Universidade Federal Rural de Pernambuco

Departamento de Matemática

Disciplina: Cálculo M I

Prof. Ricardo Machado

Índice de Aulas

Aula 8

1. Preparação para o Teorema do Valor Médio (TVM)
2. Teorema do Valor Médio (TVM)
3. Aplicações do TVM

Referências:

[1] Guidorizzi, H.L., Um Curso de Cálculo, vol. 1, LTC. 5ª ed.

[2] Silva, L., Santos M., Machado, R., Elementos de Computação Matemática com SageMath, SBM, 2019.

Observação:

Nota de aula produzida usando o software SageMath, usando o notbook Jupyter.

Use o SageMathCell com vários exemplos em: sagectu.com.br/sagecell.html

1 - Preparação para o Teorema do Valor Médio (TVM)

Teorema 1.1: (Teorema de Weierstrass)

Seja $f$ uma função contínua em $[a, b]$, então existem $x_1$ e $x_2$ em $[a, b]$ tais que

$$f(x_1)\leq f(x)\leq f(x_2) ~~~ \forall ~~ x\in [a, b].$$

df = diff(x^3-10*x^2+50)
solve(df==0, x)

[x == (20/3), x == 0]

weierstrass()

Demonstração:

Veja págino 81 do livro: Análise Real Vol 1. Elon Lages Lima.

$\blacksquare$

Teorema 1.2: (Teorema de Rolle)

Seja $f$ uma função contínua em $[a, b]$, derivável em $(a, b)$ com $f(a)=f(b)$, então existirá pelo menos um $c\in (a, b)$ tal que $f'(c)=0$.

rolle(x^2-2*x+1.2, 1, (0.5, 1.5), (-0.1, 0.6))

Demonstração:

Caso 1:
$f$ é constante em $[a, b]$.

Neste caso $f'(x)=0$ em $(a, b)$, logo, para qualquer $c\in (a, b)$, temos $f'(c)=0$.

Caso 2: $f$ não é constante em $[a, b]$.

Como $f$ é contínua em $[a, b]$, pelo Teorema de Weierstrass, existem $x_1$ e $x_2$ em $[a, b]$, tais que $f(x_1)$ e $f(x_2)$ são, respectivamente, os valores mínimo e máximo de $f$ em $[a, b]$. Como $f$ não é constante, temos $f(x_1)\neq f(x_2)$ e como $f(a) = f(b)$, necessariamente $x_1$ ou $x_2$ pertence a $(a, b)$. Daí, como a derivada nos pontos de mínimo e máximo são iguais a zero, temos $f'(x_1)=0$ ou $f'(x_2)=0$. Portanto, existe $c$ em $(a, b)$ tal que $f'(c)=0$.

$\blacksquare$

2 - Teorema do Valor Médio (TVM)

Teorema 2.1: (Teorema do Valor Médio (TVM))

Se $f$ for contínua em $[a, b]$ e derivável em $(a, b)$, então existirá pelo menos um $c$ em $(a, b)$ tal que

$$f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

Demonstração:

Considere a função $g(x)$, com $x\in[a, b]$, dada por

$$g(x) = f(x) -\left(f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\right)$$

Observe que $g(a)=g(b)$ e que

$$g'(x) = f'(x) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Pelo Teorema de Rolle, existe $c\in(a, b)$ tal que

$$g'(c)=0$$

Ou seja,

$$0 = f'(c) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \Rightarrow f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

$\blacksquare$

Exemplo 1:

Gráfico da função $f(x)=x^3-x^2$ no intervalo $(-0.7, 1.4)$ com dois valores $c$, tais que

$$f'(c) = \frac{f(1.4)-f(-0.7)}{1.4-(-0.7)}$$

f = x^3-x^2
sol = solve( diff(f, x) == (f(1.4)-f(-0.7))/(1.4-(-0.7)),x )
show(sol)
n(sol[0].rhs()), n(sol[1].rhs())

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left[x = -\frac{1}{30} \, \sqrt{331} + \frac{1}{3}, x = \frac{1}{30} \, \sqrt{331} + \frac{1}{3}\right]$$

(-0.273113513288675, 0.939780179955342)

anime_grafico_f_tan_tvm(x^3 - x^2, 0.025, (-0.7, 1.4), (-1, 1))

3 - Aplicações do TVM:

Intervalos de Crescimento e de Decrescimento

Como Consequência do TVM temos o seguinte teorema:

Teorema 3.1

Seja $f$ contínua no intervalo $(a,b)$.

a) Se $f'(x)>0$ para todo $x \in (a,b)$, então $f$ será estritamente crescente em $(a,b)$.

b) Se $f'(x)<0$ para todo $x \in (a,b)$, então $f$ será estritamente decrescente em $(a,b)$.

Demonstração:

a) Já que $f'(x)>0$, $\forall x \in (a, b)$, sejam, $c, d \in (a, b)$, com $c<d$. Vamos mostrar que $f(c)<f(d).$

Como $f$ satisfaz as hipóteses do TVM, existe $\tilde{x}\in (c, d)$ tal que

$$f(d)-f(c) = f'(\tilde{x})(d-c).$$

Como $f'(\tilde{x})>0$, pois $\tilde{x}\in (a,b)$ e $d-c>0,$ segue

$$f(d) - f(c) > 0 \Rightarrow f(c)<f(d).$$

Portando, como a escolha de $c < d$, foi arbitrária, o resultado segue.

$\blacksquare$

Exemplo 3.1

Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de $f(x) = 2x^3-x^2+3x+1$. Esboce o gráfico.

