Índice de Aulas
Aula 8
Referências:
[1] Guidorizzi, H.L., Um Curso de Cálculo, vol. 1, LTC. 5ª ed.
[2] Silva, L., Santos M., Machado, R., Elementos de Computação Matemática com SageMath, SBM, 2019.
Observação:
Nota de aula produzida usando o software SageMath, usando o notbook Jupyter.Use o SageMathCell com vários exemplos em: sagectu.com.br/sagecell.html
1 - Preparação para o Teorema do Valor Médio (TVM)
Teorema 1.1: (Teorema de Weierstrass)
Seja $f$ uma função contínua em $[a, b]$, então existem $x_1$ e $x_2$ em $[a, b]$ tais que $$f(x_1)\leq f(x)\leq f(x_2) ~~~ \forall ~~ x\in [a, b].$$
df = diff(x^3-10*x^2+50)
solve(df==0, x)
weierstrass()
Demonstração:
Veja págino 81 do livro: Análise Real Vol 1. Elon Lages Lima.$\blacksquare$
Teorema 1.2: (Teorema de Rolle)
Seja $f$ uma função contínua em $[a, b]$, derivável em $(a, b)$ com $f(a)=f(b)$, então existirá pelo menos um $c\in (a, b)$ tal que $f'(c)=0$.
rolle(x^2-2*x+1.2, 1, (0.5, 1.5), (-0.1, 0.6))
Demonstração:
Caso 1:
$f$ é constante em $[a, b]$.Neste caso $f'(x)=0$ em $(a, b)$, logo, para qualquer $c\in (a, b)$, temos $f'(c)=0$.
Caso 2: $f$ não é constante em $[a, b]$.
Como $f$ é contínua em $[a, b]$, pelo Teorema de Weierstrass, existem $x_1$ e $x_2$ em $[a, b]$, tais que $f(x_1)$ e $f(x_2)$ são, respectivamente, os valores mínimo e máximo de $f$ em $[a, b]$. Como $f$ não é constante, temos $f(x_1)\neq f(x_2)$ e como $f(a) = f(b)$, necessariamente $x_1$ ou $x_2$ pertence a $(a, b)$. Daí, como a derivada nos pontos de mínimo e máximo são iguais a zero, temos $f'(x_1)=0$ ou $f'(x_2)=0$. Portanto, existe $c$ em $(a, b)$ tal que $f'(c)=0$.
$\blacksquare$
2 - Teorema do Valor Médio (TVM)
Teorema 2.1: (Teorema do Valor Médio (TVM))
Se $f$ for contínua em $[a, b]$ e derivável em $(a, b)$, então existirá pelo menos um $c$ em $(a, b)$ tal que $$ f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} $$
Demonstração:
Considere a função $g(x)$, com $x\in[a, b]$, dada por $$ g(x) = f(x) -\left(f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\right) $$Observe que $g(a)=g(b)$ e que
$$ g'(x) = f'(x) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}. $$Pelo Teorema de Rolle, existe $c\in(a, b)$ tal que
$$g'(c)=0$$Ou seja,
$$ 0 = f'(c) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \Rightarrow f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}. $$$\blacksquare$
Exemplo 1:
Gráfico da função $f(x)=x^3-x^2$ no intervalo $(-0.7, 1.4)$ com dois valores $c$, tais que $$ f'(c) = \frac{f(1.4)-f(-0.7)}{1.4-(-0.7)} $$
f = x^3-x^2
sol = solve( diff(f, x) == (f(1.4)-f(-0.7))/(1.4-(-0.7)),x )
show(sol)
n(sol[0].rhs()), n(sol[1].rhs())
anime_grafico_f_tan_tvm(x^3 - x^2, 0.025, (-0.7, 1.4), (-1, 1))
3 - Aplicações do TVM:
Intervalos de Crescimento e de Decrescimento
Como Consequência do TVM temos o seguinte teorema:
Teorema 3.1
Seja $f$ contínua no intervalo $(a,b)$.a) Se $f'(x)>0$ para todo $x \in (a,b)$, então $f$ será estritamente crescente em $(a,b)$.
b) Se $f'(x)<0$ para todo $x \in (a,b)$, então $f$ será estritamente decrescente em $(a,b)$.
Demonstração:
a) Já que $f'(x)>0$, $\forall x \in (a, b)$, sejam, $c, d \in (a, b)$, com $c<d$. Vamos mostrar que $f(c)<f(d).$Como $f$ satisfaz as hipóteses do TVM, existe $\tilde{x}\in (c, d)$ tal que
$$ f(d)-f(c) = f'(\tilde{x})(d-c). $$Como $f'(\tilde{x})>0$, pois $\tilde{x}\in (a,b)$ e $d-c>0,$ segue
$$ f(d) - f(c) > 0 \Rightarrow f(c)<f(d). $$Portando, como a escolha de $c < d$, foi arbitrária, o resultado segue.
