Índice de Aulas
Aula 9
Referências:
[1] Guidorizzi, H.L., Um Curso de Cálculo, vol. 1, LTC. 5ª ed.
[2] Silva, L., Santos M., Machado, R., Elementos de Computação Matemática com SageMath, SBM, 2019.
Observação:
Nota de aula produzida usando o software SageMath, usando o notbook Jupyter.Use o SageMathCell com vários exemplos em: sagectu.com.br/sagecell.html
1 - Gráficos
Roteiro para o esboço do gráfico de uma função:
a) Verificar o domínio (maior subconjunto de $\mathbb{R}$ que a função está bem definida)
b) Determinar os intervalos de crescimento e de decrescimento
c) Estudar a concavidade e encontrar os pontos de inflexão
d) Calcular os limites laterais de $f$ nos seguintes casos:
i) $p\notin D_f$, mas é extremo de um dos intervalos que compõem $D_f$.
ii) $p\in D_f$, mas não é contínua em $p$.
e) Calcular os limites para $x\rightarrow +\infty$ e $x\rightarrow -\infty$
f) Determinar ou ter uma aproximação das raízes de $f$.
</BLOCKQUOTE>
i) $p\notin D_f$, mas é extremo de um dos intervalos que compõem $D_f$. ii) $p\in D_f$, mas não é contínua em $p$.
e) Calcular os limites para $x\rightarrow +\infty$ e $x\rightarrow -\infty$
f) Determinar ou ter uma aproximação das raízes de $f$.
</BLOCKQUOTE>
Exemplo 1.
Esboce o gráfico de $f(x) = x^3-3x^2+4.$
Solução
a) $D_f=\mathbb{R}$
b) Intervalos de crescimento e de decrescimento.
$$ f'(x)=3x^2-6x \therefore 3x^2-6x = 0 \Leftrightarrow x=0 \text{ ou } x=2 $$
Logo
$$\begin{cases} f \text{ é estritamente crescente em } \left(-\infty, 0\right)\cup \left( 2, +\infty \right) \\
f \text{ é estritamente decrescente em } \left(0, 2 \right) \end{cases}$$
c) Concavidade e pontos de inflexão
$$f''(x) = 6x-6 \therefore 6x-6 = 0 \Leftrightarrow x=1$$
Portanto, 1 é ponto de inflexão e
$$\begin{cases} f \text{ tem concavidade para baixo em } \left(-\infty, 1\right) \\
f \text{ tem concavidade para cima em } \left(1, +\infty \right) \end{cases}$$
d) Como $f$ é contínua em $\mathbb{R}$ nós pulamos este item.
e) Calcular os limites para $x\rightarrow +\infty$ e $x\rightarrow -\infty$.
$$ \lim_{x\rightarrow +\infty} x^3 - 3*x^2 + 4 = +\infty $$
e
$$ \lim_{x\rightarrow -\infty} x^3 - 3*x^2 + 4 = -\infty $$
f) Determinar as raízes de $f$.
As raízes de $f$ são -1 e 2.
plot(((x+1)*(x-2)^2), (-2, 4))
Assíntota Horizontal e Assíntota Oblíqua:
Seja $f$ uma função. Se existir uma reta $y = ax+b$ tal que
$$\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty} \left[ f(x) - (ax+b)\right] = 0,$$
ou
$$\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty} \left[ f(x) - (ax+b)\right] = 0,$$
então diremos que $y = ax+b$ é uma assíntota para $f$. Se $a=0$, temos uma assíntota horizontal, e se $a\neq 0$ temos uma assíntota oblíqua.
Exemplo de Assíntota Oblíqua:
$f(x) = \sqrt{x^2+1}$
p1 = plot(sqrt(x^2+1), (-5, 5), aspect_ratio=1)
p2 = plot(x, (-5, 5), aspect_ratio=1, ymin=0, linestyle='--', color='gray')
p3 = plot(-x, (-5, 5), aspect_ratio=1, ymin=0, linestyle='--', color='gray')
(p1+p2+p3).show(figsize=[5,5])
Exemplo de Assíntota Horizontal:
$f(x) = e^{-x}+1$
p1 = plot(e^(-x)+1, (-1, 5), aspect_ratio=1)
p2 = plot(1, (-1, 5), aspect_ratio=1, ymin=0, linestyle='--', color='gray')
(p1+p2).show(figsize=[5,5])
Exemplo 2
Determine a assíntota e esboce o gráfico de
$$f(x) = \frac{x^3}{2x^2+2}$$
Solução
Observe que
$$f(x) = \frac{x^3}{2x^2+2} = \frac{x}{2} - \frac{x}{2x^2+2}$$
Como
$$\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{x}{2x^2+2} = 0 = \lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{x}{2x^2+2}$$
quando $x$ tende a $+\infty$ ou $-\infty$, o gráfico de $f$ vai encostando na assíntota
$$y=\frac{x}{2}.$$
a) $D_f=\mathbb{R}$.
b) Intervalos de crescimento e de decrescimento.
