Universidade Federal Rural de Pernambuco

Departamento de Matemática

Disciplina: Cálculo M I

Prof. Ricardo Machado

Índice de Aulas

Aula 5

1. Derivada de função implícita
2. Aproximações Lineares
3. Diferencial

Referências:

[1] Guidorizzi, H.L., Um Curso de Cálculo, vol. 1, LTC. 5ª ed.

[2] Silva, L., Santos M., Machado, R., Elementos de Computação Matemática com SageMath, SBM, 2019.

[3] http://www.aedmoodle.ufpa.br/pluginfile.php/334396/mod_resource/content/1/Aula_14.pdf

Observação:

Nota de aula produzida usando o software SageMath, usando o notbook Jupyter.

Use o SageMathCell com vários exemplos em: sagectu.com.br/sagecell.html

1 - Derivada de função implícita

Uma função está escrita na forma explícita quando a variável $y=f(x)$ está de uma lado da igualdade e do outro lado os termos em $x$. Caso contrário, a função está escrita na forma implícita.

Exemplo 1

Função na forma explícita. $f:\mathbb{R}\setminus\{-2\} \rightarrow \mathbb{R}$, com $y = f(x)$, dada por:

$$ y = \frac{3+x}{x+2} $$

Forma implícita da função:

$$ xy+2y-x=3 $$

Exemplo 2

Derivando a função do Exemplo 1, dada na forma explícita. $$ y' = \frac{1\cdot (x+2)-(3+x)\cdot 1}{(x+2)^2} = \frac{-1}{(x+2)^2}$$

Exemplo 3

Derivando a função do Exemplo 1, dada na forma implícita. a função $y$ deve ser vista como função de $x$, ou seja, como $y(x)$, assim: $$ x\cdot y(x)+2\cdot y(x)-x=3 $$

E aplicamos as regras da soma e do produto: $$ x\cdot y(x)+2\cdot y(x)-x=3 \Rightarrow $$

$$ (x\cdot y(x)+2\cdot y(x)-x)'=(3)'\Rightarrow $$

$$ (x\cdot y(x))'+(2\cdot y(x))'+(-x)')=0 \Rightarrow $$

$$ \overbrace{1\cdot y(x) + x\cdot y'(x)}^{\text{regra do produto}} +2\cdot y'(x) - 1 = 0 \Rightarrow $$

$$ x\cdot y'(x) +2\cdot y'(x) = 1-y(x) \Rightarrow $$

$$ y'(x)\cdot(x+2) = 1-y(x) \Rightarrow $$

$$ y' = \frac{1-y}{x+2} ~~~ (*) $$

Como $y = \dfrac{3+x}{x+2}$, substituindo em $(*)$, temos:

$$ y' = \frac{1-y}{x+2} = \frac{1-\frac{3+x}{x+2}}{x+2} = \frac{(x+2)-(3+x)}{(x+2)^2} = \frac{-1}{(x+2)^2}$$

y = var('y')
f = x*y + 2*y - x -3
show(f.implicit_derivative(y,x))

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-\frac{y - 1}{x + 2}$$

Observação:

Observe os Exemplos 2 e 3, trabalho exigido para calcular a mesma derivada foi bem maior no caso da derivada implícita. Qual a vantagem em aprender esse método?

Exercício 1

Expresse $\frac{dy}{dx}$ em termos de $x$ e de $y$, na qual $y=f(x)$ é uma função diferenciável dada implicitamente pela equação

a) $xy^2+2y=3$

b) $y^5+y=x$

c) $xe^y+xy=3$

y = var('y')
f = x*y^2 + 2*y - 3
show(f.implicit_derivative(y,x))

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-\frac{y^{2}}{2 \, {\left(x y + 1\right)}}$$

y = var('y')
f = y^5 + y - x
show(f.implicit_derivative(y,x))

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\frac{1}{5 \, y^{4} + 1}$$

y = var('y')
f = x*e^y + x*y - 3
show(f.implicit_derivative(y,x))

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-\frac{y + e^{y}}{x e^{y} + x}$$

Exercício 2

Suponha que $y=f(x)$ seja uma função derivável dada implicitamente pela equação $y^3+2xy^2+x=4$. Suponha, ainda que, $1\in D_f$.

a) Calcule $f(1)$

b) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de $f$ no ponto de abscissa $1$.

2 - Aproximações Lineares

Considere uma curva derivável $f(x)$ e um ponto $(p, f(p))$ sobre ela. Em seguida, considere a reta tangente ao gráfico de $f$ no ponto $(p, f(p))$, que possui equação $L(x) = f(p) + (p)(x − p)$.

grafico_f_tan(x^3 - x^2, 0.9, (-0.7, 1.4), (-1, 1))

Olhando de perto, a região próxima do ponto $(p, f (p))$, notamos que a curva se aproxima bastante da reta tangente, como podemos observar abaixo:

grafico_f_tan(x^3 - x^2, 0.9, (0.8, 1), (-0.15, 0))

Aproximação Linear:

Dizemos então que a reta tangente é uma boa aproximação para o gráfico de $f$ (de fato, num certo sentido, dizemos que a função $L$ é a função polinomial de primeiro grau que melhor aproxima, localmente, a função $f$). Denotamos esta aproximação por $f(x) ≈ L(x)$, para x suficientemente próximo de $p$ . Assim,

$$ f(x) ≈ f(p) + f'(p)(x − p) $$

Essa aproximação é chamada de aproximação linear de $f$ em torno de $p$.

