UFRPE-DM Integral de Riemann

Seção 1.2 Integral de Riemann

Subseção 1.2.1 Integral definida como limite de uma Soma de Riemann

Definição 1.2.1.

Seja \(f\) uma função contínua definida em \([a,b]\text{.}\) A integral definida de \(f\) de \(a\) até \(b\) é

\begin{equation*} \integrald{f(x)}{a}{b}{x} = \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}f(x_k^{\ast})\Delta x_k, \end{equation*}

na qual \(\{x_0, x_1, \ldots, x_{n}\}\) é uma partição de \([a,b]\) e \(x_k^{\ast} \in [x_{k-1}, x_k]\text{.}\)

Nota 1.2.2.

A continuidade de \(f\) no intervalo \([a,b]\) garante que o limite da soma de Riemann, expresso na definição, exista e dê o mesmo valor para todas as possíveis escolhas dos número \(x_k^{\ast}\text{.}\) Funções que têm um número finito de descontínuidade em \([a,b]\) gozam dessa propriedade. Em ambos os casos, dizemos que \(f\) é integrável em \([a,b]\text{.}\)

Já que para toda função integrável a escolha dos números \(x_k^{\ast}\) não altera o valor do limite da Soma de Riemann. O teorema a seguir simplificva a definição de integral definida.

Teorema 1.2.3.

Se \(f\) for integrável em \([a,b]\) então

\begin{equation*} \integrald{f(x)}{a}{b}{x} = \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}f(x_k)\Delta x, \qquad 1\leq k \leq n. \end{equation*}

na qual \(\Delta x = \frac{b-a}{n} \) e \(x_k = a+ k\Delta x\text{.}\) \(\ct{(Extremidade direita)}\)

Exemplo 1.2.4.

Usando o Teorema 1.2.3 calcule:

\begin{equation*} \integrald{2x}{0}{3}{x}\text{.} \end{equation*}

Solução.

Para \(n\) subintervalos, temos

\begin{equation*} \Delta x = \frac{b-a}{n} = \frac{3}{n}\text{.} \end{equation*}

Então, \(x_0=0\text{,}\) \(x_1=1/n\text{,}\) \(x_2=6/n\text{,}\) \(x_3=9/n \) induz a fórmula \(x_k=3k/n\text{.}\) De acordo com o Teorema 1.2.3 podemos escrever

\begin{align*} \integrald{2x}{0}{3}{x} = \amp \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}f(x_k)\Delta x \\ = \amp \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}2\left(\frac{3}{n}k\right)\left(\frac{3}{n}\right) \\ = \amp \lim_{n \to \infty}\frac{18}{n^2}\sum_{k=1}^{n}k \\ = \amp \lim_{n \to \infty}\left(\frac{18}{n^2}\right)\left(\frac{n(n+1)}{2}\right) \qquad \ct{veja somatório} \, \knowl{./knowl/sk.html}{\text{Item I}} \\ = \amp \lim_{n \to \infty}\left(9+ \frac{9}{n}\right)\\ = \amp 9\text{.} \end{align*}

Exemplo 1.2.5.

Usando o Teorema 1.2.3 calcule:

\begin{equation*} \integrald{(x^3-6x)}{0}{3}{x}\text{.} \end{equation*}

Solução.

Já que usaremos extremidades à direita para escolha de \(x_k\text{,}\) fazendo \(\Delta x = \frac{b-a}{n} = \frac{3}{n}\) encontramos \(x_k=3k/n\text{.}\) Portanto,

\begin{align*} \integrald{(x^3-6x)}{0}{3}{x} \amp = \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}f(x_k)\Delta x \\ \amp = \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}f\left(\frac{3k}{n}\right)\cdot\frac{3}{n}\\ \amp = \lim_{n \to \infty}\frac{3}{n}\sum_{k=1}^{n}\left[ \left(\frac{3k}{n}\right)^3- 6\left(\frac{3k}{n}\right)\right] \\ \amp = \lim_{n \to \infty}\frac{3}{n}\sum_{k=1}^{n}\left[ \frac{27}{n^3}k^3- \frac{18}{n}k\right] \\ \amp =\lim_{n \to \infty} \left[ \frac{81}{n^4}\sum_{k=1}^{n}k^3 - \frac{54}{n^2}\sum_{k=1}^{n}k\right] \\ \amp =\lim_{n \to \infty} \left\{\frac{81}{n^4}\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2 - \frac{54}{n^2}\frac{n(n+1)}{2}\right\} \qquad \ct{Somatórios} \, \knowl{./knowl/sk3.html}{\text{Item III}} - \knowl{./knowl/sk.html}{\text{Item I}} \\ \amp =\lim_{n \to \infty}\left[\frac{81}{4}\left(1+ \frac{1}{n}\right)^2 - 27\left(1+ \frac{1}{n}\right) \right] \\ \amp = -\frac{27}{4}=-6.75 \text{.} \end{align*}

Nota 1.2.6.

É importante destacar que essa integral não pode ser interpretada como uma área, pois \(f\) assume valores positivos e negativos. Entretanto, ela pode ser interpretada como a diferença de áreas acima e abaixo do eixo \(x\) que estão limitadas pelo gráfico de \(f(x)=x^3-6x\) entre \(0\) e \(3\text{.}\)

Subsubseção 1.2.1.1 Sugestão de vídeos

Problema Resolvido: Integral definida como o limite de uma soma de Riemann .¹

Seção 1.2.1.1 Propriedades da Integral

Teorema 1.2.1.

