Índice de Aulas
Aula 2
Referências:
[1] Guidorizzi, H.L., Um Curso de Cálculo, vol. 1, LTC. 5ª ed.
[2] Silva, L., Santos M., Machado, R., Elementos de Computação Matemática com SageMath, SBM, 2019.
Observação:
Nota de aula produzida usando o software SageMath, usando o notbook Jupyter.Use o SageMathCell com vários exemplos em: sagectu.com.br/sagecell.html
Teorema. Seja $n\neq0$ um natural. São válidas as fórmulas de derivação:¶
a) $f(x)=x^n \Rightarrow f'(x)=nx^{n-1}$.
b) $f(x)=x^{-n} \Rightarrow f'(x)=-nx^{-n-1}$, $x\neq0$.
c) $f(x)=x^{\frac{1}{n}} \Rightarrow f'(x)=\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}$, onde $x>0$ se $n$ for par e $x\neq0$ se $n$ for ímpar $(n\geq2)$.
Dem. ¶
a) $f'(x) = \displaystyle \lim_{h\rightarrow 0} \frac{(x+h)^n-x^n}{h}$ (faça a mudança de variável $x+h=t$),
logo, $f'(x) = \displaystyle \lim_{t\rightarrow x} \frac{t^n-x^n}{t-x} = $
$\displaystyle\hspace{2cm} = \lim_{t\rightarrow x} \dfrac{(t-x)\overbrace{(t^{n-1}+t^{n-2}x+t^{n-3}x^2+\cdots+x^{n-1})}^{n \text{ parcelas }}}{t-x} =$
$\displaystyle\hspace{2cm} = \lim_{t\rightarrow x}~ \overbrace{(t^{n-1}+t^{n-2}x+t^{n-3}x^2+\cdots+x^{n-1})}^{n \text{ parcelas }}$.
Assim, $~~f'(x) = \overbrace{(x^{n-1}+x^{n-1}\cdots+x^{n-1})}^{n \text{ parcelas }} = nx^{n-1}$.
b) $f'(x) = \displaystyle \lim_{h\rightarrow 0} \frac{\frac{1}{(x+h)^n}-\frac{1}{x^n}}{h} = \lim_{h\rightarrow 0} -\frac{(x+h)^n-x^n}{h}\cdot\frac{1}{(x+h)^nx^n}$. ¶
Como $\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0} \frac{(x+h)^n-x^n}{h} = nx^{n-1} ~~~~ e ~~~~ \lim_{h\rightarrow 0} \frac{1}{(x+h)^nx^n} = \frac{1}{x^{2n}}$
Temos $f'(x) = -nx^{n-1}\cdot\dfrac{1}{x^{2n}}=-nx^{-n-1}$.
c) $f'(x) = \displaystyle \lim_{h\rightarrow 0} \frac{\sqrt[n]{x+h}-\sqrt[n]{x}}{h} = \lim_{t\rightarrow x} \frac{\sqrt[n]{t}-\sqrt[n]{x}}{t-x}$¶
Fazendo $u=\sqrt[n]{t}$ e $v=\sqrt[n]{x}~~(t\rightarrow x \Rightarrow u\rightarrow v)$ resulta:
$f'(x) = \displaystyle \lim_{u\rightarrow v} \frac{u-v}{u^n-v^n} = \lim_{u\rightarrow v} \frac{1}{\frac{u^n-v^n}{u-v}}=\frac{1}{nv^{n-1}}$.
Assim, para $x\neq 0$ e $x$ no domínio de $f$,
$f'(x)=\frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}$
ou seja, $f'(x)=\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}$.
Exercício 1. Seja $f(x)=x^4$. Calcule. ¶
a) $f'(x)$
b) $f'\left( \frac{1}{2} \right)$
diff(x^4, x).show()
diff(x^4, x)(x=1/2).show()
Exercício 2. Seja $f(x)=x^3$.¶
a) Calcule $f'(x)$
b) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de $f$ no ponto de abscissa $1$. (ou seja, $x=1$)
grafico_f_tan(x^3, 1, (-1,1.5), (-1, 2.5))
diff(x^3, x).show()
y = var('y')
f = x^3
(y == diff(f, x)(x=1)*(x-1)+f(x=1)).show()
Exercício 3. Calcule $f'(x)$ sendo¶
a) $f(x)=x^{-3}$.
b) $f(x)=\dfrac{1}{x^5}$.
diff(x^(-3), x).show()
diff(1/x^5, x).show()
Exercício 4. Seja $f(x)=\sqrt{x}$. Calcule¶
a) $f'(x)$.
b) $f'(3)$.
diff(x^(1/2), x).show()
diff(x^(1/2), x)(x=3).show()
Exercício 5. ¶
Determine a equação da reta tangente ao gráfico de $f(x)=\sqrt[3]{x}$ no ponto de abscissa 8.
grafico_f_tan(x^(1/3), 8, (0, 10), (-0.5, 3))
y = var('y')
f = x^(1/3)
(y-f(x=8) == diff(f, x)(x=8)*(x-8)).show()
(y == diff(f, x)(x=8)*(x-8) +f(x=8)).show()
Teorema. São válidas as fórmulas de derivação.¶
a) $f(x)=e^x \Rightarrow f'(x) = e^x$.
b) $g(x) = \ln{x} \Rightarrow g'(x) = \dfrac{1}{x}, x>0$.