$\blacksquare$

Solução do Exemplo 3.1

$$f'(x) = 6x^2-2x+3$$

e

$$6x^2-2x+3 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{3} \text{ ou } x = 3.$$

Como o gráfico de f'(x) é uma parábola, sabemos que

$$\begin{cases} f'(x)>0 & \text{ em } \left(-\infty, \frac{1}{3}\right)\cup \left( 3, +\infty \right) \\ f'(x)<0 & \text{ em } \left(\frac{1}{3}, 3 \right) \end{cases}$$

Como $f$ é contínua, pelo Teorema 3.1, temos

$$\begin{cases} f \text{ é estritamente crescente em } \left(-\infty, \frac{1}{3}\right)\cup \left( 3, +\infty \right) \\ f \text{ é estritamente decrescente em } \left(\frac{1}{3}, 3 \right) \end{cases}$$

$\blacksquare$

df = diff(2*x^3-x^2+3*x+1, x)
df.show()

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}6 \, x^{2} - 2 \, x + 3$$

show(solve(df==0, x))

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left[x = \left(\frac{1}{3}\right), x = 3\right]$$

plot(x^3-5*x^2+3*x+1, (-4, 8))

Exercício 3.1

Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de

$$f(x) = \dfrac{x^2-x}{1+3x^2}.$$

Esboce o gráfico.

$\blacksquare$

plot((x^2-x)/(1+3*x^2), (-2, 2), aspect_ratio=1)

Concavidade e Pontos de Inflexão

Definição 3.1 (Concavidade)

Sejam $f$ uma função derivável no intervalo $(a,b)$ e $T_p(x)$ a reta tangente em $(p, f(p))$ ao gráfico de $f$, $p\in (a, b)$.

a) Dizemos que $f$ tem concavidade para cima em $(a, b)$ se

$$f(x)>T_p(x)$$

para quaisquer $x$ e $p$ em $(a, b)$, com $x\neq p.$

b) Dizemos que $f$ tem concavidade para baixo em $(a, b)$ se

$$f(x)<T_p(x)$$

para quaisquer $x$ e $p$ em $(a, b)$, com $x\neq p.$

$\blacksquare$

rolle(x^3-x^2, 1, (-0.7, 0.5), (-1, 1))

Definição 3.2 (Ponto de inflexão)

Sejam $f$ uma função e $p\in D_f$, com $f$ contínua em $p$. Dizemos que $p$ é ponto de inflexão de $f$ se existem $a, b \in D_f$, com $p\in (a, b)$, tal que as concavidades de $f$ em $(a, p)$ e em $(p, b)$ sejam opostas.

$\blacksquare$

p1 = plot(x^3+1)
p2 = plot(1, color='red')
(p1+p2)

p1 = plot(sin(x), (-2, 2), aspect_ratio=1)
p2 = plot(x, color='red')
(p1+p2)

Teorema 3.2

Seja $f$ uma função que admite derivada até 2ª ordem no intervalo $(a, b)$.

a) Se $f''(x)>0$ para $x \in (a,b)$, então $f$ terá concavidade para cima em $(a, b)$.

b) Se $f''(x)<0$ para $x \in (a,b)$, então $f$ terá concavidade para baixo em $(a, b)$.

Demonstração:

a) Sejam $f''(x)>0$ para $x \in (a,b)$ e $p \in (a, b)$ arbitrário. Vamos mostrar que

$$f(x)>T_p(x),$$

para todo $x\in (a, b)$, com $x\neq p$, na qual, $T_p(x) = f'(p)(x-p)+f(p)$.

Considere $g(x) = f(x)-T_p(x)$, logo

$$g'(x) = f'(x)-f'(p), ~~ x\in(a,b),$$

pois $T_p'(x) = f'(p)$. Como $f''(x)>0$ em $(a, b)$, pelo Teorema 3.1, $f'$ é estritamente crescente em $(a, b)$. Então,

$$\begin{cases} g'(x)>0, & \text{para } x>p \\ g'(x)<0, & \text{para } x<p. \end{cases}$$

Mais uma vez pelo Teorema 3.1,

$$\begin{cases} g(x) \text{ é estritamente decrescente para } x<p, \text{ com } x\in (a, b)\\ g(x) \text{ é estritamente crescente para } x>p, \text{ com } x\in (a, b). \end{cases}$$

Como $g(p)=0$, temos $g(x)>0$ para todo $x\in(a, b)$, $x\neq p$.

E como $g(x) = f(x) - T_p(x)$, temos

$$f(x)>T_p(x) \text{ para todo } x\in(a, b), x\neq p.$$

$\blacksquare$

Exemplo 3.2

Estude a função

$$f(x) = x^3-3x^2-9x$$

com relação à concavidade e pontos de inflexão.

$\blacksquare$

Solução

$$f''(x) = 6x-6$$ $$6x-6 = 0 \Leftrightarrow x = 1$$ $$\begin{cases} 6x-6>0, & \text{para } x>1\text{. Concavidade para cima em } (1, +\infty) \\ 6x-6<0, & \text{para } x<1\text{. Concavidade para baixo em } (-\infty, 1) \\ 6x-6=0, & \text{Ponto de inflexão em } x=1. \end{cases}$$

$\blacksquare$

f = x^3-3*x^2-9*x
p1 = plot(f, (-3, 5))
p2 = plot( diff(f, x)(x=1)*(x-1) + f(1), (-0.5, 2.3), color='red')
(p1+p2)

Exercício 3.2

Estude a função

$$f(x) = x^2+\frac{1}{x}$$

com relação à concavidade e pontos de inflexão.

$\blacksquare$

plot(x^2+1/x, (-3, 3), ymin=-6, ymax=6, detect_poles='show')