Objetivos: Estrutura
- Calcular a primitiva de uma função.
- Definir a integral indefinida.
- Introduzir o conceito de equações diferenciais.
Seção 1.3 Integral Indefinida
Subseção 1.3.1 Primitiva
Definição 1.3.1.
Seja \(f\) uma função definida em um intervalo aberto 1 \(I\text{.}\) Uma primitiva é uma função \(F\) definida em \(I\text{,}\) de modo que
\begin{gather}
\frac{\dd}{\dd x}\left[F(x)\right]=f(x). \tag{1.3.1}
\end{gather}
para todo \(x\) em \(I\text{.}\)
Nota 1.3.2.
É comum reescrever (1.3.1) como \(F'(x)=f(x)\text{.}\)
Exemplo 1.3.3. Determinando Primitivas.
A primitiva de \(f(x)=x^2\) em \((-\infty, +\infty)\) é \(F(x)=\frac{1}{3}x^3\text{.}\)
Solução.
De fato, uma vez que para todo \(x\text{,}\)
\begin{align*}
\frac{\dd}{\dd x}\left[\frac{1}{3}x^3\right]\amp = x^2
\end{align*}
para todo \(x\) em \((-\infty, +\infty)\text{.}\)
Exemplo 1.3.4. Primitivas mais gerais.
Considere \(C \in \mathbb{R}\text{.}\) A função \(G(x)= \frac{1}{3}x^3 + C\) é, também, uma primitiva de \(f(x)=x^2\) em \((-\infty, +\infty)\text{.}\)
Solução.
Segue do fato de \(\frac{\dd}{\dd x}(C)=0\text{,}\) seja qual for o número \(C\text{.}\)
Quantas primitivas pode ter uma função?
Teorema 1.3.5.
Se \(F(x)\) é uma primitiva de \(f(x)\) em um intervalo aberto \(I\) , então \(F(x) + C\text{,}\) seja qual for o valor da constante \(C\text{,}\) é também uma primitiva de \(f(x)\) em \(I\text{.}\)
O Teorema 1.3.5 garante que uma vez conhecida uma primitiva de um função, todas as outras são iguais, a menos de uma constante. É comum se referir a expressão \(F(x)+C\) como a família de primitivas de \(f(x)\text{.}\)
O processo para encontrar a primitiva de uma função \(f(x)\) define uma operação denominada integral indefinida de \(f(x)\) em relação a \(x\text{.}\) Como todas as primitivas de \(f(x)\) são da forma \(F(x) + C\text{,}\) usaremos a notação
\begin{gather}
\integral{f(x)}{x}=F(x) + C \text{,}\tag{1.3.2}
\end{gather}
na qual \(f(x)\) é chamada de integrando e \(C\) de constante de integração.
Como se lê.
\begin{equation*}
\integral{f(x)}{x}=F(x) + C
\end{equation*}
A integral de \(f(x)\) em relação a \(x\) é igual a \(F(x)\) mais uma constante.
Nota 1.3.6. O símbolo \((\displaystyle\int)\) e o símbolo \((\dd x)\).
O símbolo que parece um "S esticado verticalmente" é denominado sinal de integral. Sua origem vem da palavra sum (soma, em português) que diz respeito a definição de integral definida, tópico que será apresentado no momento adequado.
O símbolo de diferencial \(\dd x\) serve para identificar a variável independente. Neste contexto, quando estamos diante da diferencial 3 \(\dd x\) devemos calcular a integral em relação a \(x\text{,}\) assim como \(\dd t\) indica integração em relação a variável \(t\text{.}\)
Exemplo 1.3.7. Determinação de integrais indefinidas.
Determine cada integral a seguir:
(a)
\(\integral{2}{x}.\)
(b)
\(\integral{x}{x}\)
Solução.
Uma vez que \(\frac{\dd}{\dd x}[\frac{x^2}{2}]=x\text{,}\) obtem-se
\begin{equation*}
\integral{x}{x}=\frac{x^2}{2} + C\text{.}
\end{equation*}
(c)
\(\integral{x^2}{x}\)
Solução.
Como \(\frac{x^3}{3}\) é uma primitiva de \(x^2\text{,}\) pois \(\frac{\dd}{\dd x}[\frac{x^3}{3}]=x^2\text{,}\) concluímos que
\begin{equation*}
\integral{x^2}{x}=\frac{x^3}{3} +C\text{.}
\end{equation*}
Exemplo 1.3.8. Primitiva particular.