$\blacksquare$
Exemplo 3.1
Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de $f(x) = 2x^3-x^2+3x+1$. Esboce o gráfico.$\blacksquare$
Solução do Exemplo 3.1
$$ f'(x) = 6x^2-2x+3 $$e
$$ 6x^2-2x+3 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{3} \text{ ou } x = 3. $$Como o gráfico de f'(x) é uma parábola, sabemos que
$$\begin{cases} f'(x)>0 & \text{ em } \left(-\infty, \frac{1}{3}\right)\cup \left( 3, +\infty \right) \\
f'(x)<0 & \text{ em } \left(\frac{1}{3}, 3 \right) \end{cases}$$Como $f$ é contínua, pelo Teorema 3.1, temos
$$\begin{cases} f \text{ é estritamente crescente em } \left(-\infty, \frac{1}{3}\right)\cup \left( 3, +\infty \right) \\
f \text{ é estritamente decrescente em } \left(\frac{1}{3}, 3 \right) \end{cases}$$ $\blacksquare$
e
$$ 6x^2-2x+3 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{3} \text{ ou } x = 3. $$Como o gráfico de f'(x) é uma parábola, sabemos que
$$\begin{cases} f'(x)>0 & \text{ em } \left(-\infty, \frac{1}{3}\right)\cup \left( 3, +\infty \right) \\ f'(x)<0 & \text{ em } \left(\frac{1}{3}, 3 \right) \end{cases}$$Como $f$ é contínua, pelo Teorema 3.1, temos
$$\begin{cases} f \text{ é estritamente crescente em } \left(-\infty, \frac{1}{3}\right)\cup \left( 3, +\infty \right) \\ f \text{ é estritamente decrescente em } \left(\frac{1}{3}, 3 \right) \end{cases}$$df = diff(2*x^3-x^2+3*x+1, x)
df.show()
show(solve(df==0, x))
plot(x^3-5*x^2+3*x+1, (-4, 8))
Exercício 3.1
Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de $$f(x) = \dfrac{x^2-x}{1+3x^2}.$$Esboce o gráfico.
$\blacksquare$
plot((x^2-x)/(1+3*x^2), (-2, 2), aspect_ratio=1)
Concavidade e Pontos de Inflexão
Definição 3.1 (Concavidade)
Sejam $f$ uma função derivável no intervalo $(a,b)$ e $T_p(x)$ a reta tangente em $(p, f(p))$ ao gráfico de $f$, $p\in (a, b)$.a) Dizemos que $f$ tem concavidade para cima em $(a, b)$ se
$$ f(x)>T_p(x) $$para quaisquer $x$ e $p$ em $(a, b)$, com $x\neq p.$
b) Dizemos que $f$ tem concavidade para baixo em $(a, b)$ se
$$ f(x)<T_p(x) $$para quaisquer $x$ e $p$ em $(a, b)$, com $x\neq p.$
$\blacksquare$
rolle(x^3-x^2, 1, (-0.7, 0.5), (-1, 1))
Definição 3.2 (Ponto de inflexão)
Sejam $f$ uma função e $p\in D_f$, com $f$ contínua em $p$. Dizemos que $p$ é ponto de inflexão de $f$ se existem $a, b \in D_f$, com $p\in (a, b)$, tal que as concavidades de $f$ em $(a, p)$ e em $(p, b)$ sejam opostas.$\blacksquare$
p1 = plot(x^3+1)
p2 = plot(1, color='red')
(p1+p2)
p1 = plot(sin(x), (-2, 2), aspect_ratio=1)
p2 = plot(x, color='red')
(p1+p2)
Teorema 3.2
Seja $f$ uma função que admite derivada até 2ª ordem no intervalo $(a, b)$.a) Se $f''(x)>0$ para $x \in (a,b)$, então $f$ terá concavidade para cima em $(a, b)$.
b) Se $f''(x)<0$ para $x \in (a,b)$, então $f$ terá concavidade para baixo em $(a, b)$.
Demonstração:
a) Sejam $f''(x)>0$ para $x \in (a,b)$ e $p \in (a, b)$ arbitrário. Vamos mostrar que $$ f(x)>T_p(x), $$para todo $x\in (a, b)$, com $x\neq p$, na qual, $T_p(x) = f'(p)(x-p)+f(p)$.
Considere $g(x) = f(x)-T_p(x)$, logo
$$g'(x) = f'(x)-f'(p), ~~ x\in(a,b), $$pois $T_p'(x) = f'(p)$. Como $f''(x)>0$ em $(a, b)$, pelo Teorema 3.1, $f'$ é estritamente crescente em $(a, b)$. Então,
$$ \begin{cases} g'(x)>0, & \text{para } x>p \\ g'(x)<0, & \text{para } x<p. \end{cases}$$Mais uma vez pelo Teorema 3.1,
$$ \begin{cases} g(x) \text{ é estritamente decrescente para } x<p, \text{ com } x\in (a, b)\\ g(x) \text{ é estritamente crescente para } x>p, \text{ com } x\in (a, b). \end{cases}$$Como $g(p)=0$, temos $g(x)>0$ para todo $x\in(a, b)$, $x\neq p$.
E como $g(x) = f(x) - T_p(x)$, temos
$$f(x)>T_p(x) \text{ para todo } x\in(a, b), x\neq p. $$$\blacksquare$
Exemplo 3.2
Estude a função $$f(x) = x^3-3x^2-9x $$com relação à concavidade e pontos de inflexão.
$\blacksquare$
Solução
$$f''(x) = 6x-6$$$$6x-6 = 0 \Leftrightarrow x = 1 $$$$ \begin{cases}
6x-6>0, & \text{para } x>1\text{. Concavidade para cima em } (1, +\infty) \\
6x-6<0, & \text{para } x<1\text{. Concavidade para baixo em } (-\infty, 1) \\
6x-6=0, & \text{Ponto de inflexão em } x=1.
\end{cases}$$ $\blacksquare$
f = x^3-3*x^2-9*x
p1 = plot(f, (-3, 5))
p2 = plot( diff(f, x)(x=1)*(x-1) + f(1), (-0.5, 2.3), color='red')
(p1+p2)
Exercício 3.2
Estude a função $$f(x) = x^2+\frac{1}{x} $$com relação à concavidade e pontos de inflexão.
$\blacksquare$
plot(x^2+1/x, (-3, 3), ymin=-6, ymax=6, detect_poles='show')