$$f'(x) = \frac{x^4+3x^2}{2(x^4+2x^2+1)}$$
$2(x^4+2x^2+1)> 0$ e $x^4+3x^3\geq 0$, obtendo a igualdade apenas em $x=0$. Logo $f'(x)>0$, para $x\neq 0$ e portanto $f$ é estritamente crescente em $\mathbb{R}$.
c) Concavidade e pontos de inflexão.
$$ f''(x) = -\frac{x^{3} - 3 \, x}{x^{6} + 3 \, x^{4} + 3 \, x^{2} + 1}$$
$x^{6} + 3 \, x^{4} + 3 \, x^{2} + 1>0$, portanto basta analisar $-(x^{3} - 3 \, x)$. As raízes de $-(x^3-3x)$ são $x = -\sqrt{3}, 0$ e $\sqrt{3}$.
$$\begin{cases} f \text{ tem concavidade para baixo em } \left(-\infty, -\sqrt{3}\right) \cup \left(0, \sqrt{3}\right) \\
f \text{ tem concavidade para cima em } \left(-\sqrt{3}, 0 \right)\cup \left(\sqrt{3}, +\infty \right) \end{cases}$$
d) $$ \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{x^3}{2x^2+2} = +\infty \text{ e } \lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{x^3}{2x^2+2} = -\infty $$
e) zero é a única raiz de $f$.
f) $y = \frac{x}{2}$ é a única assíntota.
p1 = plot((x^3)/(2*x^2+2), (-3, 3))
p2 = plot(x/2, (-3, 3), aspect_ratio=1, linestyle='--', color='gray')
(p1+p2)
2 - Máximos e Mínimos
Definição 2.1 (máximo/mínimo global)
Sejam $f$ uma função e $p\in D_f$a) Dizemos que $f(p)$ é o valor máximo global de $f$ ou que $p$ é um ponto de máximo global de $f$ se, para todo $x\in D_f$, temos $f(x)\leq f(p)$.
b) Dizemos que $f(p)$ é o valor mínimo global de $f$ ou que $p$ é um ponto de mínimo global de $f$ se, para todo $x\in D_f$, temos $f(x)\geq f(p)$.
$\blacksquare$
Definição 2.2 (máximo/mínimo local)
Sejam $f$ uma função e $p\in D_f$a) Dizemos que $f(p)$ é o valor máximo local de $f$ ou que $p$ é um ponto de máximo local de $f$ se, existe um intervalo $(a,b)$, tal que, para todo $x\in D_f\cap (a, b)$, temos $f(x)\leq f(p)$.
b) Dizemos que $f(p)$ é o valor mínimo local de $f$ ou que $p$ é um ponto de mínimo local de $f$ se, existe um intervalo $(a,b)$, tal que, para todo $x\in D_f\cap (a, b)$, temos $f(x)\geq f(p)$.
$\blacksquare$
Teorema 2.1
Seja $f$ uma função derivável em $p$, na qual $p$ é um ponto interior do $D_f$. Para que $p$ seja um ponto de máximo ou de mínimo local, é necessário que $$f'(p)=0$$
Demonstação
Suponha, sem perda de generalidade, que $p$ é ponto de máximo local. Como $p$ é ponto interior do $D_f$, existe $r>0$, tal que
$$ f(x)\leq f(p) ~~\forall x\in (p-r, p+r). $$Para $p<x<p+r$, temos $x-p >0$ e $f(x)-f(p)<0$, logo
$$ \frac{f(x)-f(p)}{x-p} \leq 0 \therefore \lim_{x\rightarrow p^+} \frac{f(x)-f(p)}{x-p} \leq 0.$$Para $p-r<x<p$, temos $x-p <0$ e $f(x)-f(p)<0$, logo
$$ \frac{f(x)-f(p)}{x-p} \geq 0 \therefore \lim_{x\rightarrow p^+} \frac{f(x)-f(p)}{x-p} \geq 0.$$Como $f$ é derivável, os limites laterais são iguais, portanto, $f'(p)=0$.
$\blacksquare$
Suponha, sem perda de generalidade, que $p$ é ponto de máximo local. Como $p$ é ponto interior do $D_f$, existe $r>0$, tal que
$$ f(x)\leq f(p) ~~\forall x\in (p-r, p+r). $$Para $p<x<p+r$, temos $x-p >0$ e $f(x)-f(p)<0$, logo
$$ \frac{f(x)-f(p)}{x-p} \leq 0 \therefore \lim_{x\rightarrow p^+} \frac{f(x)-f(p)}{x-p} \leq 0.$$Para $p-r<x<p$, temos $x-p <0$ e $f(x)-f(p)<0$, logo
$$ \frac{f(x)-f(p)}{x-p} \geq 0 \therefore \lim_{x\rightarrow p^+} \frac{f(x)-f(p)}{x-p} \geq 0.$$Como $f$ é derivável, os limites laterais são iguais, portanto, $f'(p)=0$.
Definição (Ponto crítico)
Seja $f$ uma função real, dizemos que $p\in D_f$ é um ponto crítico de $f$ se $f'(p)=0$.
$\blacksquare$
Seja $f$ uma função real, dizemos que $p\in D_f$ é um ponto crítico de $f$ se $f'(p)=0$.