Para a função \(f(x)=3x+1\text{,}\) determine a primitiva, \(F(x)\text{,}\) que satisfaça \(F(2)=4\text{.}\)
Solução.
A função \(F(x)= 3\left(\frac{x^2}{2}\right) + x+ C\) é a família de primitivas, uma vez que
\begin{align*}
\frac{\dd }{\dd x}\left[3\left(\frac{x^2}{2}\right) + x+ C\right]= 3x+1 \amp \quad \color{gray}{(\text{veja Equação} \,\, \knowl{./knowl/eq-primitiva.html}{\text{(1.3.1)}})}\text{.}
\end{align*}
A condição \(F(2)=4\) fornece a possibilidade de determinar o valor de \(C\) fazendo
\begin{equation*}
F(2)= 3\left(\frac{2^2}{2}\right) + 2 + C = 4
\end{equation*}
para obter \(C=-4\text{.}\) Portanto, a primitiva desejada é
\begin{equation*}
F(x)= 3\left(\frac{x^2}{2}\right) + x - 4\text{.}
\end{equation*}
Integral da função potência.
\begin{equation*}
\integral{x^q}{x} = \frac{x^{q+1}}{q+1} + C, \qquad q\neq - 1.
\end{equation*}
Atividade 1.3.1.
Usando o que foi aprendido até aqui, faça uma demonstração da Integral da função potência.
Dica.
Experimente derivar o lado direito da igualdade solicitada.
Exemplo 1.3.9. Integração da função potência.
(a)
Determine \(\integral{t^7}{t}\text{.}\)
Solução.
O integrando é uma função potência, então basta usar a fórmula da Integral da função potência e obter \(\frac{t^8}{8} + C\text{.}\)
(b)
Determine \(\integral{x^{-2}}{x}\text{.}\)
Solução.
Novamente usando a fórmula da Integral da função potência resultamos em \(\frac{x^{-1}}{-1} + C\text{,}\) que de forma simplificada se torna igual a \(-\frac{1}{x} + C\text{.}\)
Exemplo 1.3.10. \(\integral{\frac{1}{x}}{x}\).
Integral da função potência para \(q=-1\text{:}\)
\begin{equation*}
\integral{\frac{1}{x}}{x} = \ln{|x|} + C\text{.}
\end{equation*}
Solução.
A fórmula da Integral da função potência não é válida para \(q=-1\text{.}\) Logo não é possível utilizá-la para obter a integral indefinida de \(1/x\text{.}\) O passo natural é encontrar uma função cuja derivada seja \(1/x\text{.}\) Sabe-se que
\begin{equation*}
\frac{\dd}{\dd x}\ln{x}= \frac{1}{x}\text{.}
\end{equation*}
Então,
\begin{align}
\integral{\frac{1}{x}}{x} \amp= \ln{x} + C, \, x \gt 0 \text{.}\tag{✶}
\end{align}
De fato, o logaritmo natural não está definido para valores menores que zero. Mas,
\begin{gather}
\frac{\dd}{\dd x}\ln{(-x)} = (-1)\frac{1}{-x}=\frac{1}{x} \text{,}\tag{✶✶}
\end{gather}
para \(x \lt 0\text{.}\) Então,
\begin{equation*}
\integral{\frac{1}{x}}{x}= \ln{(-x)} + C, \quad x \lt 0\text{.}
\end{equation*}
De (✶) e (✶✶) concluímos que \(\ln{x}\) é primitiva de \(\sfrac{1}{x}\) se \(x\gt 0\) e que \(\ln{(-x)}\) é primitiva de \(1/x\) se \(x\lt 0\text{.}\) Mais diretamente, podemos afirmar que \(\ln{|x|}\) é uma primitiva de \(1/x\text{.}\) Portanto,
\begin{equation*}
\integral{\frac{1}{x}}{x} = \ln{|x|} + C\text{.}
\end{equation*}
Exemplo 1.3.11. \(\integral{e^x}{x}\).
Integral da função exponencial:
\begin{equation*}
\integral{e^x}{x}=e^x + C
\end{equation*}
Solução.
Como \(\frac{\dd }{\dd x}[e^x]=e^x\text{,}\) concluímos que a função exponencial é sua própria primitiva. Logo,
\begin{equation*}
\integral{e^x}{x}= e^x + C.
\end{equation*}
Exemplo 1.3.12. \(\integral{\sin{x}}{x}\) e \(\integral{\cos{x}}{x}\).