Dem.¶
a) $f'(x) = \displaystyle \lim_{h\rightarrow 0} \frac{e^{x+h}-e^x}{h} = \lim_{h\rightarrow 0} e^x\cdot\frac{e^h-1}{h} = e^x.$
limit((e^x-1)/x, x=0)
b) $g'(x) = \displaystyle \lim_{h\rightarrow 0} \frac{\ln(x+h)-\ln(x)}{h} = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{1}{h}\cdot\ln\left( 1+\frac{h}{x} \right)$, fazendo $\left( u = \dfrac{h}{x} \right)$
$g'(x)\displaystyle = \lim_{u\rightarrow 0} \ln(1+u)^{\frac{1}{xu}}=\lim_{u\rightarrow 0} \frac{1}{x}\cdot \ln(1+u)^{\frac{1}{u}}=\frac{1}{x}.$
limit((1+x)^(1/x), x=0)
limit(ln((1+x)^(1/x)), x=0)
Exercício 6.
Seja $f(x) = 2^x$. Mostre que $f'(x) = 2^n\ln 2$.
Exercício 7.
Seja $f(x) = \log_3x$. Calcule $f'(x)$.
dica:
$log_3 x = \frac{\ln x}{\ln 3}$
log(e)
diff(log(x, 3)).show()
Teorema. São válidas as fórmulas de derivação.¶
a) $sen'x = \cos x$
b) $\cos' x = -sen~x$
c) $\tan'x = (\sec{x})^2 = \sec^2x$
d) $\sec'{x} = \sec{x}\cdot\tan{x}$
e) $cotg'x = -cosec^2x$
f) $cosec'x = -cosec~x\cdot cotg~x$
Dem.¶
a) $\displaystyle sen'{x} = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{sen(x+h)-sen(x)}{h} = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{\cos(x)\cdot sen(h) + \cos(h)\cdot sen(x) - sen(x)}{h} = $
$\hspace{2cm}\displaystyle= \lim_{h\rightarrow 0} \frac{\cos(x)\cdot sen(h)}{h} + \lim_{h\rightarrow 0}\frac{sen(x)\cdot \cos(h) - sen(x)}{h}=$
$\hspace{2cm}\displaystyle = \cos(x)\cdot \lim_{h\rightarrow 0} \frac{sen(h)}{h} + sen(x)\cdot \lim_{h\rightarrow 0}\frac{\cos(h) - 1}{h}=$
$\hspace{2cm}=\cos(x)\cdot 1 + sen(x)\cdot 0 = \cos(x)$
h = var('h')
sin(x+h).simplify_trig()
limit((cos(x)-1)/x, x=0)
Dem.¶
b) $\displaystyle \cos'{x} = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{\cos(x+h)-\cos(x)}{h} = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{\cos(h)\cdot\cos(x) - sen(h)\cdot sen(x) - \cos(x)}{h} = $
$\hspace{2cm}\displaystyle= \lim_{h\rightarrow 0} \frac{\cos(h)\cdot \cos(x) - \cos(x)}{h} - \lim_{h\rightarrow 0}\frac{sen(x)\cdot sen(h)}{h}=$
$\hspace{2cm}\displaystyle = \cos(x)\cdot \lim_{h\rightarrow 0} \frac{\cos(h)-1}{h} - sen(x)\cdot \lim_{h\rightarrow 0}\frac{sen(h)}{h}=$
$\hspace{2cm}=\cos(x)\cdot 0 -sen(x)\cdot 1 = -sen(x)$
h = var('h')
cos(x+h).simplify_trig()
Observação:
Os itens c), d), e), f) serão feitos na Aula 3, usando o Teorema da derivada da soma $(f+g)'$, do produto $(f\cdot g)'$ e do quociente de funções $\left( \frac{f}{g} \right)'$.
Exercício 8. ¶
Determine a equação da reta tangente ao gráfico de $f(x)=sen(x)$ no ponto de abscissa $0$.
grafico_f_tan(sin(x), 0, (-pi,pi), (-1.5, 1.5))
y = var('y')
f = sin(x)
(y == diff(f, x)(x=0)*(x-0)+f(x=0)).show()
Exercício 9. ¶
Determine a equação da reta tangente ao gráfico de $f(x)=\cos(x)$ no ponto de abscissa $0$.
grafico_f_tan(cos(x), 0, (-pi,pi), (-1.5, 1.5))
y = var('y')
f = cos(x)
(y == diff(f, x)(x=0)*(x-0)+f(x=0)).show()