Sejam \(f, g\) funções integráveis em \([a,b]\) e \(k\) uma constante. Então

\(f+g\) é integrável em \([a,b]\) e
\begin{equation*} \integrald{[f(x)+g(x)]}{a}{b}{x} = \integrald{f(x)}{a}{b}{x}+\integrald{g(x)}{a}{b}{x}\text{.} \end{equation*}
\(kf\) é integrável em \([a,b]\) e
\begin{equation*} \integrald{kf(x)}{a}{b}{x} = k\integrald{f(x)}{a}{b}{x}\text{.} \end{equation*}
Se \(f(x)\geq 0\) em \([a,b]\text{,}\) então
\begin{equation*} \integrald{f(x)}{a}{b}{x}\geq 0\text{.} \end{equation*}
Se \(c\in (a,b)\) e \(f\) é integrável em \([a,c]\) e em \([c,b]\) então
\begin{equation*} \integrald{f(x)}{a}{b}{x} = \integrald{f(x)}{a}{c}{x}+\integrald{f(x)}{c}{b}{x}\text{.} \end{equation*}

Subseção 1.2.2 Teorema Fundamental do Cálculo

Teorema 1.2.2. Teorema Fundamental do Cálculo: parte 1.

Seja \(A(x)\) a área da região sob o gráfico de \(f\) de \(a\) até \(b\text{.}\) Se \(f\) for contínua em um intervalo \([a,b]\text{,}\) então

\begin{equation*} \integrald{f(x)}{a}{x}{x}= A(x). \end{equation*}

Demonstração.

Aqui, por uma questão de simplicidade, vamos assuir que a função \(f\) seja não-negativa, isso fica ilustrado na [cross-reference to target(s) "fig-sageplot-TFC1" missing or not unique]. Sendo assim, note que a área da região sombreada da figura [cross-reference to target(s) "fig-sageplot-TFC2" missing or not unique] vale \(A(x+ \Delta x)- A(x)\text{.}\) Além disso, para \(\Delta x\) essa área é aproximada como um retângulo de altura \(f(x)\) e largura \(\Delta x\text{.}\) Logo,

\begin{equation*} A(x+ \Delta x)- A(x) \approx f(x)\Delta x. \end{equation*}

Daí,

\begin{equation*} f(x)\approx \frac{A(x+ \Delta x)- A(x)}{\Delta x}. \end{equation*}

Fazendo \(\Delta x \to 0\) na igualdade acima, temos

\begin{align*} \lim_{\Delta x \to 0} = \amp \frac{A(x+ \Delta x)- A(x)}{\Delta x}.\\ \amp = A'(x) \end{align*}

que quer dizer que a função área \(A(x)\) é uma primitiva de \(f\text{.}\) Portanto,

\begin{equation*} \integrald{f(x)}{a}{x}{x}= A(x). \end{equation*}

Teorema 1.2.3. Teorema Fundamental do Cálculo: parte 2.

Se \(f(x)\) é contínua no intervalo \([a,b]\text{,}\) e a derivada de \(F(x)\) é igual a \(f(x)\) para todo \(x\) nesse intervalo, então

\begin{gather*} \integrald{f(x)}{a}{b}{x}= F(b) - F(a) \text{,} \end{gather*}

em que \(F\) é qualquer primitiva de \(f\text{,}\) isto é, \(F'(x)=f(x)\) para todo \(x\in[a,b]\text{.}\)

Demonstração.

Segue do Teorema 1.2.2 que

\begin{equation*} \integrald{f(x)}{a}{x}{x}= A(x). \end{equation*}

Então, podemos afirmar que

\begin{equation*} A(a) = \integrald{f(x)}{a}{a}{x} = 0 \end{equation*}

\begin{equation*} A(b) = \integrald{f(x)}{a}{b}{x}. \end{equation*}

Seja \(F(x)\) outra primitiva qualquer de \(f\text{.}\) Logo, \(F'(x) = f(x) = A'(x)\) e portanto, \(A(x)=F(x)+ C\text{,}\) na qual \(C\) é uma constante. Então,

\begin{align*} \integrald{f(x)}{a}{b}{x} \amp = A(b) \\ \amp = A(b) - A(a) \qquad \ctm{A(a)=0} \\ \amp = [A(b)- A(a)] \\ \amp = [F(b) + C]- [F(a)+C] \\ \amp = F(b) - F(a). \end{align*}

Subsubseção 1.2.2.1 Sugestão de vídeos

Teorema: Outra Demonstração para o Teorema Fundamental do Cálculo ¹

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Cálculo M II: notas de aula

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Seção 1.2 Integral de Riemann

Subseção 1.2.1 Integral definida como limite de uma Soma de Riemann

Definição 1.2.1.

Nota 1.2.2.

Teorema 1.2.3.

Exemplo 1.2.4.

Exemplo 1.2.5.

Nota 1.2.6.

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Seção 1.2.1.1 Propriedades da Integral

Teorema 1.2.1.

Subseção 1.2.2 Teorema Fundamental do Cálculo

Teorema 1.2.2. Teorema Fundamental do Cálculo: parte 1.

Demonstração.

Teorema 1.2.3. Teorema Fundamental do Cálculo: parte 2.

Demonstração.

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