A integral das funções seno e cosseno:
\begin{align*}
\integral{\sin{x}}{x}\amp =-\cos{x}+C\\
\integral{\cos{x}}{x} \amp=\sin{x}+C
\end{align*}
Solução.
Seguem do fato de
\begin{align*}
\frac{\dd }{\dd x}[\cos{x}]=-\sin{x} \amp \quad \text{e} \quad \frac{\dd }{\dd x}[\sin{x}]=\cos{x}\text{.}
\end{align*}
Propriedadades da Integral Indefinida.
Se \(k\) uma constante e \(F(x)\) e \(G(x)\) são primitivas de \(f(x)\) e \(g(x)\text{,}\) respectivamente, então
- \(\displaystyle \small{\integral{kf(x)}{x}=k\integral{f(x)}{x}}\)
- \(\displaystyle \small{\integral{\left[ f(x) + g(x)\right]}{x}=\integral{f(x)}{x} + \integral{g(x)}{x}}\)
- \(\displaystyle \small{\integral{\left[f(x) - g(x)\right]}{x}=\integral{f(x)}{x} - \integral{g(x)}{x}}\)
Exemplo 1.3.13. Aplicando propriedades.
Determine cada integral:
(a)
\(\integral{2\cos{x}}{x}\text{.}\)
Solução.
\begin{align*}
\integral{2\cos{x}}{x} \amp = 2\integral{\cos{x}}{x} \amp \knowl{./knowl/thm-prop-integral-indefinida-a.html}{\text{Propriedade I}}\\
\amp = 2\sin{x} + C\amp \color{gray}{\frac{\dd}{\dd x}\left[\cos{x}\right]=\sin{x}}
\end{align*}
(b)
\(\integral{(x^2+ e^x)}{x}\text{.}\)
Solução.
\begin{align*}
\integral{(x^2+ e^x)}{x}\amp = \integral{x^2}{x} + \integral{e^x}{x} \amp \knowl{./knowl/thm-prop-integral-indefinida-b.html}{\text{Propriedade II}}\\
\amp = \frac{x^3}{3} + e^x + C \amp \knowl{./knowl/prob-integral-funcao-potencia.html}{\text{Integral da função potência}}
\end{align*}
Exemplo 1.3.14. Integração de funções polinomiais.
Determine cada integral.
(a)
\(\integral{(t^5 + 2t^3 - t + 1)}{t}\text{.}\)
\begin{align*}
\integral{(t^5 + 2t^3 - t + 1)}{t}\amp =
\integral{t^5}{t} + 2\integral{t^3}{t} - \integral{t}{t} +
\integral{1}{t}
\amp \knowl{./knowl/thm-prop-integral-indefinida.html}{\text{Propriedadades da Integral Indefinida}}\\
\amp = \frac{t^{6}}{6} + \frac{t^{4}}{2} - \frac{t^{2} }{2} + t + C \amp \knowl{./knowl/prob-integral-funcao-potencia.html}{\text{Integral da função potência}}
\end{align*}
(b)
\(\integral{(x^2+x)}{x}\text{.}\)
Solução.
\begin{align*}
\integral{(x^2+x)}{x}\amp = \integral{x^2}{x} + \integral{x}{x} \amp \knowl{./knowl/thm-prop-integral-indefinida-b.html}{\text{Propriedade II}}\\
\amp = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + C \amp \knowl{./knowl/prob-integral-funcao-potencia.html}{\text{Integral da função potência}}
\end{align*}
Exemplo 1.3.15. Primitiva particular.
Encontre \(F(x)\) sabendo que \(F''(x)=12x^2+6x-4\) , \(F(0)=4\) e \(F(1)=1\text{.}\)
Solução.
