) e \(du=e^x\dd x\text{.}\) Logo,
\begin{align*} \integral{\frac{e^x}{\sqrt{1-e^{2x}}}}{x} \amp = \integral{\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}}{u} \amp \ct{Integral em relação a}\, \ctm{u.}\\ \amp = \arcsin{u} + C \amp \ct{Tabela de integrais.}\\ \amp =\arcsin{e^x} + C \amp \ct{Retorna à variável}\, \ctm{x.} \end{align*}
Determine \(\integral{e^{-5x}}{x}\text{.}\)
Dica.
Use \(u=-5x\text{.}\)
Resposta.
\(-\frac{1}{5} e^{-5x}+C\)

Roteiro para substituição \(u\).

  1. Escolha \(u\) como uma função de \(x\) e escreva \(\dd x\) como função de \(\dd u\text{.}\)
  2. Converta toda a integral para a variável \(u\text{.}\)
  3. Após a integração, reescreva a primitiva como uma função de \(x\text{.}\)

Exemplo 2.1.12. Mais integração por substituição \(u\).

(a)
Determine \(\integral{\sin{x}^2\cos{x}}{x}\text{.}\)
Solução.
Escolha \(u=\sin{x}\text{.}\) Então, \(\frac{\dd u}{\dd x}=\cos{x}\) e \(\dd u = \cos{x}\dd x\text{.}\) Logo,
\begin{align*} \integral{\sin^2{x}\cos{x}}{x}\amp = \integral{\ub{\sin^2{x}}{u^2}\ob{\cos{x}}{\dd u/\dd x}}{x} \amp \ctm{\dd u=\cos{x}\dd x.} \\ \amp = \integral{u^2}{u} \amp \ct{Integral em relação a}\, \ctm{u.}\\ \amp =\frac{u^3}{3}+C \amp \ct{Regra da potência.} \\ \amp=\frac{\sin^3{x}}{3}+C \amp \ct{Retorna à variável}\, \ctm{x.} \end{align*}
(b)
Determine \(\integral{x^2\sqrt{x-1}}{x}\)
Solução.
A composição \(\sqrt{x-1}\) sugere a substituição
\begin{gather} u=x-1 \tag{✶} \end{gather}
que implica em \(\dd u=\dd x\text{.}\) Percebe-se que devemos expressar o termo \(x^2\text{,}\) do integrando, também em termos de \(u\text{.}\) Para isso, a partir de (✶), fazemos \(x=u+1\) para obter
\begin{equation*} x^2 = (u+1)^2=u^2+2u+1 \end{equation*}
e então calcular a integral como segue:
\begin{align*} \integral{x^2\sqrt{x-1}}{x}\amp = \integral{(u^2+2u+1)\sqrt{u}}{u}\\ \amp =\integral{(u^{5/2}+ 2u^{3/2}+ u^{1/2})}{u}\\ \amp = \frac{2}{7}u^{7/2} + \frac{4}{5}u^{5/2}+ \frac{2}{3}u^{3/2} +C\\ \amp = \frac{2}{7}(x-1)^{7/2} + \frac{4}{5}(x-1)^{5/2}+ \frac{2}{3}(x-1)^{3/2} +C \end{align*}

Subseção 2.1.2 Sugestões de Vídeos

Subseção 2.1.3 Substituições Trigonométricas

O integrando que envolve raízes quadradas de polinômios e polinômios não fatoráveis  8  admitem uma substituição por \(u\) de forma implicita. Por exemplo, \(x=\sin{u}\) e \(x=\tan{u}\text{.}\) Essas substituições são denominadas de substituições trigonométricas.
As simplificações necessárias nas substituições trigonométricas fazem uso da identidade
\begin{gather} \cos^2{u} + \sin^2{u} =1 \tag{2.1.1} \end{gather}
para integrandos que envolvem a expressões do tipo
\begin{gather} \sqrt{a-x^2} \text{,}\tag{2.1.2} \end{gather}
no caso da substitução por \(\sin{u}\) e
\begin{gather} a^2 + x^2 \, \text{ou} \, \sqrt{a^2+ x^2}\tag{2.1.3} \end{gather}
para substituições por \(\tan{u}\text{.}\)

Exemplo 2.1.15. Substituição usando o seno.