Teorema 2.2
Sejam $f$ uma função que admite derivada de 2ª ordem contínua num intervalo aberto $(a, b)$ com $p \in (a, b)$. $$\begin{cases} \text{a) } f'(p)=0 \text{ e } f''(p)>0 \Rightarrow p \text{ é ponto de mínimo local } \\ \text{b) } f'(p)=0 \text{ e } f''(p)<0 \Rightarrow p \text{ é ponto de máximo local } \end{cases}$$$\blacksquare$
Demonstação
a) Como $f''$ é contínua em $(a, b)$ existe $r>0$ tal que $(p-r, p+r)\subset (a, b)$ e
$$ f''(x)>0 \text{ para } x\in (p-r, p+r). $$Portanto, $f'$ é estritamente crescente neste intervalo, como $f'(p)=0$, temos
$$\begin{cases} f'(x)<0 \text{ para } x\in (p-r, p) \\
f'(x)>0 \text{ para } x\in (p, p+r) \end{cases}$$Assim, $f$ é estritamente crescente em $(p-r, p)$ e estritamente decrescente em $(p, p+r)$.
Portanto, $p$ é ponto de mínimo local.
$\blacksquare$
a) Como $f''$ é contínua em $(a, b)$ existe $r>0$ tal que $(p-r, p+r)\subset (a, b)$ e
$$ f''(x)>0 \text{ para } x\in (p-r, p+r). $$Portanto, $f'$ é estritamente crescente neste intervalo, como $f'(p)=0$, temos
$$\begin{cases} f'(x)<0 \text{ para } x\in (p-r, p) \\ f'(x)>0 \text{ para } x\in (p, p+r) \end{cases}$$Assim, $f$ é estritamente crescente em $(p-r, p)$ e estritamente decrescente em $(p, p+r)$. Portanto, $p$ é ponto de mínimo local.
Exemplo 1
Seja $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ dada por $f(x)=x^4-x^3-5x^2+1$. Determine os pontos críticos de $f$ e classifique-os.
$\blacksquare$
Seja $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ dada por $f(x)=x^4-x^3-5x^2+1$. Determine os pontos críticos de $f$ e classifique-os.
Solução
$$ f'(x) = 4x^3 - 3x^2 - 10x $$Portanto
$$f'(x)=0 \Leftrightarrow 4x^3 - 3x^2 - 10x = 0 \Leftrightarrow x(4x^2 - 3x - 10)=0 $$Ou seja,
$$ f'(x)=0 \Leftrightarrow x = -\frac{5}{4} \text{ ou } x = 0 \text{ ou } x = 2 $$Agora, vamos analisar os pontos críticos $x = -5/4, x = 0$ e $x=2$.
$$ f''(x) = 12x^2-6x-10. $$$$\begin{cases} f''\left(-\frac{5}{4}\right) = \frac{65}{4} >0 \Rightarrow x = -\frac{5}{4} \text{ é ponto de mínimo local} \\
f''(0) = -10 <0 \Rightarrow x = 0 \text{ é ponto de máximo local} \\
f''(2) = 26 >0 \Rightarrow x = 2 \text{ é ponto de mínimo local}\end{cases}$$ $\blacksquare$
Portanto
$$f'(x)=0 \Leftrightarrow 4x^3 - 3x^2 - 10x = 0 \Leftrightarrow x(4x^2 - 3x - 10)=0 $$Ou seja,
$$ f'(x)=0 \Leftrightarrow x = -\frac{5}{4} \text{ ou } x = 0 \text{ ou } x = 2 $$Agora, vamos analisar os pontos críticos $x = -5/4, x = 0$ e $x=2$.
$$ f''(x) = 12x^2-6x-10. $$$$\begin{cases} f''\left(-\frac{5}{4}\right) = \frac{65}{4} >0 \Rightarrow x = -\frac{5}{4} \text{ é ponto de mínimo local} \\ f''(0) = -10 <0 \Rightarrow x = 0 \text{ é ponto de máximo local} \\ f''(2) = 26 >0 \Rightarrow x = 2 \text{ é ponto de mínimo local}\end{cases}$$f = x^4-x^3-5*x^2+1
p1 = plot(f, (-1.8, 2.8))
c1 = circle((-5/4, f(x=-5/4)), 0.15, thickness=2, color='black')
c2 = circle((0, f(x=0)), 0.15, thickness=2, color='black')
c3 = circle((2, f(x=2)), 0.15, thickness=2, color='black')
(p1+c1+c2+c3)
Exemplo 2
Seja $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ dada por $f(x)=\sqrt[3]{x^3-2x+1}$. Determine os pontos críticos de $f$ e classifique-os.
$\blacksquare$
Seja $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ dada por $f(x)=\sqrt[3]{x^3-2x+1}$. Determine os pontos críticos de $f$ e classifique-os.
plot((x^3-2*x+1)^(1/3), (-1, 2))
f = (x^3-2*x+1)^(1/3)
g = diff(f, x)
h = diff(g, x)
g.full_simplify().show()
solve(x^3-2*x+1==0, x)