Índice de Aulas
Aula 1
Referências:
[1] Guidorizzi, H.L., Um Curso de Cálculo, vol. 1, LTC. 5ª ed.
[2] Silva, L., Santos M., Machado, R., Elementos de Computação Matemática com SageMath, SBM, 2019.
Observação:
Nota de aula produzida usando o software SageMath, usando o notbook Jupyter.Use o SageMathCell com vários exemplos em: sagectu.com.br/sagecell.html
A idéia é tentar definir a reta tangente ao gráfico de uma função $f(x)$ no ponto $(p, f(p))$, tal reta fica determinada se soubermos seu coeficiente angular.
Passo 1:
Antes de definir a reta tangente ao gráfico de uma função $f(x)$ no ponto $(p, f(p))$, vamos escrever a equação da reta $r_x$, que para pelos pontos $(p, f(p))$ e $(x, f(x))$.
In [3]:
plot_f_reta(x^3-x^2, 1.3, 0.9, (-0.7, 1.4), (-1, 1), tg = False)
Out[3]:
Coeficiente angular de $r_x$.
O coeficiente angular da reta $r_x$, que passa pelos pontos $(p, f(p))$ e $(x, f(x))$ é dado por: $$ \dfrac{f(x)-f(p)}{x-p} $$
In [2]:
p1 = plot_f_reta(x^3-x^2, 1.3, 0.9, (-0.7, 1.4), (-1, 1), tg = False)
l1 = line(((0.9, -0.081),(1.3, -0.081)), color='orange', thickness=2, linestyle='--')
l2 = line(((1.3, -0.081), (1.3, 0.507)), color='orange', thickness=2, linestyle='--')
(p1+l1+l2)
Out[2]:
Reta $r_x$ passando pelos pontos $(p, f(p))$ e $(x, f(x))$.
Abaixo, temos o gráfico de $f(x) = x^3-x^2$ junto com a reta passando pelos pontos $(0.9, f(0.9))$ e $(1.3, f(1.3))$.O coeficiente angular dessa reta é dado por: $ \dfrac{f(x)-f(p)}{x-p} $, ou seja $ \dfrac{f(1.3)-f(0.9)}{1.3-0.9}$.
In [15]:
p1 = plot_f_reta(x^3-x^2, 1.3, 0.9, (-0.7, 1.4), (-1, 1))
l1 = line(((0.9, -0.081),(1.3, -0.081)), color='orange', thickness=2, linestyle='--')
l2 = line(((1.3, -0.081), (1.3, 0.507)), color='orange', thickness=2, linestyle='--')
tx = text('$r_x$', (0.6, -0.7), color='red', fontsize=20)
(p1+l1+l2+tx)
Out[15]:
Como a equação da reta, com coeficiente angular $m$, passando pelo ponto $(a, f(a))$ é dada por $$ y = m(x-a) + f(a).$$
A equação da reta $r_x$ (para $x=1.3$) é dada por: $$ y = \frac{f(1.3)-f(0.9)}{1.3-0.9}(x-0.9) + f(0.9). $$
Reta $r_x$, para $x=1.1$:
In [15]:
plot_f_reta(x^3-x^2, 1.1, 0.9, (-0.7, 1.4), (-1, 1))
Out[15]:
Passo 2:
Fazer $x$ tender a $p$. Assim, a renta $r_x$ tende a reta $T_p$, tangente ao gráfico de $f$ no ponto $(p, f(p))$.
$\blacksquare$
Fazer $x$ tender a $p$. Assim, a renta $r_x$ tende a reta $T_p$, tangente ao gráfico de $f$ no ponto $(p, f(p))$.
$\blacksquare$
In [19]:
anima_ate_tangente(x^3-x^2, 1.35, 0.9, 0.01, (-0.7, 1.4), (-1, 1))
Definição: Sejam $f$ uma função e $p$ um ponto de seu domínio. O limite¶
$$\lim_{x\rightarrow p} \frac{f(x)-f(p)}{x-p}$$¶
quando existe e é finito, denomina-se $derivada$ de $f$ em $p$ e indica-se por $f'(p)$. Assim: $$f'(p) = \lim_{x\rightarrow p} \frac{f(x)-f(p)}{x-p}$$ Se $f$ admite derivada em $p$, então diremos que $f$ é derivável ou diferenciável em $p$.
$\blacksquare$
Observação: Segue das propriedades dos limites que ¶
$$f'(p) = \lim_{x\rightarrow p} \frac{f(x)-f(p)}{x-p}~~ ou ~~ f'(p) = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(p+h)-f(p)}{h}$$¶
a reta de equação $$ y - f(p) = f'(p)(x-p) $$
é, por definição, a reta tangente ao gráfico de $f$ no ponto $(p, f(p))$.
$\blacksquare$
Exemplo 1:¶
Gráfico da função $f(x) = x^3-x^2$ com a reta tangente ao seu gráfico, no ponto $(0.9, f(0.9))$.
In [3]:
grafico_f_tan(x^3 - x^2, 0.9, (-0.7, 1.4), (-1, 1))
Out[3]:
Exemplo 2:¶
Gráfico da função $f(x) = x^3-x^2$ com a reta tangente ao seu gráfico, no ponto $(-0.1, f(-0.1))$.