(a)
Determine \(\integral{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{x}\text{.}\)
Solução.
Escolha \(x=\sin{u}\text{.}\) Então, \(\frac{\dd x}{\dd u}=\cos{x}\) e \(\dd x=\cos{u}\dd u\text{.}\) Logo,
\begin{align*} \integral{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{x}\amp = \integral{\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2{u}}}}{u} \\ \amp = \integral{\frac{\cos{u}}{\sqrt{\cos^2{u}}}}{u} \amp \ct{usamos a identidade}\, \knowl{./knowl/idf.html}{\text{(2.1.1)}} \text{.} \end{align*}
Escolhendo \(-\pi/2\leq u\leq \pi/2 \text{,}\) temos
\begin{equation*} \sqrt{\cos^2{u}}=\cos{u}\text{.} \end{equation*}
Então,
\begin{align*} \integral{\frac{\cos{u}}{\sqrt{\cos^2{u}}}}{u} \amp = \integral{\frac{\cos{u}}{\cos{u}}}{u}\\ \amp = \integral{1}{u}= u+C\\ \amp= \arcsin{x} + C \end{align*}
A última igualdade acima segue do fato de que \(u=\arcsin{x} \) se \(x=\sin{u}\text{,}\) no qual \(-\pi/2\leq u\leq \pi/2\text{.}\)
(b)
Determine \(\integral{\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}}{x}\text{.}\)
Solução.
O integrando acima sugere a escolha \(x=2\sin{u}\text{,}\) para que seja possível obter
\begin{align*} \sqrt{4-x^2}\amp = \sqrt{4-4\sin^2{u}} \\ \amp 2\sqrt{1-\sin^2{u}}=2\sqrt{\cos^2{u}} \\ \amp = 2\cos{u} \text{.} \end{align*}
Dessa forma,
\begin{align*} \integral{\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}}{x} \amp = \integral{\frac{1}{2\cos{u}}\cdot 2\cos{u}}{u}\amp \ctm{\dd x= 2 \cos{u}\dd u} \\ \amp = \integral{1}{u} \\ \amp= u+C = \arcsin{\frac{x}{2} +C} \end{align*}

Exemplo 2.1.16. Substituição usando o seno.

Determine \(\integral{\frac{\sqrt{49-x^2}}{x^2}}{x}.\)
Solução.
Novamente o integrando sugere a substituição \(x=7\sin{u}\text{,}\) de modo que \(\dd x= 7\cos{u}\,\dd u\text{.}\) Dessa forma,
\begin{align*} \integral{\frac{\sqrt{49-x^2}}{x^2}}{x}\amp = \integral{\frac{7\cos{u}\sqrt{49-49\sin^2{u}}}{49\sin^2{u}}}{u} \\ \amp = \integral{\frac{\cos^2{u}}{\sin^2{u}}}{u} \\ \amp = \integral{\cot^2{u}}{u} \amp \ctm{\cot^2{u} = \frac{\cos^2{u}}{\sin^2{u}}.} \\ \amp = \integral{(\csc^2{u}-1)}{u} \amp \ct{tabela de integrais.}\\ \amp = -\cot{u}-u + C \end{align*}
Antes de voltar à variável \(x\text{,}\) note que \(x=7\sin{u}\) implica na igualdade \(\sin{u} = \frac{x}{7}\) que quando cada lado é elevado ao quadrado torna-se
\begin{gather*} \sin{u}^2 = \frac{x^2}{49} \text{.} \end{gather*}
De (2.1.1) segue que
\begin{gather*} \frac{x^2}{49} + \cos^2{u} = 1 \end{gather*}
o que fornece
\begin{gather*} \cos^2{u} = 1 - \frac{x^2}{49} = \frac{49-x^2}{49} \text{.} \end{gather*}
Já que \(\cos{u}\geq 0\) em \(-\pi/2\leq u\leq \pi/2 \text{,}\) a igualdade acima se reduz a expressão
\begin{gather*} \cos{u} = \frac{\sqrt{ 49-x^2}}{7} \end{gather*}
Finalmente,
\begin{align*} \cot{u} \amp = \frac{1}{\tan{u}}=\frac{\cos{u}}{\sin{u}} \\ \amp = \frac{\sqrt{49-x^2}}{x}\text{.} \end{align*}
Voltando a varável \(x\text{:}\)
\begin{align*} -\cot{u} - u \amp = -\frac{\sqrt{49-x^2}}{x} - \arcsin{\frac{x}{7}} \text{,} \end{align*}
logo,
\begin{align*} \integral{\frac{\sqrt{49-x^2}}{x^2}}{x}\amp = -\frac{\sqrt{49-x^2}}{x} - \arcsin{\frac{x}{7}} + C \text{.} \end{align*}

Regra geral para substituições por \(\sin{u}\).