A família de primitivas de \(F''(x)\) é naturalmente
\begin{align*}
F'(x) \amp = 12\frac{x^3}{3} + 6\frac{x^2}{2} -4x+ C \amp \color{gray}{\frac{\dd}{\dd x}\left[F'(x)\right]=F''(x)} \\
\amp =4x^3 + 3x^2-4x+C
\end{align*}
Assim como todas as primitivas de \(F'(x)\) tem a forma
\begin{align*}
F(x)\amp = 4\frac{x^4}{4} + 3\frac{x^3}{3} -4\frac{x^2}{2} + Cx + D \amp \color{gray}{\frac{\dd}{\dd x}\left[F(x)\right]=F'(x)} \\
\amp = x^4 + x^3-2x^2+Cx+D
\end{align*}
Uma vez que \(F\) deve satisfazer \(F(0)=4\) e \(F(1)=1\) temos
\begin{align*}
F(0) \amp = 0+D =4 \\
F(1) \amp = 1+ 1-2+C+4=1
\end{align*}
que nos fornece \(D=4\) e \(C=-3\text{.}\) Por fim, encontramos
\begin{align*}
F(x) = x^4+ x^3-2x^2-3x+4 \amp \text{.}
\end{align*}
Subseção 1.3.2 Primitivas Imediatas
- \(\displaystyle \integral{}{x}=x+ C\)
- \(\displaystyle \integral{x^q}{x}=\frac{x^{q+1}}{q+1} + C,\,q\neq -1\)
- \(\displaystyle \integral{\cos{x}}{x}=\sin{x} + C\)
- \(\displaystyle \integral{\sin{x}}{x}=-\cos{x} + C\)
- \(\displaystyle \integral{\sec^2{x}}{x}=\tan{x} + C\)
- \(\displaystyle \integral{\csc^2{x}}{x}=-\cot{x} + C\)
- \(\displaystyle \integral{\sec{x}\tan{x}}{x}=\sec{x} + C\)
- \(\displaystyle \integral{\csc{x}\cot{x}}{x}=-\csc{x} + C\)
- \(\displaystyle \integral{e^x}{x} = e^x + C\)
- \(\displaystyle \integral{b^x}{x}= \frac{b^x}{\ln{b}} + C\, (b>0, b\neq 1)\)
- \(\displaystyle \integral{\frac{1}{x}}{x}=\ln{|x|} + C\)
- \(\displaystyle \integral{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{x}=\arcsin{x} + C\)
- \(\displaystyle \integral{\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}}{x}=\arcsec{|x|} + C\)
Exemplo 1.3.16. Reescrever antes de integrar.
(a)
\(\integral{\frac{x^2}{x^2+1}}{x}\text{.}\)
Solução.
Somando e subtraindo 1 do numerador do integrando, podemos reescrever a integral de modo permitir aplicar as fórmulas sugeridas na
[cross-reference to target(s) "tabela2-integrais" missing or not unique]. Os passos seguintes são ilustramos logo abaixo:
\begin{align*}
\integral{\frac{x^2}{x^2+1}}{x} \amp = \integral{\left(\frac{x^2+1}{x^2+1}-\frac{1}{x^2+1}\right)}{x} \amp \color{gray}{\text{(reescrevendo o integrando)}}\\
\amp =\integral{\left(1-\frac{1}{x^2+1}\right)}{x} \\
\amp = \integral{1}{x} - \integral{\left(\frac{1}{x^2+1}\right)}{x} \quad \amp \knowl{./knowl/thm-prop-integral-indefinida-c.html}{\text{Propriedade III}}\\
\amp = x - \arctan{x} + C \quad \quad \amp [cross-reference to target(s) "tabela2-integrais" missing or not unique]
\end{align*}
(b)
\(\integral{\frac{x^2- 2x^4}{x^4}}{x}\text{.}\)
Solução.
\begin{align*}
\integral{\frac{x^2- 2x^4}{x^4}}{x} = \amp \integral{\left(\frac{1}{x^2}-2\right)}{x} \quad \amp \color{gray}{\text{(reescrevendo o integrando)}}\\
\amp =\integral{x^{-2}}{x}-\integral{2}{x} \amp \knowl{./knowl/thm-prop-integral-indefinida-b.html}{\text{Propriedade II}}\\
\amp =\frac{x^{-1}}{-1}-2x + C \amp [cross-reference to target(s) "tabela2-integrais" missing or not unique]\\
\amp =-\frac{1}{x}-2x + C \amp \color{gray}{\text{(simplificando)}}
\end{align*}
Exemplo 1.3.17. Identidades trigonométricas.