In [21]:
grafico_f_tan(x^3 - x^2, -0.1, (-0.7, 1.4), (-1, 1))
Out[21]:
Exemplo 3: ¶
Gráfico de $f(x) = x^3-x^2$ com a tangente no ponto $(x, f(x)) = (1, f(1))$ (cor vermelha).
In [4]:
grafico_f_tan(x^3 - x^2, 1, (-0.7, 1.4), (-1, 1))
Out[4]:
Exemplo 4:¶
Gráfico da função $f(x) = x^3-x^2$ com uma animação das retas tangentes ao seu gráfico, de $x = -0.7$ até $x = 1.4$.
In [23]:
anime_grafico_f_tan(x^3 - x^2, 0.025, (-0.7, 1.4), (-1, 1))
Exemplo 5:¶
Gráfico da função $f(x) = sen(x)$ com uma animação das retas tangentes ao seu gráfico, de $x = 0$ até $x = 2\pi$.
In [24]:
anime_grafico_f_tan(sin(x), 0.05, (0, 2*pi), (-1.3, 1.3))
Exercício 1. Seja $f(x) = x^2$. Calcule:¶
a) $f'(1)$
b) $f'(x)$
c) $f'(-3)$
d) Faça os gráficos da função $f(x)$, $f'(x)$ e a reta tangente ao gráfico de $f(x)$ no ponto $(-0.6, f(-0.6))$.
R. a) Calcular $f'(1) = \displaystyle\lim_{x\rightarrow 1} \dfrac{f(x) - f(1)}{x-1} = \lim_{x\rightarrow 1} \dfrac{x^2 - 1^2}{x-1} = \lim_{x\rightarrow 1} (x+1) = 2.$
In [25]:
diff(x^2, x)(x = 1)
Out[25]:
R. b) Calcular $f'(x) = \displaystyle\lim_{h\rightarrow 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h\rightarrow 0} \dfrac{(x+h)^2 - x^2}{h} = $
$ = \displaystyle\lim_{h\rightarrow 0} \dfrac{x^2+2xh + h^2 - x^2}{h} = \lim_{h\rightarrow 0} \dfrac{2xh + h^2}{h} = \lim_{h\rightarrow 0} (2x + h) = 2x.$
In [26]:
diff(x^2, x)
Out[26]:
R. c) Calcular $f'(-3) = 2\cdot(-3) = -6$
In [27]:
diff(x^2, x)(x = -3)
Out[27]:
R. d)
In [19]:
grafico_f_tan(x^2, -0.6, (-1.5, 1.5), (-0.2, 3)) + plot(diff(x^2, x),(-1.5, 1.5), color = 'black')
Out[19]:
Exercício 2. Seja $f(x) = x^2$. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de $f$ no ponto ¶
a) $(1, f(1))$
b) $(-1, f(-1))$
R. a) $y-f(1) = f'(1)(x-1) \Rightarrow y = 2(x-1)+1 \Rightarrow y = 2x-1.$
In [27]:
y = var('y')
f = x^2
(y - f(1) == diff(f, x)(x=1)*(x-1)).show()
(y == diff(f, x)(x=1)*(x-1) + f(1)).show()
In [28]:
grafico_f_tan(x^2 , 1, (-1.5, 1.5), (-0.3, 2.5))
Out[28]:
R. b) $y-f(-1) = f'(-1)(x-(-1)) \Rightarrow y = -2x-1$
In [1]:
y = var('y')
f = x^2
(y - f(-1) == diff(f, x)(x=-1)*(x-(-1))).show()
(y == diff(f, x)(x=-1)*(x-(-1)) + f(-1)).show()
In [29]:
grafico_f_tan(x^2 , -1, (-1.5, 1.5), (-0.3, 2.5))
Out[29]:
Exercício 3. Seja $f(x) = k$ uma função constante. Mostre que $f'(x)=0$ para todo $x$.¶
R. Ex3) $f'(x) = \displaystyle \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{k-k}{h} = \lim_{h\rightarrow 0} 0 = 0. $
Exercício 4. Seja $f(x) = x$. Prove que $f'(x) = 1$, para todo $x$.¶
R. Ex4) $f'(x) = \displaystyle \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{x+h-x}{h} = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{h}{h} = 1. $
Exemplo 5. Seja¶
$$f(x) = \begin{cases} x^2\sin\left(\frac{1}{x}\right), & x\neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$$
Calcule, caso exista, $f'(0)$.
R. EX5) $f'(0) = \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x\rightarrow0} x\cdot\sin\left(\frac{1}{x}\right)=0$
In [1]:
p1 = plot(x^2*sin(1/x), (-0.3, 0.3), aspect_ratio=1)
p2 = plot(0, (-0.3, 0.3), color='red', thickness=2)
(p1+p2)
Out[1]:
Exemplo 6. Mostre que $f(x) = |x|$ não é derivável em $p=0$.¶
A idéia é mostrar que os limites laterais são diferentes:
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=1$
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^-} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=-1$
In [31]:
anima_ate_tangente(abs(x), 1, 0.001, 0.1, (-1.5, 1.5), (-1.5, 1.5))
In [32]:
anima_ate_tangente(abs(x), -1, -0.001, -0.1, (-1.5, 1.5), (-1.5, 1.5))