Para integrando envolvendo \(\sqrt{a^2-x^2}\text{,}\) sendo \(a\) uma constante, tente a substituição a partir de \(x=a\sin{u}\text{,}\) com \(-\pi/2\leq u\leq \pi/2\text{.}\)

Nota 2.1.17.

É importante enfatizar que \(\sqrt{a^2-x^2}\) só está definida no intervalo \([-a,a]\text{.}\) Supondo que o domínio do integrando é \([-a,a]\) a substituição \(x=a\sin{u}\text{,}\) com \(-\pi/2\leq u\leq \pi/2\) é válida para todo \(x\) do domínio, uma vez que a imagem é \([-a,a]\) e tem inversa \(\arcsin{\left(\frac{x}{a}\right)}\) em \([-a,a]\text{.}\)
Determine \(\integral{\frac{1}{\sqrt{9-x^2}}}{x}\)
Dica.
Use a substituição \(x=3\sin{u}\text{.}\)
Resposta.
\(\arcsin\left(\frac{1}{3}x\right)+C\)
Determine \(\integral{\frac{1}{\sqrt{9-4x^2}}}{x}\text{.}\)
Dica.
Use a substituição \(x=\frac{3}{2}\sin{u}\text{.}\)
Resposta.
\(\frac{1}{2}\arcsin\left(\frac{2}{3}x\right) +C\)

Exemplo 2.1.20. Substituição usando tangente.

Determine \(\integral{\frac{1}{x^2+9}}{x}\text{.}\)
Solução.
A substituição \(x=3\tan{u}\text{,}\) fornece
\begin{equation*} \dd x = \left(\frac{3}{\cos^2{u}}\right)\dd u\text{.} \end{equation*}
Daí,
\begin{align*} \integral{\frac{1}{x^2+9}}{x}\amp =\integral{\left(\frac{1}{9 + 9\tan^2{u}}\right)\left(\frac{3}{\cos^2{u}}\right)}{u} \\ \amp = \frac{1}{3}\integral{\frac{1}{\left( \frac{\sin^2{u}}{\cos^2{u}}+1\right)\cos^2{u}}} {u}\\ \amp =\frac{1}{3}\integral{\frac{1}{\sin^2{u}+ \cos^2{u}}}{u}=\frac{1}{3}\integral{1}{u} \\ \amp = \frac{1}{3}u+ C=\frac{1}{3}\arctan{\left(\frac{x}{3}\right)} + C\text{.} \end{align*}
A última igualdade acima segue do fato de que \(u= \arctan{\left(\frac{x}{a}\right)}\) se \(x=a\tan{x}\text{,}\) com \(-\pi/2\leq u\leq \pi/2\text{.}\)

Exemplo 2.1.21. Substituição usando tangente.

Determine \(\integral{\frac{1}{\sqrt{49+ x^2}}}{x} \text{.}\)
Solução.
Para resolver esse problema usamos a substituição trigonométrica \(x = 7\tan{u}\text{,}\) ao passo que \(\dd x = 7\cos^2{u}\,\dd u\text{.}\) Portanto,
\begin{align*} \integral{\frac{1}{\sqrt{49+ x^2}}}{x}\amp = \integral{\frac{7\sec^2{u}}{\sqrt{49 + 49\tan^2{u}}}}{u}\\ \amp = \integral{\frac{7\sec^2{u}}{7\sec{u}}}{u} \\ \amp = \integral{\sec{u}}{u} \\ \amp = \ln\left|\sec{u} + \tan{u}\right| + C \end{align*}
Para finalizar, vamos expressar \(\sec{u}\) em termos da variável \(x\text{.}\) Para isso, lembramos a identidade
\begin{gather*} \tan^2{u} + 1 = \sec^2{u} \end{gather*}
que particularmente produz
\begin{gather*} \sec{u} = \frac{\sqrt{49 + x^2}}{7} \end{gather*}
já que \(x = 7\tan{u}\) e \(\sec{u}\gt 0\) em \(-\pi/2\leq u\leq \pi/2\text{.}\) Finalmente,
\begin{align*} \integral{\frac{1}{\sqrt{49+ x^2}}}{x} \amp = \ln\left|\frac{\sqrt{49 + x^2}}{7} + \frac{x}{7}\right| + C \text{.} \end{align*}

Regra geral para substituições por \(\tan{u}\).