Determine \(\integral{\frac{\cos{x}}{\sin^2{x}}}{x}\text{.}\)
Solução.
\begin{align*}
\integral{\frac{\cos{x}}{\sin^2{x}}}{x}\amp = \integral{\left(\frac{1}{\sin{x}}\frac{\cos{x}}{\sin{x}}\right)}{x} \quad \amp\color{gray}{\text{(reescrevendo o integrando)}}\\
\amp = \integral{\csc{x}\cot{x}}{x} \amp \color{gray}{\text{(identidades trigonométricas)}}\\
\amp = -\csc{x} + C \quad \amp [cross-reference to target(s) "tabela2-integrais" missing or not unique]
\end{align*}
Subseção 1.3.3 Sugestão de Vídeos
- Conceito de Primitivas:
https://youtu.be/LviZwZMVMgA - Integrais de funções constantes:
https://youtu.be/28RKYYlVaK4 - Resolvendo \(\integral{\frac{1}{x}}{x}\) 6
- Integral de funções básicas:
https://youtu.be/upYYltnJwn0
Subseção 1.3.4 Tecnologia
Tecnologia 1.3.18. Usando o software SageMath.
Software matemático pode ser útil para calcular integrais complicadas. Um ótima opção é utilizar sistema de computação algébrica SageMath 7 . Com uma sintaxe simples e baseada em Python 8 O SageMath (abreviaremos como Sage) é open-source 9 e tem sido bastante utilizado por professores e estudantes de todos os níveis para conferir cálculos algébricos complicados. Uma boa referência em língua portuguesa para este software pode ser encontrado na página
https://www.sagectu.com.br. Detalhes sobre os comandos são resumidos em https://sagectu.com.br/sagecell.html.Sintaxe dos comandos.
Com o SageMath, usando o comando
integral(f, x) é possível calcular a integral indefinida de \(f(x)\) em relação a variável \(x\text{.}\) Por exemplo, o Exemplo 1.3.17 pode ser resolvido com o comando: Mas se a função depender da variável \(t\text{,}\) por exemplo, \(f(t)=t^3-2t^2+ 3t + 1 \text{?}\) Basta declarar a variável \(t\) usando o comando var('t'). Para obter a integral com a notação matemática usual, o Sage possui o comando show, observe:
Nas células acima pode-se notar que os comandos
/, *, ^ +, -, representam a operações de divisão, multiplicação, potenciação, soma e subtração, respectivamente. Existe muitos outros comandos de operações matemáticas importantes, confira em https://sagectu.com.br/sagecell.html.Atividade 1.3.2.
Usando a célula do Sage abaixo, confira todas as integrais apresentadas até aqui. Se a resposta produzida não estiver de acordo com a sua, mostre que elas são equivalentes.
Atividade 1.3.3. Faça você mesmo.
O avanço dos softwares matemáticos tornou possível calcular vários tipos de integrais que dariam muito trabalho se feitos à mão.
(a)
Usando o conteúdo aprendido até aqui encontre
\begin{equation*}
\integral{\frac{5x^2}{(1+x)^{1/3}}}{x} \text{.}
\end{equation*}
(b)
Use Sage para encontrar a integral do item anterior.
Exercícios 1.3.5 Exercícios
1.
Para a função \(f(x)=2(x-1)\text{,}\) encontre a primitiva, \(F(x)\text{,}\) que satisfaça \(F(3)=2\text{.}\)
2.
Para a função \(f(x)=x^{-\frac{1}{3}}-1\text{,}\) encontre a primitiva, \(F(x)\text{,}\) que satisfaça \(F(8)=4\text{.}\)
3.
Determine \(\integral{\left(\sin{t}+3\cos{t}\right)}{t}\)
Dica.
Resposta.
Revise o Exemplo 1.3.12 e Propriedadades da Integral Indefinida.
\(-\cos{t} + 3\sin{t} + C\)
4.
Encontre \(F(x)\) sabendo que \(F''(x)=\frac{6}{\sqrt{x}} + 3\) , \(F'(1)=12\) e \(F(4)=56\text{.}\)
Dica.
Resposta.
Revise o Exemplo 1.3.15 e Integral da função potência.
\(\frac{3}{2}x^{2} + 8x^{\frac{3}{2}} - 3x - 20\)
5.
Determine \(\integral{\frac{x^5+ 2x-1}{x^4}}{x}\text{.}\)
6.
Determine \(\integral{\left(\frac{2}{x}+3e^x\right)}{x}\text{.}\)
Resposta.
\(3 e^{x} + 2 \ln{|x|} + C\)
pt.wikipedia.org/wiki/Intervalo_(matem%C3%A1tica)pt.wikipedia.org/wiki/Diferencial_(infinitesimal)youtu.be/f1epDo4u7bEyoutu.be/bcD4aFioMFIwww.sagemath.orgLinguagem de programação.
Uso gratuito e de código aberto.