Linearização:

A função dada por

$$ L(x) = f(p) + f'(p)(x − p) $$

é chamada de linearização de $f$ em $p$.

Exemplo 4

Considere $f (x) = \text{sen} (x)$. Determine a linearização de $f$ em $p = 0$. Utilize essa linearização para determinar uma aproximação de $\text{sen}(0,1)$ . Utilize uma calculadora para determinar o erro cometido.

Solução (Exemplo 4)

Note que $f'(x) = \cos x$ e que $f(0) = 0$ e $f'(0) = 1$. Sendo assim, a linearização desejada é

$$ L(x) = f(0) + f'(0)(x − 0) = 0 + 1\cdot(x − 0) = x. $$

Assim, para determinar uma aproximação para $sen(0,1)$, basta lembrar que

$$ L(x) ≈ f (x).$$

Sendo assim, como $L(0,1) = 0,1$, temos

$$ \text{sen}(0,1) ≈ 0,1 $$

Utilizando uma calculadora, obtemos que

abs(sin(0.1)-0.1)

0.000166583353171851

Desse modo, o erro obtido na aproximação é de $0,016\%$.

Exercício 3

Encontre a linearização de $f (x) = 5x − 2$ em $p = 2$.

y = var('y')
f = 5*x-2
(y - f(2) == diff(f, x)(x=2)*(x-(2))).show()
(y == diff(f, x)(x=2)*(x-(2)) + f(2)).show()

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}y - 8 = 5 \, x - 10$$

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}y = 5 \, x - 2$$

Exercício 4

Encontre a aproximação linear da função $g(x) = \sqrt[3]{1+x}$ em torno de $x=0$ e use-a para aproximar os números $\sqrt[3]{0,95}$ e $\sqrt[3]{1,1}$.

y = var('y')
f = (1+x)^(1/3)
(y - f(0) == diff(f, x)(x=0)*(x-(0))).show()
h = diff(f, x)(x=0)*(x-(0)) + f(0)
(y == diff(f, x)(x=0)*(x-(0)) + f(0)).show()

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}y - 1 = \frac{1}{3} \, x$$

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}y = \frac{1}{3} \, x + 1$$

h(x=-0.05)

0.983333333333333

h(x=0.1)

1.03333333333333

3 - Diferencial

Até aqui, $\frac{dy}{dx}$ tem sido visto como uma simples notação para a derivada de $y=f(x)$. Agora, vamos interpretar $\frac{dy}{dx}$ como um quociente entre dois acréscimos.

Tomemos um ponto $(x, f (x))$ sobre o gráfico e denotemos por $∆x$ um acréscimo em $x$, como mostrado abaixo:

diferencial(x^3 - x^2+0.4)

Chamando $dy$ a variação sofrida pela linearização $L$ de $f$ em $p$ (cujo gráfico é a reta tangente ao gráfico de $f$ em $p$), correspondente ao acréscimo $dx = ∆x$ , a partir do ponto $p$ , como ilustrado abaixo

diferencial2(x^3 - x^2+0.4)

Como a derivada é o coeficiente angular da reta tangente, temos

$$f'(x) = \tan{\alpha} = \frac{dy}{\Delta x}$$

e portanto

$$ dy = f'(x)\Delta x. $$

Observe que

$$ \Delta y = f(x+\Delta x)-f(x) $$

Tomando $∆x$ cada vez mais próximo de zero e que este limite é a derivada, teremos que

$$ \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f'(x) $$

Logo, para $∆x$ muito próximo de zero, podemos considerar

$$ \frac{\Delta y}{\Delta x} ≈ f'(x) \text{ ou ainda } \Delta y ≈ f'(x)\Delta x $$

Dessa forma, para $∆x = dx$ , obtemos a seguinte aproximação:

$$ ∆y ≈ dy = f'(x)dx $$

Exercício 5

Compare os valores de $∆y$ e $dy$ se $y = x^3 + x^2 − 2x + 1$ e $x$ varia de $2$ para $2,05$.

f = x^3+x^2-2*x+1
f(2.05) - f(2) #Delta y

0.717624999999998

diff(f, x)(x=2)*0.05 #dy

0.700000000000000

Exercício 6

Utilizando a diferencial, calcule um valor aproximado para o acréscimo $\Delta y$ que a função $y=x^2$ sofre quando se passa de $x=1$ a $a+dx=1,001$. Calcule o erro.

f = x^2
diff(f, x)(x=1)*0.001 # dy

0.00200000000000000

f(x=1.001)-f(x=1) #Delta y

0.00200099999999970

f(x=1.001)-f(x=1) - diff(f, x)(x=1)*0.001 #erro

9.99999999697423e-7