Para o integrando envolvendo \(a^2+ x^2\) ou \(\sqrt{a^2+ x^2}\text{,}\) sendo \(a\) constante, tente \(x=a\tan{u},\) com \(-\pi/2\leq u\leq \pi/2\text{.}\)

Nota 2.1.22.

É importante enfatizar que \(a^2+x^2\) e \(\sqrt{a^2+x^2}\) estão definida no intervalo \((-\infty,+\infty)\text{.}\) Supondo que o domínio do integrando é \((-\infty,+\infty)\) a substituição \(x=a\tan{u}\text{,}\) com \(-\pi/2\leq u\leq \pi/2\) é válida para todo \(x\) do domínio, uma vez que a imagem é \((-\infty,+\infty)\) e tem inversa \(\arctan{\left(\frac{x}{a}\right)}\) em \((-\infty,+\infty)\text{.}\)
Determine \(\integral{\frac{1}{x^2+16}}{x}\text{.}\)
Dica.
Use a substituição por \(u=4\tan{u}\text{,}\) com \(-\pi/2\leq u\leq \pi/2\text{.}\)
Resposta.
\(\frac{1}{4} \, \arctan\left(\frac{1}{4} \, x\right)\)

Subseção 2.1.4 Sugestões de Vídeos

Exercícios 2.1.5 Exercícios

1.

Determine as integrais usando substituição.
  1. \(\displaystyle \integral{3x^2(x^3-7)^7}{x}\)
  2. \(\displaystyle \integral{(2x+3)(x^2+3x+7)^5}{x}\)
  3. \(\displaystyle \integral{x(x^2+7)^4}{x}\)
  4. \(\displaystyle \integral{-(28x+6)(-(7x^2+3x+6))^6}{x}\)
  5. \(\displaystyle \integral{\frac{1}{x-5}}{x}\)
  6. \(\displaystyle \integral{\frac{9}{2x+5}}{x}\)
  7. \(\displaystyle \integral{x^5(5+12x^6)^8}{x}\)
  8. \(\displaystyle \integral{6^{4x}}{x}\)
  9. \(\displaystyle \integral{\frac{7x^6}{(x^7+1)^2}}{x}\)
  10. \(\displaystyle \integral{\frac{2x-4}{x^2-4x-21}}{x}\)
  11. \(\displaystyle \integral{\tan(8x+1)}{x}\)
  12. \(\displaystyle \integral{x^5\sin(x^6)}{x}\)
  13. \(\displaystyle \integral{\frac{\sin{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}}{x}\)
  14. \(\displaystyle \integral{\sec{(3x)\tan{3x}}}{x}\)
  15. \(\displaystyle \integral{\frac{-5}{x(\ln{x})^2}}{x}\)
  16. \(\displaystyle \integral{\sqrt{64+16x^2}}{x}\)
  17. \(\displaystyle \integral{\frac{x^5+1}{\sqrt{x^6+6x}}}{x}\)
  18. \(\displaystyle \integral{\frac{e^\sqrt{5y-10}}{\sqrt{5y-10}}}{y}\)

2.

Use o método de substituição trigonométrica para calcular as seguintes integrais indefinidas.
  1. \(\displaystyle \integral{\sqrt{16-x^2}}{x}\)
  2. \(\displaystyle \integral{\frac{8}{\sqrt{x^2+16}}}{x}\)
  3. \(\displaystyle \integral{\frac{\sqrt{81-x^2}}{x^2}}{x}\)
  4. \(\displaystyle \integral{\frac{10x^3}{\sqrt{x^2+9}}}{x}\)
Ação ou efeito de deduzir algo, baseando-se em palpites, intuições, provas inconclusas ou suposições.
youtu.be/fkQ40Ph0Qkg
youtu.be/DzxEoJP-HXg
youtu.be/LXBSNU91q9U
youtu.be/bAGtzsZHix8
youtu.be/4BdXB1_kM88
youtu.be/LZbsovrrI1M
Informalmente, são polinômios que não pode ser obtido por produtos de dois polinômios não constantes. Por exemplo, \(4+x^2.\)
youtu.be/MIxRmRgGPRs
youtu.be/2ClXz4sluxE
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